河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试理科数学试题(含答案解析)

1、衡水中学20202021学年度第一学期高三年级期中考试数学（理）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分,共150分，时间120分钟.I卷一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.1、集合M = x|2x2-x-1<0,N = xRx，a>0“ U;段若M cCyhH®.则覆的取值范围是（）A. a >1 B. 3 21 C. a< 1 D. a2、若直线产公与双曲线一；二1相交，则4的取值范围是（）3、在 AZBC 中，4B = 3, AC = 29 S5 = -5C,则否防二（）2A. B. -C. D,

2、 22444、已知数列q的前“项和$产1-力.正项等比数列痣中，3=%，= 4片（之 2,n w NJ» Mlog2Art = <）A. w-1B. 2/z-l C. n-2 D. n5、已知直线ax*vl = o与圆“*-球+ （产3）2 =，相交于4, B,且A ABC为等腰直角三角形, 则实数a的值为（）A.；或1 B. -1 C. 1 D. 1或-16、在 ABC中，新b, c分别是角A, B, C的对边，若1十*二20141的值为（2tan AtanB.tan C(tan A+ tan B)A. 2013B. 1C. 0D, 20147、己知点M。，6X油WO）是圆寸

3、内一点，直线1是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为玩-砂=尸，那么,A /Ln且m与圆C相切B "而且"与圆C相切C 且m与圆C相离 D 加且w与圆C相离8、若圆x2 +y2 -ax + 2y + =0和圆x2 +y2 =1 关于直线y =x -1 对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是（）A. y 2 - 4x +4y +8 = 0B. y2+2x-2y+2 = 0C. y2 +4x -4j/ +8 = 0D. y2 -2x+1 = 09、平行四边形ABCD中，AB = 2,AD = l,Xk-届 = -l,点M在边CD上，则Ma 而的最大值为0A. &a

4、mp; B.涧Tc. 0 D. 210已知椭圆+4= 1（。0,b0）上一点A关于原点的对称点为点& F为其右焦点，若 a bAFLBF.设4BF = a,且ac2,X,则该椭圆的离心率e的取值范围是（）11、已知点A是抛物线x?=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满 足|PA|PB|,当m取最大值时，点P恰好在以A, B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）A.立尸 B,呼旦 C. V2+1 D. V5-112、已知在R上的函数/（可满足如下条件：函数，（x）的图象关于y轴对称；对于任意 xe 7?,/（2 + x）-/（2-x） = 0 ：当 x0,

5、2时，/（x） = x ：函数 九）（工）=项 w M,若过点（T 0）的直线/与函数九门）的图象在x w 0,2上恰有 8个交点，在直线/斜率左的取值范围是（）A. （0令B. （0年） C. （0 A） d. （0,y）II卷二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.7T 13、在A43c中，分别是角4瓦C的对边，已知sin（2月+7）=7. b = l, zMBC的 62h + c面积为二，则J不：下的值为2 sinB + smC 14、已知平面上有四点0, A , B, C ,向量。A,OB,&：满足：OA + O B + OC = 0OA OB = OB - OC =

6、 OC - OA = -1，则AB。的周长是15、已知R、H是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是他们的一个公共点，且4；尸行=1,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为16、已知数列叫的前n项和Sn = 24T _2"/ ,若不等式2- - « - 3 < （5 Z）an对Vn g N" 恒成立，则整数彳的最大值为高三年级、数学（理试题第8页（共12页）三、解答题:本大题共6题,，共70分.17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。17、在xiBC中.角a、b、c的对边分别为,已知向盘 m =(cos,sin)t "二可

7、彳/二且满足,十/卜道 .(1)求角A的大小；(2)若6+c = 5a试判断3指。的形状.18、已知圆c经过原点0(0,0)且与直线y = 2X-8相切于点P(4,0)(I)求圆C的方程；(II )在圆C上是否存在两点M,N关于直线V = kx-1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？ 若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由高三年级、数学(理试题第8页(共12页)19、各项均为正数的数列4中，%=1,S是数列%的前项和，对任意力cN*,有 2Sn = 2paj + pan - p(p R)：(1)求常数P的值；（2）求数列凡的通项公式;求数列也的前"项和7； 04s记图2&

