南开大学高等数学课件13 导数与微分

1、第一章 微积分1.3 导数与微分2.3 导数与微分主要教学内容：导数与微分的概念，计算导数与微分的概念，计算高阶导数高阶导数隐函数的导数与微分隐函数的导数与微分分段函数的导数分段函数的导数经济学函数的弹性经济学函数的弹性用微分作近似计算用微分作近似计算二元函数的导数与微分二元函数的导数与微分 2.3 导数与微分导数的概念1.曲线的切线斜率 圆的切线：与圆相交于唯一点的直线 但对于一般曲线, 切线是不能这样定义的例如下图中右边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点。 2.3 导数与微分为确切表达切线的含义, 需应用极限的思想请看下图 2.3 导数与微分 点P(x0,f(x0)= P(x0,

2、y0)是曲线y=f(x)上的给定点, 点Q(x,y)=Q(x,f(x)是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时xx0；在左侧时 x x0 动直线PQ 是曲线的割线 如果动点Q 无限地逼近定点P 时, 动直线PQ 有一个极限位置PT, 即 则称PT 为曲线在P 点的切线 建立PT 的方程, 只需确定其斜率由于PT 是PQ 的极限,从而PT 的斜率是PQ 斜率的极限, 极限过程是由QP 产生而QP 即xx0 现设PT对于x 轴的倾角(即x 轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为,PT的斜率为k=tan 2.3 导数与微分现在割线PQ 的斜率为则切线PT 的斜率为：由此得切线PT 的方程是： y f(x

3、0) = k(x x0) 2.3 导数与微分2. 导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内有定义，y0 =f(x0)如果xX x0，我们称x = xx0 ( 读作delta )为自变量的改变量自变量的改变量，y = f(x)f(x0)为函数函数的的( (对应对应) )改变量改变量，比值 为函数的差商或平差商或平均变化率均变化率 如果极限 存在，则称函数y =f(x)在点x0可导可导 ( (或可微或可微) )，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x 的导数导数( (或微商或微商) )记作 因x =xx0， x= x0+x，故还有 此时，曲线y =f(x) 在点(x0，

4、f (x0) )的切线方程是注. x 可正可负，依x 大于或小于x0 而定2.3 导数与微分000()yffxxxx 2.3 导数与微分根据定义求已知函数y = f(x) 在给定点x0 的导数的步骤是：1.计算函数在自变量x0 +x 处的函数值 f(x0+x)；2.计算函数的对应改变量y=f(x0+x)f(x0)；3.写出函数的差商4.计算极限，即导数值 2.3 导数与微分 例2.3.1 求常数函数y = c 的导数 解 因y = y(x+x)y(x)=c c =0， 差商 此处x 可为任意实数，即常数函数y在任意点x 处的导数为0. 2.3 导数与微分例2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=

5、xn在点x处的导数解因特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1 2.3 导数与微分例2.3.32.3.3 求曲线yx3在点(2,8)处的切线方程解在上例中取n =3 可知函数y x3 在点x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y(2)=3 22 =12，故曲线yx3 在(2,8)处的切线方程是: y 8 = 12 (x 2) ，即 12x y 16 = 0 2.3 导数与微分注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y(x)，xX于是y(x)成为X 内有意义的一个新函数，它为给定函数y = f(x)的导函数

6、，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数 例如: 常数函数y = c 的导数是0，y = x 的导数是1，y =xn 的导数是nxn-1等等，分别记作c= 0，x=1，(xn)=nxn-1等等(2) 关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或y 看作一个整体，绝不能把x 看成与x 的乘积，为避免误解，用 (x)2来表示x的平方 2.3 导数与微分例2.3.4 y = sinx的导数是(sinx)=cosx， y =cosx 的导数是(cosx)=sinx 证同理可证， (cosx)= sinx 2.3 导数与微分例2.3.52.3.5y=logax(0a1)

