二次函数知识点归纳

1、【课标要求】【课标要求】考点课标要求知识与技能目标了解 理解 掌握灵活应用理解二次函数的意义会用描点法画出二次函数的图像会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴二次函 通过对实际问题的分析确定二次函数数表达式理解二次函数与一元二次方程的关系会根据抛物线 y=ax2+bx+c (a0)的图像来确定 a、b、c 的符号【知识梳理】【知识梳理】1.定义：一般地，如果二次函数.2.二次函数是常数，用配方法可化成：，那么叫做的的形式，其中.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴（或重合）的直线记作.

2、特别地，轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（ 1 ） 公 式 法 ：，对称轴是直线.， 顶 点 是（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

3、的对称（即、同号）（2）和共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线轴是直线，故：时，对称轴为轴；时，对称轴在轴左侧；（3） 的大小决定抛物线（即、异号）时，对称轴在轴右侧.与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：一般式.（2）顶点式：顶点式.（3）交点式： 已知 图像与.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线（2）与轴平行的直线(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应

4、一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是（5）一次函数的图像 与二次函数的两个实数根.的图得交点为(0,).与抛物线有且只有一个交点.已知图像上三点或三对、的值，通常选择.已知图像的顶点或对称轴，通常选择轴的交点 坐标、，通 常选用交 点式 ：像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个

5、交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线为，由于、【能力训练】1二次函数 y=x26x5，当时，随的增大而减小。2. 抛 物 线（）的 顶 点 坐 标 在 第 三 象 限 ， 则，且的 值 为是方程的两个根，故与轴两交点a b c d 3抛物线 y=x22x3 的对称轴是直线（） ax =2 bx =2cx =1 dx =14 二次函数 y=x2+2x7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（）a3 b5 c3 和 5 d3 和55抛物线 y=x2x 的顶点坐标是（）6二次函数的图象，如图 1240 所示，根据图象可得 a、

6、b、c 与 0 的大小关系是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c07小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 h=35 t49t2(t 的单位 s；h 中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）a071s b0.70s c0.63s d036s8已知抛物线的解析式为 y=（x2）2l，则抛物线的顶点坐标是（） a（2，1）b（2，l）c（2，1）d（1，2）9若二次函数 y=x2x 与 y=x2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（） a这两个函数图象有相同的对称轴 b这两个函数图象的开口方

7、向相反 c方程x2+k=0 没有实数根 d二次函数 y=x2k 的最大值为10抛物线 y=x2 +2x3 与 x 轴的交点的个数有（）a0 个 b1 个 c2 个 d3 个11抛物线 y=（xl）2 +2 的对称轴是（）a 直 线x= 1b 直 线x=1c 直 线x=2 d直线 x=212已知二次函数的图象如图所示，则在“ a0，b0，c 0，b24ac0”中，正确的判断是（）a、 b、 c、 d、13已知二次函数(a0）的图象如图所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=2时，x 的值只能取 0其中正确的个数是（）al 个 b2 个 c3

8、个 d4 个14如图，抛物线的顶点 p 的坐标是（1，3），则此抛物线对应的二次函数有（） a最大值 1 b最小值3c最大值3 d最小值 1 15用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量 x 的值以相等间隔的值增加时，函数 y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650其中有一个值不正确，这个不正确的值是（） a506 b380 c274 d182 16将二次函数 y=x24x+ 6 化为 y=(xh)2+k 的形式：y=_ 17把二次函数 y=x24x+5 化成 y=(xh)2+k 的形式：y=_ 18若二次函数 y=x24x+c 的图象与 x

9、轴没有交点，其中 c 为整数，则 c=_（只要求写一个） 19抛物线 y=(x1)2+3 的顶点坐标是_ 20二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_. 21. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 a（1,0）、b（3,0）、c（0,3）三点，（1）求抛物线的解析式和顶点 m 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）若点（x0,y0）在抛物线上，且 0 x04,试写出 y0 的取值范围。 22华联商场以每件 30 元购进一种商品，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数 y=1623x；（1）写出商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的

10、函数关系式；（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？23某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求累积利润 s（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 24如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面 ab 的宽是 20 米，如果水位上

11、升 3 米时，水面 cd 的宽为 10 米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥千米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40 千米的速度开往乙地，当行驶到 1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在 cd 处），当水位达到桥拱最高点 o 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？ 25.已知直线 y2xb(b0)与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物

12、线的解析式为 yx2(b10)xc.若该抛物线过点 b，且它的顶点 p 在直线 y2xb 上，试确定这条抛物线的解析式；过点 b 作直线 bcab 交 x 轴于点 c，若抛物线的对称轴恰好过 c 点，试确定直线 y2xb 的解析式. 26已知抛物线 y=(1-m)x2+4x-3 开口向下，与 x 轴交于 a(x1,0)和 b(x2,0)两点，其中 xlx2 (1)求 m 的取值范围； (2)若 x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； 27如图，等腰梯形abcd的边bc在x轴上，点a在y轴的正方向上，a( 0,6 )，d( 4，6)，且 ab=2.（1）求点b的坐标；（2）求经过a、b、d三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点p，使得 spbd=s 梯形abcd。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由. 28数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围