毕业论文一元多项式最大公因式的解法

1、分类号密级单位代码11965学 号 0804230128学生毕业设计（论文）题 目一元多项式最大公因式的解法作者李朝霞院係）数学与应用数学系专业数学与应用数学2010年5月28日指导教师冯爱萍答辩日期榆林学院毕业设计（论文）诚信责任书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文），是本人在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。毕业设计（论文）中凡引用他人己经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外, 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人毕业设计（论文）与资料

2、若有不实,意承担一切相关的法律责任。论文作者签名：摘要探讨求一元多项式最大公因式方法的问题.主要研究在掌握求一元多项式最大 公因式的一些常用方法的基础上，去探讨更为简捷的求最大公因式的方法首先利 用艾森斯坦判别法作为前提，判断所求最大公因式的多项式是否互素，接着对艾 森斯坦判别法进行了更深的探索：如果存在不可约多项式，那么所求最大公因式 是为1;若不互素，则利用本文所介绍的矩阵变换法去求解，并且较常用方法来说, 用矩阵的初等变换运算更为快捷准确，最后对所有方法进行归纳总结以及评价.关键词：一元多项式，最大公因式，艾森斯坦判别法，初等变换abstractin this paper, we dis

3、cuss several solutions of the greatest common divisor of polynomial of one indeterminate. we mainly research several common solutions of the greatest common divisor of polynomial of one indeterminate. in this foundation, we will discuss some simpler and director methods. firstly, we use eisenstein i

4、rreducibility test to j udge whether the polynomials relatively prime .then, we make a deeper exploration on eisenstein irreducibility test. if one of them is irreducible polynomials , the greatest common divisor we solved is 1; if they are not relatively prime, we use some new methods to solve this

5、 problem .finally, we will summary and appraise all the methods.key words: polynomial of one indeterminate; the greatest common divisor; eisenstein irreducibility test; the elementary transformation.tt摘要iabstractii1 引言.12最大公因式概念及相关性质12.1最大公因式12. 2 一元多项式最大公因式的相关性质13介绍求一元多项式最大公因式的方法13. 1辗转相除法33. 2矩阵的初

6、等变换54结朿语7参考文献8致谢9ttt1引言在求一元多项式最大公因式的方法的问题上，各种高等代数教材中已经做了 许多介绍，但是在我们的实际应用或解题过程中，这些方法存在着运算复杂，计 算量大等缺点所以，探讨求多项式最大公因式新方法的问题就显得尤为重要.这里 我们对求一元多项式最大公因式的问题做研究总结.2最大公因式概念以及相关的性质2.1最大公因式设f是一个数域，fx是f上的一元多项式环.定义1令/(x)和g(x)是fx的两个多项式，若fx的一个多项式h(x)同 时整除/(兀)和g(x),那么h(x)叫做.f(x)和g(x)的一个公因式.定义2设d(兀)是多项式/(兀)和g(兀)的一个公因式

7、,若是(劝能被/(兀) 和g(x)的每一个公因式整除，那么(兀)叫做/(x)和g(x)的一个最大公因式.定义3如果f|刘的两个多项式除零次多项式外不再有其他的公因式, 我们就说这两个多项式互素.2. 2 一元多项式最大公因式的相关性质定理1尸兀的任意两个多项式/g)和g(q 定有最大公因式.除一个零 次因式外，/(兀)和g(x)的最人公因式是唯一确定的，这就是说，若d(x)是/(兀)和 g(q的一个最大公因式，那么数域f的任何一个不为零的数c与d(x)的乘积 (兀)而且当/(x)和g(x)不全为零多项式时，只有这样的乘积是/(x)和g(x)的 最大公因式.定理2fx的两个多项式/(x)和g(x

8、)互索的充分且必要条件是:在fx 中可以求得多项式(兀)和咻)使:/(%)-u(x) + g(x)- v(x) = 1 ,即/(兀)和g(x)的最大公因式是1.3介绍求一元多项式最大公因式的方法在介绍求一元多项式最大公因式方法之前，首先引入以下一个判别法：定理3(艾森斯坦判別法)：设f(x)=anxn+ +马兀+q)(a” ho)是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得1) p 勺；2) pl。” ' an-2 '' d()；3) p2 i q 那么在有理数域上/(x)是不可约的.我们可以应用艾森斯坦判别法容易证明一个事实，那就是：在有理数域上 存在任意次数的不可约多项

