13初三数学四校自招A班高斯函数(教师)

1、高斯函数【高斯函数定义和性质】设x为一切实数，用x表示不超过x的最大整数。则 y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然，y x的定义域是一切实数，值域是整数。任一实数都能写成整数部分 与非负x x 1 ,可得 x 1 x纯小数之和，即x x a(0 a 1)。因此，x这里x为x的整数部分，而x x x为x的小数部分，且0 x 1。1. x 1 x x x 1 , 0 x 12. n x n x,其中n为整数3. 对于一切实数 x、y都有x y x y； / 0 x y 2若 0 x y 1,则x y x y若 1 x y 2,则x y x y 1x 、4. x是正实数，n是正整数，则在不超过 x

2、的正整数中，n的倍数共有一个 n5. 设p为任一素数，在n!中含p的最高乘方次数记为 p(n!),则有：n n nn mm 1p(n!) 2 3 m(p n p )PPPp1.将30!分解质因数解：30!含有质因数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,它们在分解式中的的指数分别是：303030302(30!) 一 15 7 3 1 26248163030303(30!) 10 3 1 143927 _30_ _30_ _5(30!) 30*6 1 7, 7(30!) 4, 11(30!) 13(30!) 252517(30!) 19(30!) 23(30!) 29(30!) 13

3、0! 226 314 57 74 112 132 17 19 23 292.求2015!末尾0的个数解：.只有2 5 10,才会使乘积的末尾出现一个0。2015!中，因子2的个数多于因子5的个数，2015!中因子5的个数也就是2015!末尾0的个数。2015!中因子5的个将占 201520152015数有 251252015625403 80 16 3 50210/6在2015!中末尾有502个03.已知0且满足a30a30r29” ,a 一 18,求10a的值 30解：: 0 01302 a302930 a30,a30,a29等于30由题意知，其中有18个等于1 a3a30a 113012

4、a -30a3029a - 1301130123018 30a19, C 1910a 310a4.计算和式23 1 101 23 2 101 23 100的值101解：由于10123 n个质数，因此 101(n1,2,100）都不会是整数鲁空%辿23为整数嚅123(101 n)101若x y 1,则x y x y 1,x,y 为实数5.解:6.解:23n10123(101 n)23故 S 2310123 110122 50已知3x 1由题意知3x所以 3.5所以3x经检验x1解方程:x解得:10123n23(101 n)1011011 23 1 22知x123 210123 100101110

5、02x2x1+2，求2x1.53, 2解得x34，x28x125,6,7代入原方程，分别求得.原方程的解为x11,x223 100 10123 2101的值3x34,x2 723 9910123 5010123 511011,1.50.51,3,V33,v4?,7,33, x3其中41, x43时，x 2 (舍)7. 设S111_2_223112201412，则S 2015解：11(a 1)2a2 (a 1)2 (a 1)2a222a (a 1)322a 3a 2a 12f772a (a 1)22(a a 1)a2(a1)2112a(a11)22aa (aa 1"IT20142015

6、20142015201420142015S 20148.(2015 复附)(1)若0x4,解方程x22x（2）求所有的实数x，使得x34x解：（1） 2x 22xx2 x2x2x2x3x3x 0解得: 03,4,01时,x0,0解得x0 (舍)1 (舍)3时,x2, x2 4解得x综上3时,x3, 9 2 3 30成立1 J72（也可直接分0 x 1、1 x 2、2x 3、3x 4来讨论）(2)x3为整数，4x 3为整数，4x为整数 k设4x k ( k为整数)则x 4k 3则原式转化为L64k364 3 64 k3 64k 4 64. 3 64 k(k2 64) 4 64 .192 k(k

7、8)(k 8) 256显然k 0当 k0时，k264 , k 8当k增大时，k、k 8、k 8都会增大，.二k(k 8)(k 8)随着k的增大而增大经检验：当 k 9 时，9 (92 64) 153 192当 k 10时，10 (102 64) 360 256当k 0时，不等式192 k(k 8)(k 8) 256无整数解当k 0时，k264 ,8 k 0, . k为整数k7、6、5、4、3、2、1经检验k4时k(k2 64) 192k 5 时 k(k2 64) 195 成立，. . x 1或 x 54【备用】1.用a表示不超过实数a的最大整数，a aa表示a的小数部分，求方程解:2.解:-3 _2 _x x x x 1 的解x3 x2 x为整数x 1为整数，x为整数 0 x 1于是原方程即时(x 1)(x2解方程：（1）5 6x81)6x815x 7515x 755 6x8.441解得：- 9081x 一9