8、quot;, ，+320、已知椭圆C:捻+，=13>6>0）的离心率2 =孚，原点到过点d（a,O）,B（Q-彷的直 线的距离是蛀.5（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线j = Ax+l（左*0）交椭圆C于不同的两点左，尸,且目，下都在以5为圆心 的圆上，求左的值.高三年级、数学（理）试题第8贞（共12贞）21、已知定点F(O,l),定直线叫yI,动圆M过点F,且与直线m相切.(I)求动圆M的圆心轨迹C的方程：(II)过点F的直线与曲线C相交于A, B两点，分别过点A, B作曲线C的切线I* L两条切线 相交于点P,求APAB外接圆面积的最小值.22、设函数 2(I)当。=6 =；

9、时，求函数7(幻的最大值；(II)令2>)=/(刈+工方2+bx+3, (0<x<3)其图象上任意一点尸(看,%)处切线 2x的斜率恒成立，求实数。的取值范围； 2(HD当4 = 0, b = -l,方程2时(x) = V有唯一实数解，求正数m的值.高三年级、数学(理)试题第8贞(共12贞)数学(理)参考答案1-12 BCCDD ACCDB CA13. 214. 3眄12.【答案】A【解析】因为函数/(/)的画像关于丁轴对称，故/(X)为偶函数I因为 /(2 + x)-/(2-x) = 0,故/(2 + x)=/(2-x)=/(t-23 故函数 的周期为 4/(2一 r) =

10、 /(8/，故/,)(%)的周期为i，其图傀可由/(x)的图像压缩为原来的工得到，作出=彳(刈的图像如下图所示,易知过点”(-1,0)的直线斜率存在，如图 8所示，要想0：线/与函数加(x)的图像在0,2上恰有8个交点，则OCv勺心 因为 ，5=:二故 Ovk ,故选 A.14 J 工4 111114、平面上有四点O,A,B,C,满足d + 6B + 6c = 6,二。是AABC的重心，v OA - OB = OB - 0C»-OB (OA-OC) = OB - CA = 6, 即同理可得：OC 1 BA,6a 1 BC，即。是垂心，故MBC支- 一 一-7 2n正三角形,JOA-O

11、8 = OB-OC=OC-OA = -1,设夕卜接圆半径为R，则R cos乙AOB = R cos= -133L一= 2 R = 2 2即R二立即sinA- n"一、,即a =福故周长3a = 3病sin-316、试题分析：当 =1时，£=2-22得q=4, S.=2凡-2"“；当冏之2时，巴.L24-2”，两式相减得4=2a2%-2”，得勺=21+2"，所以2一舒二】 又鼻=2,所以数列信是以2为首项，1为公差的等差数列，M="1，即/=(+D2”.2Z J才2一3因为4>0,所以不等式2'-3<(5-0牝，等价于5-4&

12、gt;亍2-1.记“二4生，N2时，骼=养广” 所以我3时，驾<1" n 2bn 2-3 4 一 6r所以5-义>。5-± =4，所以整数7的展大值为4. OQ O17.【解析】(1)+(，：) 一？7小7?二3：代入：=(cos -;sin).江=(cos.,sin彳)，有联立有，儿= 6-*):即' -5bc-2C =0解得3= 2c或C =2匕又'Jb - c =出口，若b = 2c ,则口 二表。，.G:-r = (V3c):-c:=4< =bzt工空。为直角三角形.同理，若c = 2A，则，18c也 为直角三角形18.I ）由己知

13、，得圆心在经过点P（4，。）且与y = 2x-8垂直的直线尸.1X + 2上，它又在线段0P的 中垂线x = 2上，所以求得圆心C（2,l）,半径为亚所以圆0的方程为（x+ （y -1）? = 5.4分（细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分）.（II）假设存在两点M，N关于直线y = kx-l对称,贝W = kx-l通过圆心C（2J）,求得k = l,所以设直线MN为y =- x + b,代入圆的方程得2x? - （2b + 2）x +b2-2b = 0,设M%, - X + b） N（x2/ - x2 + b）则oKl ON = 22 - b（x1+x2） + b2 = b2 - 3b