7、的导数是 (logax)= 特别，(lnx)=1x 1lnxa 2.3 导数与微分例2.3.62.3.6 指数函数y=ax(0a1)的导数是 (ax)=axlna 证：(ax)=特别， 2.3 导数与微分2.3.2. 2.3.2. 变化率问题变化率问题 1. 1. 运动速度问题 设一质点沿直线运动，经过的路程s 是时间t 的函数：s=s(t) 时刻t 到t+t 时间段内质点的平均速度为： 该瞬时速度v(t)就是极限： 即质点运动速度是路程s 关于时间t 的导数。 s tts tvt 2.3 导数与微分例2.3.72.3.7 已知自由落体的运动方程为s=gt，其中g 9.8(m/s2)是重力加速

8、度常数，t与s分别以秒(s)和米(m)为单位求：(1)落体在t 到t+t 时间内的平均速度；(2) 落体在t=2，t=0. .1，0. .01，0. .001，0. .0001 这些时间段内的平均速度;(3) 落体在t 及t=2 时刻的瞬时速度解 (1)落体在t 到t+t 时间内的行程是 s = - = ,因此平均速度 = .212g tt212gt2122gt tt 122gttv 2.3 导数与微分(2) 按照(1)所求出的平均速度表达式，我们用下表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：t 时刻的瞬时速度： 在t=2 时刻的瞬时速度是： v(2)=2g29. .8=19. .6(m

9、/sm/s) 2.3 导数与微分2. 经济学函数的边际（不作为基本要求） 边际：导数在经济理论中的别名 设y=f(x)是某个经济学函数经济学把自变量在x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x)在x0 处的边际变化边际变化自变量单位的大小可能引起大小不同的误差比如成本函数C=C(x)，自变量x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成本变化就相差很大为减小这种误差，应取尽可能小的单位但不管取多小的单位，自变量的取值还是非负整数为了运用科学的微积分工具，我们假定成本等经济学函数的自变量x可取连续的非负实数值 2.3 导数与微分下面仍以成本函数C=C(x)为例 自变量(产量)x0 x0 +

10、x 变化x ( 个单位 ) 函数(成本) C(x0) C(x0+x)变化C=C(x0+x) C(x0) 差商是x 个产量的平均成本，即从x0 到x0 +x 时1 个单位的自变量变化引起函数的平均变化如果x=1，得C(x0)C=C(x0+1)C(x0) 由此可见，C(x0)近似地表示产量从x0 增加1 个单位时的添加成本， 或近似地表示第x0 + 1个单位产量的成但经济学中常略去“近似”二字，把C(x0)称为边际成本， 并解释为在产量x0 的水平上，再增加1个单位产量所增加的成本定义 设经济学函数y=f(x)在x0可导，则称导数f(x0)为函数f(x)在x0 处的边际值； 若f(x)是可导函数，

11、则导数f(x)称为f(x)的边际函数 2.3 导数与微分例2.3.82.3.8 设某产品的总成本函数为C(x)=1100+ ，其中x 为产量数求(1) 生产900 个单位时的总成本与平均成本;(2) 生产900 个单位到1000 个单位时总成本的平均变化率;(3) 生产900 个单位时的边际成本，并解释其实际经济意义解 (1)生产900 个单位时的总成本为C(900) = 1100 + = 1775, 此时的平均成本为21200 x29001200 2.3 导数与微分(2) 生产900 个单位到1000 个单位时总成本的平均变化率为 (3) 生产x 个单位时的边际成本为 ，因此生产900 个单

12、位时的边际成本为 . 其经济意义是：当产量在900的水平上，若生产增加(或减少)1个单位，成本将增加(或减少)1. .5注: 此处C(900)=1. .5，指的是近似于1. .5，即生产第901 个产品的成本近似于1. .5，生产第900 个产品的成本也近似于1. .5 实际上，经计算C(901)C(900)1. .5008,C(900)C(899)1. .4992教材第51页上 （应该熟记） 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.

