空间向量运算的坐标表示1

1、3.1.53.1.5空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示(1)(1)一、空间向量的坐标一、空间向量的坐标:则有序实数组则有序实数组 叫做叫做 在空间直角坐标系在空间直角坐标系o-xyz中的坐标，中的坐标，p( , , )x y z上式可简记作上式可简记作( , , )px y z p给定一个空间直角坐标系和向量给定一个空间直角坐标系和向量 ，123e e e 、且设且设分别为分别为x,y,z轴正方向上的单位坐标向量，由空间轴正方向上的单位坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ( , , )x y z123pxeyeze 使得使得复习复习:

2、/;.ab121212,()xxyy zzr121212/xxyyzz二、空间向量共线二、空间向量共线:111222( ,),(,)ax y zbxyz设则则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaar三、空间向量的坐标运算三、空间向量的坐标运算:四、平面向量的数量积四、平面向量的数量积:a b | | cosab( 是是 与与 的夹角的夹角)baaboabab数学建构数学建构一、空间向量的数量积一、空间向量的数量积:a b | | cosab( 是是 与与 的夹角的夹角)baaboab

3、ab有有:0ab ，ab ，ba ，当当 时时, 同向同向. 0ab ，ab与当当 时时, 反向反向. ab ，ab与向量向量 的夹角记作的夹角记作:ab与当当 时时, 垂直垂直. 2ab ，ab与ab记作：22|aa aa (2)两非零向量的夹角两非零向量的夹角 的计算的计算:ab ，cos| |a babab ，(3)非零向量的模长非零向量的模长:(4)空间向量数量积满足的运算律空间向量数量积满足的运算律:a bb a ()a ba b ()a bca ba c (1)00;a 00;a 练习练习1:已知已知 则则| 4,| 3 2,12,aba b _ab ，练习练习2:已知四棱柱已知四

4、棱柱abcd-a1b1c1d1的底面的底面abcd是矩形是矩形,ab=4,ad=3,aa1=5, baa1= daa1=600,求求ac1的长的长.a1b1c1d1adcb二、空间向量数量积的坐标表示二、空间向量数量积的坐标表示:111222( ,),(,),ax y zbxyz1.设则12121 2a bx xy yz z 2.当当 时时,ab2222111axyz2222111|aaxyz111222( ,),(,)ax y zbxyz3.设222121212|()()()abxxyyzz 则|三、距离与夹角三、距离与夹角111222( ,),(,)ax y zbxyz1.设222,212

5、121()()()a bdxxyyzz111222( ,),(,),ax y zbxyz2.设则cos,| | a ba bab1 12233222222123123a ba ba baaabbb0aba b 3.两非零向量两非零向量111222( ,),(,)ax y zbxyz12121 20 x xy yz z巩固练习巩固练习1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2 ,3,3),(1, 0 , 0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;ab(2)( 3,

6、1,5) ,(0,2,3) .cd(2)若若 ,则则d的坐标是的坐标是_13abdabcss3.已知已知a(3,4,4),b(-2,-1,5),c(4,5,0),d在线段在线段ac上上,(1)若若 ,则则d的坐标是的坐标是_12adac4.已知已知则向量则向量 与与 的夹角是的夹角是_(cos ,1,sin),(sin,cos,1),ababab1.如图，在正方体如图，在正方体 中，中， ,求与所成的角的求与所成的角的余弦值余弦值.1111abcda bc d11b e11114a bd f1be1dff1e1c1b1a1d1dabcyzxo解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，

7、如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4be11(0,0,0) ,0, 1 .4，df1311,1(1,1,0)0,1 ,44be 应用举例应用举例:1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，dff1e1c1b1a1d1dabcxyzo111115001 1,4416 be df111717|, |.44 bedf111111151516cos,.17| |171744 be dfbedfbedf所以所以be1与与df1所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是1517应用举例应用举例:1.如图，在正方体如图，在正方体 中，中， ,求与所成的角的求与所成的角的余弦值余弦值.1111abcda bc d11b e11114a bd f1be1df课堂小结：课堂小结：1.基本知识：基本知识：（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（3）两个向量的夹角公式）两个向量的夹角公式,向量的垂直向量的垂直.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。(1)向量的数量积的概念及计算向量的数