广州大学2017-2018概率论与数理统计A卷

1、page 1 of 12概率论与数理统计a 卷院、系领导审批并签名a 卷广 州 大 学2017- 2018 学 年 第一学 期 考 试 卷课 程：概率论与数理统计（ 48 学时）考 试 形 式：闭卷考试学院系专业班级学号姓名题 次一二三四五六七八九总 分评卷人分 数15 15 8 8 10 10 12 12 10 100 得 分特别提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律不授予学士学位。一、选择题（每小题3 分，总计 15 分）1 三人各投一次球，设ia 表示 “第i人投中”(1,2,3)i, 则事件123a a a表示( ). （a）三人都投

2、中；（b）至少有一人投中；（c ）至多有两人投中；（d）三人都没投中 . 2设随机事件,a b 满足 0( )1p a,()0p b, 且( / )( / )p b ap b a , 则必有 ( ). (a) ( / )( / )p a bp a b ； (b) ( / )( / )p a bp a b ；(c) (/)(/)p a bp b a； (d) ()()()p abp a p b. 3. 设2(5,3 )xn，且常数 c 满足p xcp xc，则 c =( ). (a) 0 ； (b) 1； (c) 3； (d) 5. 4. 设x和y为两个随机变量，则能说明x和y独立的是 ( ).

3、 (a) ( , )( )( )xyf x yfx fy； (b) ()()( )e xye x e y ；(c) ()()( )e xye xe y ； (d) ()()( )d xyd xd y . 5. 设二维随机变量 (, )x y 的联合概率分布为yx0 1 0 0.4a1 b0.1已知随机事件0y与1 xy相互独立，则 ( ). (a) 0.3,0.2ab； (b) 0.4,0.1ab；(c) 0.2,0.3ab； (d) 0.1,0.4ab. 二、填空题（每空3 分，总计 15分）1设( )0.28, p b(/ )0.6, (/ )0.75p b ap a b，那么()p ab

4、 . 2将一颗骰子连续掷三次，则恰好有两次出现“6”点的概率为 . page 2 of 12概率论与数理统计a 卷3从数 1，2，3 中任取一个数记为x，再从 1，,x中任取一个数记为y，则2p y . 4设随机变量( , )u a b ，且4,3ed, 则05p . 5设连续型随机变量x的分布函数为50,0,( ),0,xxf xaex则1p x . 三、 （本题满分 8 分）袋中标有不同号码的红、黑、黄球各2 个，现随机从袋中有放回地抽取3 次，每次取 1 个，求下列事件的概率： (1) a=三次未抽到红球 ； (2) b=颜色不全相同 . 四、 （本题满分 8 分）已知甲、乙两箱装有同种

5、产品，甲箱装有10 只，其中有 6只一等品；乙箱装有6只，其中有 3 只一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次，每次取一只，求：(1) 第一次取到的是一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. page 3 of 12概率论与数理统计a 卷五、 （本题满分 10 分）已知随机变量x的分布律为x2012kp0.40.10.10.4求:(1) x的分布函数( )f x；(2) 21yx的分布律 . 六、 （本题满分 10 分）设某种电子产品的使用寿命x的概率密度为3()3,( ,)0,xexf xx其中0为未知参数，又设12,nxxx 是来自x

6、的一组样本观察值， 求参数的最大似然估计值 . page 4 of 12概率论与数理统计a 卷七、 （本题满分 12 分）设随机变量x的概率密度为;01;( );12;0;xxf xaxx其它 .求： （1）常数 a的值；（2）关于 t 的方程22(1)50txtx有实根的概率；（3）()e x. page 5 of 12概率论与数理统计a 卷八、 （本题满分 12 分）设二维随机变量(,)xy的联合分布律如下 : yx-1 0 1 2 1 14180 162 160 1816求: （1）p xy；（2）x,y的边缘分布律；（3）zxy的概率分布 . page 6 of 12概率论与数理统计a

7、 卷九、 （本题满分 10 分）某学校召开家长座谈会，前来参加家长会的家长人数是一个随机变量，已知一个学生无家长、有1 个家长来参加会议的概率分别为0.2，0.8。若学校共有 900 名学生，设来参加会议的各家长是相互独立且服从同一分布。利用中心极限定理计算来参加会议的家长人数在720 与 750 之间的概率 . 附表221( )2txxedtx0.5 1 1.5 2 2.5 3 ( )x0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987 page 7 of 12概率论与数理统计a 卷院、系领导审批并签名a 卷广 州 大 学2017- 2018 学 年 第一学

8、期 考 试 卷参考解答与评分标准课 程：概率论与数理统计（ 48 学时）考 试 形 式：闭卷考试学院_ 系_专业_ 班 级 _ 学 号 _ 姓 名 -_题 次一二三四五六七八九总分评卷人分 数15 15 8 8 10 10 12 12 10 100 得 分特别提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律不授予学士学位。一、选择题（每小题3 分，总计 15 分）1三人各投一次球， 设ia 表示“第i人投中”(1,2,3)i, 则123a a a 表示（ c ）. （a）三人都投中；（b）三人中至少有一人投中；（c ）三人至多有两人投中；（d）三人都没