13、3 导数与微分已得基本初等函数导数公式如下：2.3 导数与微分 2.3.32.3.3微分概念微分概念 在学习了导数之后，我们学习与导数相伴的微分概念让我们回到导数定义的图，并放大P 点邻近的图形:在光滑曲线y=f(x)上点P(x0,f(x0)的邻近，曲线看起来像直线(就是过P 的切线)，其斜率是导数f(x0)由于一次函数的计算比绝大多数别的函数简单， 因此我们可以期望在P的邻近近似地用切线PT 来代替曲线，即用一次函数y=f(x0)+f(x0)(xx0)来代替y=f(x). 设函数y=f(x)可导，其图象是光滑曲线，取定点P(x0，f(x0)，如下图 所示2.3 导数与微分2.3 导数与微分0

14、00000000000,()(),()()(),(),limlim()0, limlim()0.xxxxPBxBQyf xxf xBQyPBxBTfxBTfx PBfxxPBuTQBQBTyBQBTTQfxxuuyuyfxxfxxx 自变量的改变量：函数改变量：差商：导数：差数：极限如下：2.3 导数与微分可以忽略不计。误差为：。主要部分的是称因更高阶的无穷小量是比称快，的速度比趋于因此的乘积，与为两个无穷小量即又均为无穷小量，时，故当xxfyuyxxfuxxfyxuxuxuxuxxuuxuuxx)()(,)(.0,00002.3 导数与微分定义：定义：设函数y=f(x)在x0 可导，则x的线

15、性倍数 f(x0)x称为y =f(x)在x0 对应于自变量改变量x 的微分微分，记作 d y = f(xd y = f(x0 0) ) x .x .注注1 1. 微分依赖于两个因素： (1)函数的导数f(x0)； (2)是自变量的改变量x 一旦x0 取定，导数f(x0)也就取定，此时微分仅与x 成正比，比例系数即f(x0)2.3 导数与微分 .0lim)(limlim20000 xuxxxfyxdyyxxx：微分的另一特征为：注2.3 导数与微分定理2.3.1 若函数y=f(x)在x0可导,则f(x)在x0 连续000000000000( )( )()()limlim()0,lim ( )()

16、0,lim( )(),( )xxxxxxxxyf xxf xf xfxxxxxf xf xf xf xyf xx证：因函数在 可导即存在，又因故有从而即函数在点 连续。思考：定理的逆命题是否成立？2.3 导数与微分 现在 y ydydy，得计算函数值的近似公式 f f( (x x0 0+ +x x) )f f( (x x0 0)+)+f f( (x x0 0) ) x x 例例2.3.92.3.9 求函数y=x 在x 处对应于自变量改变量x 的微分 解 因x= 1 ，故微分为 dy=y(x) x=1 x=x 另一方面， y= x ， dy = dx 由此得 dx = dx = x x 这表明自

17、变量的微分等于自变量的改变量2.3 导数与微分 于是又可把微分dy=f(x x0 0 )x 写成dy=f(x x0 0 )dx 注意dx =x 是自变量x 的改变量，恒不为0，又可得到 综上所述，对每一函数y = f(x)，有导数(可导)与有微分(可微)是同一件事， 求导数与求微分的运算规律就完全统一在下述公式中： dy=fdy=f( (x x) )dx.dx.,)(0fydxdfdxdyxdxdyxf有：或对任意可导的点2.3 导数与微分从前面得到的导数公式有如下微分公式： 1sincos,cossin,ln, ,1, log,ln1ln,xxxxnnadxxdx dxxdxdaa a dx

18、dee dxdxnxdxdxdxxadxdxx 等等。2.3 导数与微分 函数y=f(x)在点x0 导数为 函数y=f(x)的微分为： dy=f(x)dx 00|lim)()(lim)()(lim)(0000000 xxxxxxdxdyxyxxxfxfxxfxxfxy2.3 导数与微分 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.3 导数与微分已得基本初等函数导数公式如下：2.3.4 导数与微分的计算1.1.导数与微分的四则运算导数与微分的四则运算 设u=u(x),v=v(x)为可导

