求解古典概型常见错误剖析

1、求解古典概型常见错误剖析古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其它概型的 基础现将求解古典概型常见的错误剖析如下.一、“有序”与“无序”混同，导致基本事件的个数求 错例1从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不 放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.错解因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第 三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10 件取4件共有10x9x8x7种取法，故从10件产品（其中 次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有 10x9x8x7个可能的结果设a= “取出的4件中恰有1件 次品”，则a含有c13xc37种结果（先从3件次品中取1 件

2、，再从7件正品中取3件），剖析该题错在计算所有等可能结果的个数是用排列的 方法，即考虑了抽取的顺序，而计算事件a所包含结果个数 时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序.正解所有可能的结果共有a410个，事件a包含a14 a13 a37个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取 中有一次抽到次品，有a14种方式，对于每种方式，从3件 次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有a14 a13a37种取法).所以 p (a) =a14 a13 a37a410=12.二、"非等可能”与'等可能”混同，对古典概型的等 可能性理解不清例2掷两枚质地均匀的骰子，求事件a二“出现

3、的点数之 和等于3”的概率.错解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为2, 3,4,12,事件a发生的结果只有一种，故p (a) =111.剖析公式p (a)二事件a所含的基本事件数基本事件的总数,当且仅当所述试验的每个结果是等可能的时候才成立， 而取数值2和3不是等可能的，2只在点数为(1, 1)才出 现，而3却在两种情况(1, 2),(2, 1)时可出现，其它的情况类推.正解掷两枚骰子可能出现的等可能的情况：(1, 1), (1,2),，(1, 6), (2, 1), (2, 2),，(2, 6),，(6, 1), (6, 2),，(6, 6),结果总数为6x6=36.在这些结果 中，事件a

4、含有两种结果(1, 2), (2, 1),故p (a) =236=118.三、对古典概型的有限性把握不准而将古典概型误判为几何概型图1例3甲、乙二人玩数字游戏，先由两人在心中各想 一个整数，分别记为x、y,当x、yel, 5,且|x-y|wl 时，则称甲、乙二人“心有灵犀”.求甲、乙二人“心有灵 犀”的概率.错解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件a,由于x、ywl, 5,且|x-y|wl,如图1,由几何概型概率公式得，p (a)二s 阴影 s 正方形=16-916=716.剖析本题没有注意x、y的取值是整数，忽视了古典概 型的有限性.正解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件a,由于x、ywl, 5,所以

5、满足条件的整数对共有5x5对，满足|x-y|w 1的 整数对共有 13 对，即(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4) 所以甲、乙二人“心有灵犀”的概率 p (a) =1325.四、混淆“无放回抽取”与“有放回抽取”而出错例4从含有2件正品al, a2和一件次品b的三件产品 中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取2次，记“取 出的两件中恰有一件次品”为事件a,如果将“每次取出后 不放回”换成“每次取出后放回”，连续取2次，记“取

6、出的两件中恰有一件次品”为事件b,则a. p (a) =p (b)b. p (a) p (b)d.无法确定错解每次任取1件，取出后不放回地(或有放回地)连 续抽取两次，所有可能的结果是(al, bl), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2)共6个基本事件；取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的结果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4个基本事件所以p (a) =p (b) =46=23,选a.剖析本题错在混淆“每次取出后不放回”与“每次取 出后放回” 从3件产品中不放回地抽取2件和有放回地抽 取2件的基本事件都不是很大，可

7、以一一列举出来.正解(1)每次任取1件，取出后不放回地连续抽取两 次，所有可能的结果是(al, b), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2), (a2, al),共6个基本事件；取出的2件 恰有一件次品的事件a包含的结果是(al, b), (a2, b), (b, a2), (b, a2),共4个基本事件所以(2)有放回地连续抽取两次，所有可能的结果是(al, b), (b, al), (al, al), (a2, b), (b, a2), (a2, a2), (al, a2), (a2, al), (b, b)共9个基本事件.取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的结果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4个基本事件.所以 p (b) =49.所以 p (a) >p (b),选 c.五、未能正确判断事件的关系，导致概率计算错误例5同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求至少有一个5点 或6点的概率.错解抛掷两枚骰子，基本事件的总数为36.记一枚出现 5点为事件a, 枚出现6点为事件b,事件a与事件b包含 的基本事件都为11种情形而事件a与事件b是互斥事件， 由古典概型的