9、投中 . 2 设 随 机 事 件,a b满 足0()1p a,()0p b, 且( / )( / )p b ap b a , 则 必 有( d ). (a)( / )( /)p a bp a b ； (b)( / )( / )p a bp a b ；(c)(/)(/)p a bp ba； (d)()() ()p abp a p b. 3. 设2(5,3 )xn，且常数 c 满足p xcp xc，则 c =( d ). (a) 0 ； (b) 1； (c) 3； (d) 5. 4. 设x和y为两个随机变量，则 ( a )能得出x和y独立. (a) ( , )( )( )xyf x yfx fy；

10、 (b)()() ( )e xye x e y ；(c)()()( )e xye xe y ； (d)()()( )d xyd xd y . 5. 设二维随机变量(,)x y的联合概率分布为yx0 1 0 0.4a1 b0.1已知随机事件0y与1xy相互独立，则 ( d ). (a) 0.3,0.2ab； (b) 0.4,0.1ab；(c)0.2,0.3ab； (d) 0.1,0.4ab. page 8 of 12概率论与数理统计a 卷二、填空题（每空3 分，总计 15分）1设( )0.28, p b( /)0.6, ( /)0.75p b ap a b，那么()p ab 0.42 . 2将一

11、颗骰子连续掷三次，则恰好有两次出现“6”点的概率为 5/72 . 3从数 1，2，3 中任取一个数记为x，再从 1，x中任取一个数记为y，则2p y 5/18 . 4设随机变量( , )u a b，且4,3ed, 则05p 2/3 . 5设连续型随机变量x的分布函数为50,0,( ),0,xxf xaex则1p x5e. 三、 （本题满分 8 分）袋中标有不同号码的红、黑、黄球各2 个，现随机从袋中有放回地抽取3 次，每次取 1 个，求下列事件的概率： (1) a=三次未抽到红球 ； (2) b=颜色不全相同 . 解：4 4 48()6 6 627p a -4分333 28()169p b-8

12、分四、 （本题满分 8 分）已知甲、乙两箱装有同种产品，甲箱装有10 只，其中有 6只一等品；乙箱装有6只，其中有 3 只一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次，每次取一只，求 : (1) 第一次取到的是一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. 解： （1）设ib 表示“第 i 次取到一等品” （1, 2i） ，a表示“从甲箱中抽取产品” ，a表示“从乙箱中抽取产品” ，则1()2p a，1()2p a，1163(|),(|)106p bap ba， -2分由全概率公式111()() (|)( ) (|)p bp a p bap a p

13、ba16130.5521026. -4分（2）12211()(/)()p b bp bbp b1651321621092650.4850.5533-8分page 9 of 12概率论与数理统计a 卷五、 （本题满分 10 分）已知随机变量x的分布律为x2012kp0.40.10.10.4求:(1) x的分布函数( )f x； (2) 21yx的分布律 . 解： （1）x的分布函数0,20.420( )0.5,010.6,121,2xxf xxxx -5分(2) 21yx的分布律为y103kp0.10.10.8 -10分六、 （本题满分 10 分）设某种电子产品的使用寿命x的概率密度为3()3,

14、( ,)0,xexf xx其中0为未知参数，又设是来自x的一组样本观察值， 求参数的最大似然估计值 . 解：似然函数为.其它,),(,1)(30n,1,2,3ixeinniix-4分当时，()0l，取对数得1ln()ln 33()niilnx-6分因为ln()30dlnd，所以()l单调增加， -8分由于须满足page 10 of 12概率论与数理统计a 卷故当取中的最小值时，()l取最大值，所以的最大似然估计值为. -10分七、 （本题满分 12 分）设随机变量x的概率密度为;01;( );12;0;xxf xaxx其它 .求：（1）常数 a的值；（2）关于 t 的方程22(1)50txtx

15、有实根的概率；（3）()e x. 解： （1）由( )1f x dx，得221212010113()()12222xxxdxax dxaxa，故2a -4分（2）由方程22(1)50txtx有实根 , 则有24(1)4(5)4(4)(1)0xxxx解得1x或4x. -6分故所求概率为14p xp x21(2)x dx2211(2)22xx -8分（3）()e x12201(2)x dxxx dx331220117()313333xxx -12分page 11 of 12概率论与数理统计a 卷八、 （本题满分 12 分）设二维随机变量(,)xy的联合分布律如下 : yx-1 0 1 2 1 14

16、180 162 160 1816求: （1）p xy；（2）x,y的边缘分布律；（3）zxy的概率分布 . 解： （1）1,11,02,1p xyp xyp xyp xy2,02,1p xyp xy1111248683 -4分（2）x的边缘分布律x12kp13241124 -6分y的边缘分布律y1012kp512181813 -8分（3）zxy的概率分布 -12分z0134kp1472472416page 12 of 12概率论与数理统计a 卷九、 （本题满分 10 分）某学校召开家长座谈会，前来参加家长会的家长人数是一个随机变量，已知一个学生无家长、有 1 个家长来参加会议的概率分别为0.2 ，0.8。若学校共有 900 名学生，设来参加会议的各家长是相互独立且服从同一分布。利用中心极限定理计算前来参加会议的家长人数在720与 750之间的概率 . 附表221( )2txxedtx0.5 1 1.5 2 2.5 3 ( )x0.6915 0.8413 0.