9、式.所以，当我们求个一元多项式的最大公因式吋 可先将一元多项式进行可约性的判别，如果出现某一个一元多项式通过艾森斯坦 判别法得出它是不可约的，或者其中某些多项式都是不可约多项式，那么，我们 就很容易得出这些一元多项式的最大公因式是1,即它们之间彼此互素.但是， 应用艾森斯坦判别法时应注意以下几点： 若找不到相应的素数"，则整系数多项式/(x)可能可约，也可能不可约. 任意次数的不可约多项式都是存在的. 一些整系数多项式不能直接用艾森斯坦判别法來判断是否可约，但做变 形后可用该方法来判断.艾森斯坦判别法的等价形式：定理4设/o) = q)+q%+ +q“y(q)ho)是一个整系数多项式

10、，若能找到一 个素数"使得2) 川q, ,pan；3) ph那么多项式/(%)在有理数域上不可约.证明反证法假设多项式/(兀)在有理数域上可约，则/(切可分解成两个次数较低的整系数 多项式的乘积：/(x) = g(x)-h(x)令g(x) =/?0 +z?x4- +b*，h(x) = co 4-cx4-+c/x/并且 k<nj <n,k + l = n.由此得到：an =bkct因为pan j p是素数，所以pg或也，但p2 an,即“也与冰/不能同 时成立.不妨假定创勺 ,pcl ,则g(x)的系数不能全被卩整除，否则 /(x) = g(x)-h(x)的系数)将被”整除

11、，这与题设矛盾令g(x)的系数 久，级十，b , h(屮第一个不能被整除的系数是优“考察等式 an_s =bk_sc, +_s.iic/_i + +bkct_s 其中 k + l = n (当$>/时,令 %=0)已知 pan_s , pbk ,加+1，因为 叭一s5 而 p ,则 p© ,这与p/q矛盾，则/(兀)在有理域上不可约.说明：艾森斯坦判别法以及它的等价形式只局限于判别多项式的不可约性， 即使是这样，有时应用起来述是较困难，因为有些多项式不能直接应用艾森斯坦 判别法或它的等价形式作出判断，需要对它实施变换，但变换又不是一个简单的 过程另外，还有的多项式，因为它是可约

12、的，就不能用以上方法判别.所以，当我们在求多项式的最大公因式时，遇到不能利用艾森斯坦判别法以 及它的等价形式来判断多项式不可约的情况时，即不能得出多项式是互素的关系 时，我们也可以用下面几种方法：3.1 辗转相除法：辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的常用方法，在每次作除法时用的是带 余除法.但是，按照文献1 2 3屮的介绍，辗转相除法求最大公因式时，往 往会出现较为复杂的分数运算，为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘 被除式或者除式.这种方法不仅在.辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除法 的过程中也可以用，对于计算结果并无影响这是由于：/() = q(x)g(x) 4- r(),对

13、于"0,且c为常数，有：c f(x) = cq(x) g(x) + c 厂(兀),/(x)=巳 <7(x)c g(x) + r(x)g(x>) = (g(x), cr(x) = (g(x), r(x) = (g(x), /)=(/(agw)(/(x),cgcx) = (cg(x),厂(x) = (g(x),厂(兀)=(/(x),(x)另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同 时，可以任取一个做除式，另一个做被除式.举例说明上述观点：例 1 设f(x) = x4 +3x3-%24x3, g(x) = 3疋+ 10f+2兀一3 求(/(x),g(x)

14、g(x) = 3x3 + 10x2 + 2兀 一 33x3+15x2+l&r3f(x) = 3x4 + 9x3 -3x2 -12x-93x4+103+2x2-3x-5x2-16x-35x 25兀30/;(a：) = 9x4-27即：石(兀)=兀+ 3-x3 - 5x2 -9x-9乘以3 3x3 +15x2 +27x + 273x +1 ox*- + 2x 31 0乘以上 5x2+25x + 30rx (x) = x2 +5x + 6 x2 + 3x2x + 62x + 6解把/(兀)先乘以3,再用g(x)来除q2 (x) = 3x-54 (兀)=兀+1q3(x) = x + 2厂3 (

