二次函数公式(精华)之欧阳化创编

1、欧阳化创编 2021.02.06二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总时间：2021.02.06创作：欧阳化1.1.定义定义：一般地一般地，如果如果yax2bxc(a,b,c是常数是常数，a 0)，那么那么y叫做叫做x的二次函数的二次函数. .2.2.二次函数二次函数y ax2的性质的性质(1)(1)抛物线抛物线y ax2（a 0）的顶点是坐标原点的顶点是坐标原点，对称轴是对称轴是y轴轴.(2).(2)函数函数y ax2的图像与的图像与a的符号关系的符号关系. .当当a 0时时抛物线开口向上抛物线开口向上顶点为其最低点顶点为其最低点；当当a 0时时抛抛物线开口向下物线开口向下顶点为其最高点顶点为

2、其最高点3.3.二次函数二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于( (包括重合包括重合) )y轴的抛物轴的抛物线线. .4.4.二次函数二次函数y ax2bx c用配方法可化成用配方法可化成 ：y ax h2 k的形式的形式 ，其中其中b4 ac b2h ， k 2 a4 a. .； ； 5.5.二次函数由特殊到一般二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式可分为以下几种形式：y ax2； y ax2 ky ax h2； y ax h k2y ax2bx c. .6.6.抛物线的三要素抛物线的三要素：开口方向开口方向、对称轴对称轴、顶点顶点. .a决定抛物线的开口方向决

3、定抛物线的开口方向 ：当当a 0时时，开口向上开口向上；当当a 0时时，开口向下开口向下；a相等相等，抛物线的开抛物线的开口大小口大小、形状相同形状相同. .平行于平行于y轴轴( (或重合或重合) )的直线记作的直线记作x h. .特别地特别地，y轴记作直线轴记作直线x 0. .7.7.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置. .几个不同的二次函数几个不同的二次函数，如果二次项系数如果二次项系数a相相同同，那么抛物线的开口方向那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同开口大小完全相同，只是顶点的位置只是顶点的位置欧阳化创编 2021.02.06欧阳化创编 2021.02.06不同不同. .8.8

4、.求抛物线的顶点求抛物线的顶点、对称轴的方法对称轴的方法b 4acb2(1)(1)公式法公式法 ：y ax bxc ax 2a4a轴是直线轴是直线xb. .2a22b 4acb2），对称对称，顶点是顶点是（，2a4a(2)(2)配方法配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式的形式，得到得到顶点为顶点为( (h, ,k) )，对称轴是对称轴是x h. .(3)(3)运用抛物线的对称性运用抛物线的对称性 ：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴所以对称轴的连线的垂直平分线是

5、抛物线的对称轴 ，对称轴对称轴与抛物线的交点是顶点与抛物线的交点是顶点. .用配方法求得的顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证再用公式法或对称性进行验证，才能做到万才能做到万无一失无一失9.9.抛物线抛物线y ax2bx c中中，a,b,c的作用的作用(1)(1)a决定开口方向及开口大小决定开口方向及开口大小，这与这与y ax2中的中的a完全一样完全一样. .(2)(2)b和和a共同决定抛物线对称轴的位置共同决定抛物线对称轴的位置. .由于抛物线由于抛物线yax2bxc的对称轴的对称轴是直线是直线x b, ,故故：2ab 0时时，对称轴为对称轴为y轴轴；b 0( (即即a、b同号

6、同号) )时时, ,对称轴在对称轴在y轴左轴左a侧侧；b 0( (即即a、b异号异号) )时时, ,对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧. .a(3)(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线y ax2bx c与与y轴交点的位置轴交点的位置. .当当x 0时时，y c，抛物线抛物线y ax2bx c与与y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0(0，c) )：c 0，抛物线经过原点抛物线经过原点 ; ; c 0, ,与与y轴交于正半轴轴交于正半轴；c 0, ,与与y轴交于负半轴轴交于负半轴. .以上三点中以上三点中，当结论和条件互换时当结论和条件互换时，仍成立仍成立. .如抛物线的对称轴在如抛物线的对

