2014年上海中学自招数学试卷及详细答案

1、2014年上海中学自招数学试卷一.填空题i 已知-,则b aa b a b a b2. 有个实数X ,可以使得，120 X为整数3. 如图，VABC中，AB AC，CD BF，BD CE ,用含 A的式子表示 EDF，贝U EDF 22324. 在直角坐标系中，抛物线 y X2 mxm2(m 0)与X轴交于A、B两点，若 A B两41 1 2 点到原点的距离分别为 OA OB且满足 -，贝V mOB OA 35. 定圆A的半径为72,动圆B的半径为r, r 72且r是一个整数，动圆 B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆 B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值6

2、. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人7.对于各数互不相等的正整数组(a,a2, ,a.) (n是不小于2的正整数)，如果在i j时有a aj ,则称ai与aj是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“ 2, 1“4,3”、“4,1 ”、“ 3,1”，其逆序数为4,现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4 ,a5,a6)的逆序数为2,则(a6 ,a5 ,a4,a3 ,a2,aj的逆序数为 8.若n为正整数,则使得关于11X的不等式21有唯一的整数解的19n的最大值为选择题9.已知X2 ax 1

3、2能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为( )A. 3 B. 4 C. 6 D. 810.如图，D E分别为VABC的底边所在直线上的两点，DB EC ,过A作直线I ,作DM/ BA交I于M作EN CA交I于N,设VABM面积为S , VACN面积为S2 ,则( )PlP2S2D.无法确定2(qq2）,若方程甲:2XPlXqI0 ,乙:2X P2X q2 0 ,则（）A.甲必有实根，乙也必有实根C.甲、乙至少有一个有实根B.甲没有实根，乙也没有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定,2 21 23221007K 12223212.设 a,b 1 352013357接近

4、a b的整数为（)A. 252B. 504C.1007D.2013210072015，则以下四个选项中最三.解答题13.直角三角形 ABC和直角三角形 ADC有公共斜边 AC（ B、D位于AC的两侧），M N分别是AC BD中点，且M N不重合.（1）线段MN与BD是否垂直？证明你的结论;CAD 45，AC4 ,求MN勺长.14.是否存在m个不全相等的正数a1、a2、am （m 7）,使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由2014年上海中学自招数学试卷详细答案填空题1 11.已知丄丄a b1，则b a a ba b【答案】

5、1【解析】1 Q -11aba baba b b a11 1 1ababba1ab4.有个实数X ,可以使得,120X为整数【答案】11【解析】令.120 JX a ,有120 X a2, 120 . x为一个完全平方数，且匸 0 ,0120 X 120 ,在 0到 120 之间的完全平方数有 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100其中对应的 X为120,119,116,111,104,95,84,71,56,39,20 共有11个对应实数满足题意；简单理解可以直接从取值范围上入手，在0到120之间的完全平方数为 02=0到102=100，共有11个实数满足；5.如图，VA

6、BC中，AB AC，CD BF，BD CE ,用含 A的式子表示EDF，则 EDF1【答案】901 A2【解析】在VABC中，由题目中条件易证VBDF VCED , EDF 180 EDC EDB B,1EDF B 90 A34.在直角坐标系中，抛物线 y X2 mx m2(m 0)与X轴交于 A B两点，若 A B两4点到原点的距离分别为 OA OB且满足 2 ,则mOB OA 3【答案】2【解析】当 y = 0 时1 卫 + mm2 = 0，41解得：X TTl,或工=_771 ；2 2分两种情况：当点卫在点卩的左侧时， (冠1,0 , B ($ g) I3 1二 OA = m, OB =

7、 m j£M1 1 2* 'OB 页=丁，1 1 2÷ = I 133rft pi解得：tn= 2.当点人在点"的右侧时31/. OB = m1 OA = &恫，1 1 2*' 0B0A = 3 t1 1 2 = 1-313 '2 Tn 7 m解得：m-2 t*.'m > O t/, m= -2不合题意，舍去；综上所述：m的值为N5. 定圆A的半径为72,动圆B的半径为r，r 72且r是一个整数，动圆 B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值【答案】1

8、1【解析】因为滚一圈后.切点不变I且是整数 所叹GM的周长是OE的整数倍，所IU (144ff2r) = (72r)为整数即是72的因数，池有L2F因数，分别是1,2,3j4,6i3i9,12j18,24,36i72而r<72t Hfb(去掉牛孙所叹貰有11亍可能值"6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人【答案】448x1 4x 20【解析】设共租X只船，则学生有 4x 20人，根据题意，得，解得4x 20 8x5x7, QX只能为整数， X 6 ,当X 6时，4x 20 44 ,即学生共有44人7.对