15、兀)=0从而(/(兀),g(x) = x + 33.2矩阵的初等变换法：我们知道，在数域p上的所有次数不大于n的一元多项式构成的多项式空间 (对数乘和多项式加法封闭)pq)与所有n + 1元有序数组形成的向量空间pn+l (对数乘和加法封闭)是同构的，即存在一个同构映射：:几力t严：(anxn + 色一1 兀"t + d() = a，an-，a()所以多项式 qj" +an_xxnx +q)就记为 a，q“_i，a。)两个多项式/o)与go)的首项系数为1的最大公因式记为(/o),g(x),由多项 式的基本性质有：(/(兀),g(兀)=(g(x),/(x)；(2) (/(x

16、),g(x)= (f(xkg(x)9 kw p,ko；(3) (/(x), g(兀)=(/(x) + k(x)g(x)9 g(x), k(x)e pn (x);(4) 设/(x)的常数项不为 0,则(/cx),g(x) = (/g),xg(x).由以上性质我们发现它与矩阵的初等变换的性质很类似，所以用矩阵4 %,，加表示多项式 /(%) = anxn + an_xxn + + a。和 qx)= bnxn + bn_xn +% 的最大 公因式，则由性质(1)、(2)、(3)知对矩阵经过行变换后，两多项式的最大公因 式不变，由(4)知：当勺工0时，上” 的最大公因式与l0仇一】仇7"&#

17、39; t n 的最大公因式是相同的.l bn-，乞-2，",。定义4若加xn阶矩阵a的第i行第72列元素是零，替换&即表示将矩阵a的第j行元素逐个向右退一位的变换，例如：a”，5，°()|亍|_°"' a”-】， 勺上”-1 仇-2 "o。|_。，仇-i s，仇_现在，可以通过对上述矩阵进行初等行变换及替换s,使得其中某行都是零或只有一个非零数，进而很快求出它们的最大公因式.规定：(/(x),0) = /(x), (/(x), 1) = 1例 2 设 f(x) = x3 -3x2 -2a: + 6, q(x) = x3 4-x

18、2 -2x-2,试求它们的最大公1 -3-2解对矩阵a二jl1 1-21 -3-21 1-2g)、1 -3-2/o i0卩10lo i0故(/(x),q(兀)=(%2 一 2,0) = %2_2例 3 /(x) = 2x3 + 3x2 +4x+3,因式:q(兀)=2x3 + 兀？ + 3 兀,6薜 2(-l)v1-3-26_-2_/040-8_6_如+3)、10-20 _-2_010-2_-2'z1)v010-2-2_0000施行初等行变换sh(x) = 6x4 4- 3x3 +13x2 +2x+6试求它们的最大公因式.2 3432 13 0施行初等行变换及替换s23430234321

19、3000213313266313262130_002 13_021351 >002 13s3900006 393 13 2 6_刁2（-1）、薜3（一3）001ii0000000000i 313所以 （/（兀）,q（x）,力（兀）=（x 4- x4- ,0,0） = x + a： + jjj上述方法是对多项式在严上建立的同构映射所形成的矩阵进行初等变换，最终 求得最大公因式的方法，所以总体上来，这种方法对于求多个多项式尤为简便不 易出错.4结束语本文就如何求最大公因式的问题进行了深入的讨论，并且介绍了几种求最大 公因式的方法，现总结如下：当我们待求若干个一元多项式的最大公因式时，第一步：利用艾森斯坦判别法以及它的等价形式对给出的一元多项式进行不 可约性的判别，若其中有一个或者若干个多项式都是不可约的，那么就可以直接 得出其最大公因式为1.第二步：如果利用艾森斯坦判别法以及它的等价形式无法判别出一元多项式 是否不可约时，利用辗转相除法或矩阵的初等变换法：（1）辗转相除法：求最大公因式的一般方法，当在求n （n2）个一元多 项式的最大公