二次函数图像与性质解析版版

1、二次函数的图像及性质二次函数的图像及性质知识点知识点1.1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。限制条件（1）自变量的最高次数是； （2）二次项系数。2二次函数的解析式（表达式）三种形式，重点是前两种。（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a0） ，此时二次函数的顶点坐标为（，） ，对称轴是。注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。（3）交点式（两点式） ：设 x1、x2是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1） （x-x2）此时抛物线的对称轴为直线 x=x1x2。2注意： （1）当顶点在 x 轴上（即抛物

2、线与 x 轴只有一个交点（0，x1） ）时，函数表达式为。这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a0）中，h=；k=。当=b2-4ac时，才有两根式。3、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质 -抛物线的特征-待定系数a,b,c 的作用二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象是一条线，它是一个对称图形， 抛物线与对称轴

3、的交点叫抛物线的点。 不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。（1）形状-开口大小。由决定，越大，开口越。（2）开口方向：由决定。当 a0 时，函数开口方向向；当 a0 时，在对称轴左侧，即 x时，y 随着 x 的增大而；在对称轴右侧，即x时，y 随着 x 的增大而；当a0 时，函数有最值，并且当 x=时，y 最小值=；当 a0时，函数有最值，并且当x=，y 最大值=；并且考虑在端点处是否取得最值。若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。（7）与坐标轴的交点与 x 轴的交点求法： 解方程， 其求根公式是。个数：当=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交

4、点；=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点；=b2-4ac 0 时；抛物线与 x 轴只有一个交点，即顶点在轴上。与 y 轴的交点： （，）（8）函数值的正、负性：如图 1：当 xx1或 xx2时，y 0；当 x1xx2时，y 0；当 x=x1或 x=x2时，y 0。如图 2：当 x1xx2时，y 0；当 xx1或 xx2时，y 0；当 x=x1或 x=x2时，y 0.(9)二次函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点坐标为 a（x1，0） ，b（x2，0） ，则二次函数图象与 x 轴的交点之间的距离ab=x1 x2x1 x22= =x1 x22 4x1x2(10)二次函数

5、y=ax2+bx+c（a0）中 a、b、c 及其代数式的符号判别：a 的符号判别-由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0；c 的符号判别-由抛物线的与 y 轴的交点来确定： 若交点在 x 轴的上方， 则 c0；若交点在 x 轴的下方，则 c 0；bb 的符号由对称轴来确定：对称轴在 y 轴的左侧，由 0 知 a、b 同号；2ab若对称轴在 y 轴的右侧，由 0 知 a、b 异号。2a（11）缺项二次函数的特征抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点在 y 轴上时抛物线关于轴对称， =0；解析式为。抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则 =0；解析式为。抛

6、物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点在原点，则 b= c=，解析式为。（12）抛物线的平移和轴对称无论 b，c 值为多少，抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。抛物线 y=ax2+bx+c 上（下）平移 n（n0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为；抛物线 y=ax2+bx+c 左（右）平移 n（n0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为。物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）物线 y=ax2+bx+c 关于 y

7、轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）小结：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）待定系数 a,b,c 的作用（1）a-a 的符号决定；a 的绝对值决定。（2）c-c 决定抛物线与轴交点的位置。（3）b-b 单独不能起什么作用。b根据，a，b 共同决定抛物线对称轴的位置；2a2=b -4ac 决定：4、二次函数的解析式的求法-待定常数法三种基本情况（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用式。（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；（3）已知抛物线与 x 轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通

8、常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。5.二次函数图象的画法画二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的一般步骤（1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；（2）利用抛物线的性列表；（3）先画对称轴，再对称描点连线。实际上， 我们解题时只需画抛物线的草图。 画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。6.二次函数与一元二次方程的关系（1）从形式来看，二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，当 y=时，得一元二次方程 ax2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；（2）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）

9、的图象与 x 轴的交点情况正好由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的决定；（3） 一般地， 一元二次方程 ax2+bx+c=k （a0） 的根可以看成是直线 y=与抛物线 y=ax2+bx+c （a0） 的交点坐标。 也就是说解方程组与解方程 ax2+bx+c=k（a0）是等价的。一一 定义题：定义题：例 1： （1）若函数 y（k3）xk23k+2+kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是。（2）已知二次函数 yx2+bx+c 的图像过点 a（c，0） ，且关于直线 x2 对称，则这个二次函数的解析式可能是。 （只要求写出一个可能的解析式） 。 （俞浚）解： （1）由 k30 且 k2-

10、3k+22 得 k0.c2+bc+c0（2）根据题意，得， ，b，解得，2b4b42所以 yx24x+3 或 yx24x.c3c0二二 待定系数法求解析式：待定系数法求解析式：2例 2. 已知抛物线y ax bx c经过 a，b，c 三点，当x 0时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.（俞浚）图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c（a 0）.由图象可知 a，b，c 的坐标分别为（0，2） ， （4，0） ， （5，-3）.21a ,2c 2,316a 4b c 0,解之，得b ,225a 5b c 3，c 2123x x 222抛物线的解析式为y 11