9、于各数互不相等的正整数组(a1,a2, ,a.)(n是不小于2的正整数)，如果在i j时有a aj ,则称Q与aj是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“ 2，1“4，3”、“ 4，1 ”、“ 3，1”，其逆序数为4,现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4 ,a5,a6)的逆序数为2,则(a6 ,a5 ,a4,a3 ,a2,aj的逆序数为 【答案】13【解析】C2 2 138.若n为正整数,则使得关于X的不等式1121亦有唯一的整数解的n的最大值为【答案】22011【解析】Q1121n1019X n219 X 109n X1010n因为有唯11X n1910n1

10、110 n 11一整数解，所以10一 n9一 n21n2 n 220所以n的最大值为2201110110二.选择题9.已知X2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为( )B. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】将 12进行分解为1,12或121或2,6或6,2或3,4或4,3 ;符合条件的整数a的个数为6个10.如图，D E分别为VABC的底边所在直线上的两点,DB EC ,过A作直线I ,作DM/ BA交I于M作EN/ CA交I于N,设VABM面积为S , VACN面积为S2 ,则B SS2B.S1S2C.S1S2D.无法确定【答案】B连接A

11、D. AE.过点作左的垂线段, r则：VDA/11.4 ZJ. ABM和ADB同底等高，-J- SLSMBB又Saad尸qDB人 Sldb h设为T EN CA j4CV和ZVHE同底等高,S尸$色MTE.S. = -EC÷# 2/DB=ECDBh=-ECh咋 '故选；B11设 P1、P2、q1、q2 为实数，则 P1P22Gq2),若方程甲:2X PlX q1 0 ,乙:102XP2X q2 0 ,则()A.甲必有实根，乙也必有实根B.甲没有实根，乙也没有实根C.甲、乙至少有一个有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定【答案】C【解析】C 点拨：假设阿个方程都没有实数根则

12、Q帥V 0且罠 I4( g + g，pi + p； 即 Z ( G + QJ ) > 1,11 X 亠7； ) ? PlJp? 与题设矛Zi1S 故暇设不成立-.接近ab的整数为(A. 252B. 5042，b201335C.1007 D.20133271°°，则以下四个选项中最2015【答案】 【解析】I2 - F 32(1(172Tr+可+石+ 6=J. i3 5 T2015= 1+1+1 +1(J)722(Jl5=I(Hlr s¾ '( I故选比三.解答题13.直角三角形 ABC和直角三角形 ADC有公共斜边AC ( B、D位于AC的两侧)，M

13、 N分别是AC BD中点，且M N不重合.(1)线段MN BD是否垂直？证明你的结论;CAD 45，AC 4 ,求 MN的长.【答案】（1）垂直（2）一22【解析】（i）jV 与 BD lo连1 NfB与叽 由直角三莆形斜边上的中览 等于斜边长的一半，可乂知逍MB= ,i>- 所取 MB = JUD2 2三角H5 MBD中* N足底边上的中点，尊腰三 馬形的性质可以说明；AIN垂直BD.门）如图一：连M . MD延tD3,过j?作DM延长线的垂线段BEt-J MDIACt flCf是黑边三角形.-.在 RtAHEM 中上EyE 31) J/ AC = 4l ZfA/ = 2,j BE -

14、 IS EM MD = 2 P尿而可知BD =+ (2 + Sf = 22+S二 BN = v + 3由nt B,vy可得：如圏二：连接RM、MD J延长g过月作 垂f段BEIV f. JV 分别 AC, HD 中点，.*. AfD- i AC, AC,ME. MD = MB ,.'ZBAC = 20 .ZCAV= 45c 1.ZBMC = WtZDMC=O , BMD - 30 I ZfiCAf =180302. MD = 45 '. EDB = 180° - ABDM - MDA = t I 令ED = Q则BE v AD = AB = 25,代由RtAABB可得：(2J)2 ('+ (X + 2 vy) 2J 解得T =詆则BD = 22 - 3p A/、Ar分别是ACi ED中点， . MD DN=2 _ 品 M. N分别是ACt BD中点，, MD = 2 DN= v 2 - I由tA