7、称轴在y轴轴欧阳化创编 2021.02.06欧阳化创编 2021.02.06右侧右侧，则则b 0. .a10.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式y ax2y ax2 k开口方向开口方向对称轴对称轴x 0( (y轴轴) )顶点坐标顶点坐标(0,0)(0,0)(0,(0,k) )( (h,0),0)( (h, ,k) )b4ac b2( (，) )2a4a当当a 0时时2y ax h开口向上开口向上2y ax h k当当a 0时时开口向下开口向下2y ax bx cx 0( (y轴轴) )x hx hbx 2a11.11.用待定系数法求二次

8、函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 (1) (1)一般式一般式：y ax2bx c. .已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对x、y的值的值，通常选通常选择一般式择一般式. . (2) (2)顶点式顶点式：y ax h2 k. .已知图像的顶点或对称轴已知图像的顶点或对称轴 ，通常选择顶点通常选择顶点式式. . (3) (3)交点式交点式：已知图像与已知图像与x轴的交点坐标轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式通常选用交点式 ：y ax x1x x2. .12.12.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 (1) (1)y轴与抛物线轴与抛物线y ax2bx c得交点为得交点为( (0

9、, c) ) (2) (2)与与y轴平行的直线轴平行的直线x h与抛物线与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点有且只有一个交点( (h, ,ah2bh c). ). (3) (3)抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点二次函数二次函数y ax2bx c的图像与的图像与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2，是是对应一元二次方程对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根的两个实数根. .抛物线与抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定元二次方程的根的判别式判定 ：有两个交点有两个交点 0抛物线与抛物线与x轴相交轴相交；有一个交点有

10、一个交点( (顶点在顶点在x轴上轴上) ) 0抛物线与抛物线与x轴相切轴相切；欧阳化创编 2021.02.06欧阳化创编 2021.02.06没有交点没有交点 0抛物线与抛物线与x轴相离轴相离. .(4)(4)平行于平行于x轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点同同(3)(3)一样可能有一样可能有 0 0 个交点个交点、1 1 个交点个交点、2 2 个交点个交点. .当有当有 2 2 个交点个交点时时 ， 两两 交交 点点 的的 纵纵 坐坐 标标 相相 等等 ， 设设 纵纵 坐坐 标标 为为ax2 bx c k的两个实数根的两个实数根. .k， 则则 横横 坐坐 标标 是是(5)(5)一

11、次函数一次函数y kxnk 0的图像的图像l与二次函数与二次函数y ax2 bx ca 0的图像的图像g的交点的交点，由方程组由方程组y kx n的解的数目来确定的解的数目来确定：2y ax bx c方程组有两组不同的解时方程组有两组不同的解时l与与g有两个交点有两个交点; ;方程组只有一组解时方程组只有一组解时l与与g只有一个交点只有一个交点 ；方程组无解时方程组无解时l与与g没有交点没有交点. .(6)(6)抛物线与抛物线与x轴两交点之间的距离轴两交点之间的距离 ：若抛物线若抛物线y ax2bx c与与x轴两交轴两交0，bx2，0，由于由于x1、x2是方程是方程ax2bx c 0的两个根的

12、两个根 ，故故点为点为ax1，bcx1x2 ,x1x2aa1313二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1)一元二次方程一元二次方程y ax2bx c就是二次函数就是二次函数y ax2bx c当函数当函数 y y 的值的值为为 0 0 时的情况时的情况(2)(2)二次函数二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴的交点有三种情况轴的交点有三种情况 ：有两个交有两个交点点、有一个交点有一个交点 、没有交点没有交点；当二次函数当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有交点时轴有交点时，交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y 0时自变量时自变量x的值的值，即一

13、元二即一元二次方程次方程ax2bxc 0的根的根(3)(3)当二次函数当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有两个交点时轴有两个交点时，则一元二次方则一元二次方程程y ax2bx c有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 ；当二次函数当二次函数y ax2bx c的的图象与图象与x轴有一个交点时轴有一个交点时，则一元二次方程则一元二次方程ax2bxc 0有两个相等有两个相等欧阳化创编 2021.02.06欧阳化创编 2021.02.06的实数根的实数根；当二次函数当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴没有交点时轴没有交点时 ，则则一元二次方程一元二次方程ax2bxc 0没有实数根没有实数根14.14.二次函数的应用二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题二次函数常用来解决最优化问题 ，这类问题实际上就是求函数的这类问题实际上就是求函数的最大最大( (小小) )值值；(2)(2)二次函数的应用包括以下方面二次函数的应用包括以下方面 ：分析和表示不同背景下实际问题分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( (小小) )值值15.15.解