11、325y (x2 3x) 2 (x )22228325该抛物线的顶点坐标为(，).281233x mx n经过点(0，)与(4，).求这条抛物线的解析422例3. 一条抛物线y 式.（俞浚）【答案与解析】抛物线y 1233x mx n经过点（0,）和(4, )，242这条抛物线的对称轴是直线x 2.设所求抛物线的解析式为y 1(x 2)2 h.4将点(0, )代入，得32131(0 2)2 h ，解得h .4221113(x 2)2，即y x2 x .4242这条抛物线的解析式为y 例 4.已知抛物线y ax2 bx c的顶点坐标为（1，4） ，与x轴两交点间的距离为 6，求此抛物线的函数关系

12、式.（俞浚）【答案与解析】因为顶点坐标为（1，4） ，所以对称轴为x 1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为 6，所以两交点的横坐标分别为：x1 1 3，x2 1 3， 则两交点的坐标为 （4，0） 、 （2，0） ；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：y a(x 1)2 4(a0)，把（2，0）代入得a 4，94(x 1)2 4；9所以抛物线的函数关系式为y （x-2）解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：y a(x4)(a0)，把（1，4）代入得a 4，94y (x4) （x-2）9所以抛物线的函数关系式为：；练习：练习：1.如图所示，已知二次函数y

13、 浚）(1)求这个二次函数的解析式；12x bxc的图象经过 a(2，0)，b(0，-6)两点 （俞2 (2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点 c，连接 ba，bc，求abc 的面积【答案与解析】(1)把 a(2，0)，b(0，-6)代入y 12x bxc2得22bc 0,b 4,解得c 6,c 6.12x 4x624 4，122 这个二次函数的解析式为y (2) 该抛物线的对称轴为直线x 点 c 的坐标为(4，0)， acoc-oa4-22sabc121acob 26 62322、已知二次函数图象的顶点是(1（俞浚）， 2)，且过点0，（1）求二次函数的表达式；m )都不在这个二次函数

14、的图象上.（2）求证：对任意实数m，点m(m，【答案】 （1）y 2123x x ；222m )在此二次函数的图象上，则m2 （2）证明：若点m(m，得m 2m3 0=412 8 0，该方程无实根所以原结论成立21(m1)2223 3，与坐标轴对称问题，与坐标轴对称问题例例 5 5：求抛物线 y=2x2-4x-5 关于 x 轴对称的抛物线。 （俞浚）解析：方法一、利用顶点式：解析：方法一、利用顶点式：y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7抛物线 y=2x2-4x-5 的顶点为（1，-7） 。抛物线 y=2x2-4x-5 关于 x 轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，

15、顶点关于x 轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7） 。所以，抛物线 y=2x2-4x-5 关于 x 轴对称的抛物线为 y=-2(x-1)2+7.方法二、利用点对称：设点 p（x，y）在对称后的抛物线上，则 p 点关于 x 轴对称的对称点为 p（x，-y）必在抛物线 y=2x2-4x-5 上。点 p（x，-y）符合解析式。所以在 y=2x2-4x-5 中，用 x 代换 x，y代换 y得-y=2x2-4x-5即 y=-2x2+4x+5 为所求的抛物线。例例 6 6 求抛物线 y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称的抛物线。 （俞浚）解：方法一、利用顶点式：解：方法一、利用顶点式

16、：y=4x2+8x-4=4（x+1）2-8抛物线 y=4x2+8x-4 的顶点为（-1，-8） 。抛物线 y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样， 开口的方向保持不变，顶点关于 y 轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，-8） 。所以，抛物线 y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称的抛物线为 y=4(x-1)2-8.方法二、利用点对称：设点 p（x，y）在对称后的抛物线上，则p 点关于 y 轴对称的对称点为 p（-x，y）必在抛物线 y=4x2+8x-4 上。点 p（-x，y）符合解析式。所以在 y=4x2+8x-4 中，用-x 代换 x，y 代换

17、 y得 y=4(-x)2+8(-x)-4即 y=4x2-8x-4 为所求的抛物线。说明：关于说明：关于 y y 轴对称：将解析式中的轴对称：将解析式中的( (x x，y y) )换成它的对称点换成它的对称点( (x x，y y) )， y yaxax2 2bxbxc c 变为变为 y yaxax2 2bxbxc c. .练习练习3 3（俞琳）（俞琳）（俞琳）（俞琳）3 3，二次函数中，二次函数中 a,b,ca,b,c 的判断的判断例例 7 7 已知二次 函数 y=ax2+bx+c经过 一,三,四象限 (不经过 原点和 第二 象限)则直 线 y=ax+bc 不经过（ ）（赵 春娣 ）a.第一象限

18、 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限例例 8 8已知二次函数y=ax2+bx+（c a， b， c是常数， 且a0 ） 的图象如图所示， 则一次函数y=cx+与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（） （俞琳）abcd解答：解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x=b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，一次函数 y=cx+四象限故选 b的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、0，例例 9 9（俞琳）（俞琳）练习（俞琳）练习（俞琳）4、 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是() a.a0,b0,c0 b.a0,b0,c0 c.a0,b0,c0 d.a0,b0,c04 4 函数的增减性与最值函数的增减性与最值例 10：函数y (x2)(3 x)取得最大值时，x 的值为() a（俞浚）（俞浚）练习：练习：8.已