19、函数，c为常数，则 公式1.(uv)=u v,d(uv)= dudv. 证 u(x)+v(x) ).()()()(lim)()(lim)()()()(lim000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxxxxuxxx2.3 导数与微分公式公式2 2.(uv) .(uv) =u=u v+uvv+uv , d(uv)=vdu+udv, d(uv)=vdu+udv证：.)()()()()()()()()(lim)(lim)(lim)()(lim)()()()()()()()(lim)()()()(lim)()(000000udvvdudxuvvudxuvuvdxvxuxvxuxxvxxvxu

20、xxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxxxx2.3 导数与微分 公式3. (cu) =cu, d(cu)=cdu证： .)()(,0)(cdudxcudxcucudcucucuuccu2.3 导数与微分 )0()(,).(422vvudvvduvudvuvvuvu公式)()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)(lim)(00000 xvxxvxxuxvxxvxuxxuxvxvxxuxxvxxvxvxuxuxxvxvxuxvxxuxxv

21、xxvxuxxvxvxxuxxvxuxxvxxuxvuvuxxxxx证：2.3 导数与微分 .)()(,)()()()()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim2222000000vudvvduvdxuvdxvudxvuvvudxvuvudxvxvxuxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxxxxx2.3 导数与微分.cscsin1sincoscos)sin(sinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot,seccos1cos)sin(sincosco

22、scos)(cossincos)(sin)cossin()(tan22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 导数与微分例12 求y=tanx,y=cotx的导数。.cotcscsincossin)(cos10sin)(sin1sin1)sin1()(csc,tanseccossincos)sin(10cos)(cos1cos1)cos1()(sec222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 导数与微分例13 求y=secx,y=cscx的导数.481541245322,1252.48154361694128)94)(41 (

23、)32(4)32)(41 ()32()41 (323243232322322323232xxxxxxyxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy故解二：因解一：2.3 导数与微分例14 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数.)sin1cos(ln1)sin()cos(ln1)sin()sin(ln)(ln)sin()sin(lndydxxxxxdxxxxxdxdxxdxxxxxddxxxdxxxxxd解2.3 导数与微分例15 求函数y=(x+sinx)lnx的微分。2.2.复合函数的导数与微分复合函数的导数与微分定理定理2.3.22.3.2（链锁法则）（链锁法则） 设z=f(y

24、),y=g(x)分别在点y0=g(x0)与 x0可导，则复合函数z=f( g(x)在x0可导，且求导。才表示整个函数对的求导，而表示对变量注：证明略或xxgfxgxgfxgyfxgfdxdydydzdxdzxxyyxx000)()()().()()()(|0002.3 导数与微分 链锁法则的几点说明链锁法则的几点说明1.略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式2.计算复合函数值的过程为： 而复合函数求导的过程为：dxdydydzdxdzzyx. xyzyydzdz dydzddxdy dxddx是两个导数与相乘。2.3 导数与微分.5cos55cosy,sin,5xudxdududyuyx

25、u于是则解令2.3 导数与微分例16 求y=sin5x的导数.tancossin)sin(1yln,cosu:xxxxudxdududyuyx，于是则令解2.3 导数与微分例17 求y=lncosx的导数.1.,lnu,1lnlnlnmmxmuuxmxmxxxmexmxmedxdududyyeyxmeeym则令解：因2.3 导数与微分例18 求幂函数y=xm的导数,m为任意实数.注3.链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数.注4.在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v,u,z等可不必写出，只要心中有数即可。注5.链锁法则的微分形式为：.)()()()()(dxxgxgfxdgxgf

