二次函数(最全的中考二次函数知识点总结)_免费文档

1、二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目教师教师: :陈玉荣陈玉荣20102010 年年 1212 月月 2121 日星期二日星期二二次函数y axh的性质：2第一部分第一部分 二次函数基础知识二次函数基础知识相关概念及定义b， c是常数，a 0）的函数，叫做二二次函数的概念：一般地，形如y ax2bxc（a，c可以为零二次次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，函数的定义域是全体实数二次函数y ax2bxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2b， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a，

2、二次函数各种形式之间的变换二 次 函 数y ax bxc用 配 方 法 可 化 成 ：y ax h k的 形 式 ， 其 中2a的符号a 0开口方向顶点坐标向上0h，0h，对称轴x=h性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；x h时，y随xa 0向下2x=h的增大而增大；x h时，y有最大值0二次函数y axhk的性质a的符号a 0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，y随2h， kh， kx=hx的增大而减小；x h时，y有最小值kx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随b4ac

3、 b2h ，k .2a4a二 次 函 数 由 特殊 到 一般 ， 可 分 为 以下 几 种形 式 ： y ax2； y ax2 k；y ax h；y ax h k；y ax2bxc.二次函数解析式的表示方法一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0） ；22a 0向下x=hx的增大而增大；x h时，y有最大值k抛物线y ax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；b.特别地，y轴记作直线x 0.2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x 顶点式：y a(x h)2 k（a

4、，h，k为常数，a 0） ；两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点， 即b2 4ac 0时， 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数y ax的性质2b4ac b2（，）顶点坐标坐标：2a4a顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线y ax2bxc中，a,b,c与函数图像的关系a的符号开口方向顶点坐标对称

5、轴性质二次项系数ayyx二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0y轴x 0时， 随的增大而增大；x 0时，00，a 0向上随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 当a 0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；x 0时，y随x的增大增大而减小；x 0 当a 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大y轴时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最00，a 0向下总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大大值0小一次项系数b二次函数y ax2c的性质在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对

6、称轴 在a 0的前提下，性质性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴b当b 0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，yc2aa 0y轴0，向上随x的增大而减小；x 0时，y有最小值cb当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ax 0时，y随x的增大而减小；x 0时，ycy轴a 00，向下随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c第 1 页 共 6 页b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即b当b 0时，0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时，0，即抛物线对称轴在y轴

7、的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要a，求抛物线的顶点、对称轴的方法当b 0时，公式法：y ax2bxc ax 轴是直线x 一次函数y kxnk 0的图像l与二次函数y ax2bx ca 0的图像g的交点，则横坐标是ax bx c k的两

8、个实数根.2y kxn由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有两2y ax bxc个交点; 方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线y ax2bxc与x轴 两 交 点 为ax1， 0，bx2， 0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa2二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称y a2x b x 关于cx轴对称后，得

9、到的解析式是y ax2bxc；b4ac bb 4ac b（，），顶点是，对称2a4a2a4a222y axhk关于x轴对称后，得到的解析式是y axhk；关于y轴对称y a2x b x 关于cy轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；22b.2a2y axhk关于y轴对称后，得到的解析式是y axhk；关于原点对称y a2x b x 关于原点对称后，得到的解析式是cy ax2bxc；y axh 关于原点对称后，得到的解析式是ky axhk；关于顶点对称2222配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.运用抛物线的对称性：由于

10、抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2b2y a x b x 关于顶点对称后，得到的解析式是cy ax bxc；2a22y axhk关于顶点对称后，得到的解析式是y axhk22交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.直线与抛物线的交点n对称关于点

11、m，n对称后，得到的解析式是y axh2m2nky axhk关于点m，22y轴与抛物线y ax bxc得交点为(0,c).222总结： 根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bxc有且只有一个交点(h,ahbh c).抛物线与x轴的交点:二次函数y ax bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标

12、x1、x2，是对应一元二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，22二次函数图象的平移平移步骤：k； 将抛物线解析式转化成顶点式y axhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，2第 2 页 共 6 页向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h

13、0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0y图像0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=y ax2bx c可转化为两根式y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a a 的绝对值越大，抛物线的开口越小的绝对值越大，抛物线的开口越小,a,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小的绝对值越大，抛物线的开口越小. .（3）三顶点三顶点顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k是常数，a 0)y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)a0y0 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；知识点三、二次函数的最值知识点三、二次函数的最值如果自变量的取

14、值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值 （或最小值） ， 即当x b时，2ay最值4ac b2。4ab是否在自变量取值范围x1 x x22a如果自变量的取值范围是x1 x x2，那么，首先要看b4ac b2y最值内， 若在此范围内， 则当x=时，； 若不在此范围内， 则需要考虑函数在x1 x x22a4a2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当x x2时，y最大 ax2bx2c，当x x1时，y最小 ax12bx1c；如果在此 范围内， y 随 x 的增大而减小 ，则当x x1时，2y最大 ax12bx1c，当x x2时，y最小 ax2bx2c。bbbb，顶点坐

15、标是（，（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a2a2a4ac b2） ；4a（3）在对称轴的左侧，即当 x4ac b2） ；4abb时，y 随 x（3）在对称轴的左侧，即当 x、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时开口向上当a 0时开口向下对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)性质的增大而减小；在对称轴 的右侧，即当xy ax2y ax k2x 0（y轴）x 0（y轴）x hb时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2ab时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（4）抛物线有最低点，当x=增右减；y ax h2bb时，y 有最小（4）抛物线有最

16、高点，当 x=时，y 有最2a2a大值，y最大值y ax h k2x h值，y最小值4ac b24a24ac b24ay ax2bxcx b2ab4ac b2，()2a4a2、二次函数y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。2y2 y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程：k tanx2 x14 4、两点两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:y y1 kxb ( t an)xb y2 y1x(x x1)此公式有

17、多种变形此公式有多种变形牢记牢记x2 x1知识点五知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 a 坐标为（x1，y1）点 b 坐标为（x2，y2）则 ab 间的距离，即线段 ab 的长度为x1 x22y1 y22a点斜点斜y y1 kx(x x1)斜截斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：0 xbxy1ab2y ax bx c图象的画法图象的画法知识点五知识点五

18、 二次函数二次函数牢记牢记口诀口诀 - -两点斜截距两点斜截距-两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距l1：y k1x b1l2：y k2x b2若l1/ l2，5、 设两条直线分别为，则有l1/l2 k1 k2且b1 b2。若l l k k 112126、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:d 五点绘图法： 利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：c、与x轴的交点x1，顶点、 与y轴的交点0， c、以及0， c关于对称轴对称的点2h，0，x2， 0（若与x轴没有交点，则取两组