二次函数知识点总结与相关典型题目

1、-.二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分第一部分 二次函数基础知识二次函数基础知识相关概念及定义b， c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需二次函数的概念：一般地，形如y ax2bxc（a，c可以为零二次函数的定义域是全体实数要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，二次函数y ax2bxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2b， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a，二次函数各种形式之间的变换b4ac b2，k 二次函数y ax bx c用配方法可化成：y ax h k的形式，其中

2、h .2a4a222二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k；y ax h；22y ax h k；y ax2 bx c.2二次函数解析式的表示方法一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0） ；顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0） ；两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数y ax的

3、性质a的符号2开口方向向上顶点坐标对称轴a 00， 00， 0y轴a 0向下y轴yyxx 0时，随的增大而增大；x 0时，yx随的增大而减小；x 0时， 有最小值0 x 0时，y随x的增大增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值cx 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c性质性质二次函数y ax2c的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0向上0， cy轴a 0向下0， cy轴二 次 函 数y ax h2的性质：a的 符号开口方向顶点坐标对称轴性质-

4、考试资料-.抛x h时，y随x的增大而增大；xh时，y随xa 0向上h， 0x=h的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；xh时，y随xa 0向下h， 0x=h的增大而增大；x h时，y有最大值0二次函数y ax h k的性质2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，y随x的增大而增大；xh时，y随a 0向上h， kx=hx的增大而减小；x h时，y有最小值kx h时，y随x的增大而减小；xh时，y随物线a 0向下h， kx=hx的增大而增大；x h时，y有最大值ky ax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向

5、上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x b.特别地，y轴记作直线x 0.2ab4ac b2（，）顶点坐标坐标：2a4a顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线y ax bx c中，a,b,c与函数图像的关系2二次项系数a二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0 当a 0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线

6、开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，b当b 0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即-考试资料-.b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y

7、轴交点的纵坐标为正；当b 0时， 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2b 4ac b2（，），对称轴是直线公式法：y ax bx c ax ， 顶点是 2a4a2a4abx .2a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.22运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对

8、称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0,c).22与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点(h,ahbh c).2抛物线与x轴的交点:二次函数y

9、 ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次2方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.2一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像g的交点，由方程组y kxn的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时

10、l与g有两个交点; 方程组只有一组解2y ax bxc时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.20，bx2，0，由于x1、x2抛物线与x轴两交点之间的距离： 若抛物线y ax bx c与x轴两交点为ax1，-考试资料-.是方程ax bx c 0的两个根，故2bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x224cb24acb4x1x2 aaaa2二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h k关于x轴对称后，得到的解析式是y ax hk；2

11、2关于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h k关于y轴对称后，得到的解析式是y ax h k；22关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h k关于原点对称后，得到的解析式是y ax h k；22关于顶点对称b2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y ax h k关于顶点对称后，得到的解析式是y ax h k22n对称关于点m，y ax h k关于点m， n对称后，得到的解析式是y ax h 2m 2n k22总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，

12、抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：k； 将抛物线解析式转化成顶点式y ax h k，确定其顶点坐标h，2k处，具体平移方法如下： 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，y=ax2向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0a0y0 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；y图像0

13、 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=性质bbbb，顶点坐标是（，（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a2a2a4ac b2） ；4a4ac b2） ；4a-考试资料-.（3）在对称轴的左侧，即当 xbb时，y 随 x（3）在对称轴的左侧，即当 x的增大而减小；在对称轴 的右侧，即当xb时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2ab时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（4）抛物线有最低点，当 x=增右减；bb时，y 有最小（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最2a2a大值，y最大值值，y最小值4ac b24a24ac b24a2、二次函数y ax bx

14、c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。知识点五知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 a 坐标为（x1，y1）点 b 坐标为（x2，y2）则 ab 间的距离，即线段 ab 的长度为x1 x22y1 y22a0 xb2y ax bx c图象的画法图象的画法知识点五知识点五 二次函数二

15、次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及c、顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c关于对称轴对称的点2h， c、与x轴的交点x1， 0，x2， 0（若与x轴没有交点，则取两组关于以及0，对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.、已知二次函数y ax bx c(a 0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）a、a 0，b 0，c 0b、a 0，b 0，c 0c、a 0，b 0，c 0d、a 0，b 0，c 02-

16、考试资料-.、函数y ax a与y 2a(a 0)在同一坐标系中的图象可能是（）xy yy yx xox xy yy yox xoox xabcd特别记忆特别记忆-同左上加同左上加异右下减异右下减 ( (必须理解记忆必须理解记忆) )说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左同左，a b 值异号，图像顶点必在y 轴右侧异右异右向左向上移动为加左上加左上加，向右向下移动为减右下减右下减3、直线斜率：y2 y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程：k tanx2 x1y2 y1x(x x1)x2 x14 4、两点两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式 :y y1 kxb (tan

17、)xb 此公式有多种变形此公式有多种变形牢记牢记点斜点斜y y1 kx(x x1)斜截斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记牢记口诀口诀-两点斜截距两点斜截距-两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距xy1abl1：y k1x b1l2：y k2x b2若l1/ l2，5、 设两条直线分别为，则有l1/ l2 k1 k2且b1 b2。若l1 l2 k1 k2 16、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:d 7 7、抛物线、抛物线y ax2 bx c中，中， a b c,a b

18、c,的作用的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.2kx0 y0bk (1)22kx0 y0bk 12（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线2x bbb，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0（即a2aaa、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀口诀 - 同左同左异右异右（3）c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.2当x 0时，y c， 抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c） ：2-考试资料-.c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则22二次函数y ax、y ax k、y ax h、y ax h k的性质22b 0.a函数解析式开口方向顶点对称轴最值y ax2y ax2 ky ax hy ax h k22当a 0时,开