26、xgdf2.3 导数与微分 )1ln(2xxy例19 求 的导数.1112211111)1()1(211)1(111)1(11y2222212122222xxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 导数与微分例2.3.19 求函数 的微分.xey2sin.2sincossin2sinsin2sin2222sinsinsin2sinxdxexdxxexxdexdedyxxxx解：2.3 导数与微分基本初等函数的导数与微分公式基本初等函数的导数与微分公式 例2.3.20求 的微分21arcsinxy.12)1(21|1)1()1(21111(11dy2212221222)2xdxxdxxxxdxx

27、xdx解：2.3 导数与微分 .112)(11)4(3)()(11)(3y.arctan322525244xxxxxxxeexeexeexexy解：的导数求例2.3 导数与微分导数的导数导数的导数二阶导数二阶导数 定义：若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导，则称y= f(x)的导数：( y)=f(x)为y=f(x)的二阶导数，记作：y= f(x). 递推地，若函数y=f(x)的n-1阶导数存在且可导，则函数y=f(x)的n阶导数为： 统称为函数y=f(x)的高阶导数。. )() 1()(nnyy2.3 导数与微分 ).2sin(sin.cossin.cos.sin.cossin.cossi

28、n.cosy.sin1)n()24()14()4()14()6()5()4()3( nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxnxykkkk通式为：解：显然有阶导数的：求例2.3 导数与微分).2(cosycos.sinycos.siny.cos.sinycos.siny.cos2(n)24(1)(4k)4(1)-(4k)4(3) nxxyxxyxxyxxyxnxykk通式为：解：显然有阶导数的：求例2.3 导数与微分隐函数的导数与微分隐函数的导数与微分 定义：由方程F(x,y)=0,其中x为自变量，y为因变量，确定的函数y=f(x)称之为隐函数。 例如： 有的可以从方程中解出y，表示为显函

29、数y=f(x)，有的不能。等等。椭圆的方程：圆的方程：. 0; 1;)()(2222222xyebyaxrbyaxy2.3 导数与微分隐函数求导的方法隐函数求导的方法 方法1.在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数：y=y(x),于是方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x)=0.其两端对x求导，即可求出隐函数的导数。 .10)()() 1 ()() 1 (xy11yyyyyyyyexeyyexeexexxeyxey从而求导，得解：将方程两边对的导数。所确定的隐函数：求由方程例2.3 导数与微分方法2：对方程两边求微分，再导出导数。.01|1)0(, 1)0(10.1,)1 (,)(0)(1

30、).0(,11101eexeeyyxeyxxeedxdyydxexedydyxedxeexddxexedddyyxeyyxyyyyyyyyyyyyy于是可得时，由方程当可得从而：解：对方程两边求微分并求所确定隐函数的导数求方程例2.3 导数与微分例2.3.26 一飞机在离地面1200m 的高空以速率150(m s)向探照灯L 沿水平直线飞行(见右图)探照灯强光照在机身试问：当飞机在地面上的正投影A 离探照灯600m 时，为使灯光不离开机身， 探照灯应以怎样的速度逆时针旋转?2.3 导数与微分解 记时间变量为t ，探照灯光线的仰角(由地平线逆时针转向光线的角)为=(t) ，飞机在地面上的正投影A

31、 离探照灯L 的距离LA 为x= x(t) ，它们都是t 的函数按题意, 首先建立变量与x 的联系方程： tan = 1200 x-1 , 对此方程两边求微分：.|,150600 xdtdvdtdx现在要求已知2.3 导数与微分代入，得及对应的，现将51)6001200(11)tan1 (cos150600,cos12001200sec)1200(tan212222221dtdxxdtdxxdtddxxdxdd2.3 导数与微分例2.3.27 求曲线 x2+ xy +y2 = 4 在点(2, 2)处的切线方程 . 解过点(2, 2)的切线由其斜率确定. 为此先求该方程确定的函数y = y( x)在x = 2 处的导数. 对方程x2+ xy +y2 = 4的两边求微分得： 2x d x + x d y+ y dx + 2 y d y = 0 ( x +2 y) dy = ( y+2