14、= 0解得b = 0或b = 3,这时A>0,符合题意，所以存在直线MN为y=-x或y=-x + 3符合条件（细则：未判断 > °的扣1分）1219试题解析：（1）山q =及2S”得：2 = 2p + p-p二 =13 分由 2sL2"+勺7 得 2s+1=2*2+%-1 由一，得2。村=2（。"，一 .：）+（%+一 勺） 即：2(4+| 十4)(凡+】一%)(。+1+a) = 0 A (an¥ + art)(2an-2an -1) = 0 由于数列包J各项均为正数，.一= 1 即 一q=g.数列明 是首项为1,公差为g的等差数列，数列&q

15、uot;的通项公式是q =l + («-l)xl = 2 ,2由一等得弟需2""” Z =1x2 + 2x22 +3x23 + 2” 2北二lx+ 2x 2, + “ + 伽一 1) x 2、+ x 2"i -7；=2 + 22 +23 + + 2 一“I"】 ="-2：)_x2"i = _(«-!)- 2n+,-21 27； = (_1)：2m+2 J2分 试题解析：因为£ 二在,不一力二/,所以。=25.因为原点到直线:二一£ = 1的距离4=-=二里，解得= 4,5 = 2.。b括+/5故

16、所求椭圆。的方程为三十2/ = L4分16 4fy =Ax+l,（2）由题意、/ v2 ，消去 ,整理得Q + 4M）x?+Sh一 12 = 0.可知）0.+ =1116 4设夙七七）,尸（&壬），肢的中点是，则7 yw + 21所以.v= = -t .h k分=3,3%+1 =_ 21 + 4K 盟 1+4K知+内力+2A = 0.即123 + /_ + 2太=0.又因为太工0T +找 1 + 4V所以K =.所以片=±YZ 8A21【答案】（I ） x2 = 4y;（II）当时线段最短，最短长度为此时圆的面积最小，最小面积为 4rt .（I）设点M到直线I的距离为d,依题

17、意；MF| = d.设M（x,y）,则有IY+4化简得2 = 4y.所以点M的轨迹C的方程为x2 = 4y.4分（U）设媪 y = kx+l,代入，=4丫中，得/-41«4 = 0.设纯4加，B%yJ,则Xf*4k，&%=4.所以网=47m卡172| =暇+ 1）.因为（：x2=4y，即八E,所以 4XXxXX丫'=二.所以直线I的斜率为k,=，直线U的斜率为因为k,k”=-l，所以PALP8,即 21 22 21 2 4 PAB为直角三角形.所以 PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径.因为|AB| = 4（k2 + 1）,所以当k = 0时线段AB最

18、短，最短长度为4,此时圆的面积最小，最小面积为4Tl.22（本小题满分12分）B： （1）依题息，知/8）的定义裁为（0, .田）, 当弓=6 =时，/（x） = lnx-ix2-ix.242/,« =1 11 -(x+2)d令解得彳=1.2x(Vx>0)高三年级、数学（理）试题第8贞（共12贞）因为虱x）=o有雎一解，所以g（的）=0,当oxi时，/i（x）o,此时单调gy孰 当久1时，f0,此时/8）坦调速遍.3所以jg的极大值为了二-j此即为最大值,4分(2) F(x)=lnx+-, t (0,3 > 则得上 =尸'(/) : W，在(03上孤立, x/2所以（一;不：+%）皿，xQ e （0,3当5=1时，一;君十%取得最大值L 所以。2工8分222(3)因为方程2町“%)=x2有唯一实数解，所以一一 2wln X- 2?«x = 0有唯一实数解, 设 g(6 = # - 2win x - 2用x»a 一、 2x - 2wx- 2m 4一、八 2八贝ijg(x) =.令g(x) = O, x2 -Yrm-m = 0.x .因为附>0, x>0,所以勺工"二号T竺<0 (舍去),与=竺当豆,当xe(0，M)时，g'(r)<0> g(©在(0,码)上单调递遍，当才仁(