2015年四川省高考数学试卷理科

1、2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的。1. (5 分)设集合 A=x (x+1) (X- 2)v 0,集合 B=x1vXV 3,贝U AU B=( )A. x - 1v XV3 B. x - 1VXV 1 C. x 1vXV2 D. x 2vXV32. (5分)设i是虚数单位，则复数i3-二=()iA.- i B.- 3i C. i D. 3i3. （5分）执行如图所示的程序框图，输出 S的值为（）Jt=I=÷ 1 书/A.-軒斗B.纠C-1D.122224. （5分）下列函数中，

2、最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（A.y=cos (2xy=s in（2x一）第1页（共26页）C. y=sin2x+cos2x D. y=sinx+cosx5. （5分）过双曲线X2-； =1的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则 AB =（A.B. 2一； C. 6 D. 4 ：6. （5分）用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（）A. 144 个 B. 120 个 C. 96 个D. 72 个7. （5分）设四边形ABCD为平行四边形，I-I=6,1八I =4,若点M、N满足IT 忙，<

3、/ V,则U1 -（）A. 20 B. 15 C 9 D. 68. （ 5分）设a b都是不等于1的正数，贝U “a>3b>3”是“IOgBVIOgb3”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件9. （5 分）如果函数 f （x） -L （m-2） X2+ （n-8） x+1 （m0, n0）在区间2.?上单调递减，那么mn的最大值为（）A. 16 B. 18 C. 25 D.210. （5分）设直线I与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（X-5） 2+y2=r2 （r>0）相切于点M ,且M为线段AB的中点，若这样的直线I恰有4条，

4、则r的 取值范围是（）A. （1, 3） B. （1, 4） C. （2, 3） D. （2, 4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11. （5分）在（2x- 1） 5的展开式中，含X2的项的系数是 （用数字填写 答案）.12. （5 分）Sin15 +sin75 的值是.13. （5分）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度X （单位：C）满足 函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在OC 的保鲜时间是192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜 时间是小时.14. （5分）如图，四边形ABCD和 ADP

5、Q均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成 的角为则cos的最大值为.第2页（共26页）15. (5分)已知函数f (x) =2x, g (x) =x2+ax (其中a R).对于不相等的实数£( Zl) -£( Xg(x1)-g(n)入xi、X2,设m , n .现有如下命题：X1-y 2X J -X 2 对于任意不相等的实数xi、X2,都有m>0; 对于任意的a及任意不相等的实数Xi、x2,都有n>0； 对于任意的a,存在不相等的实数xi、x2,使得m=n; 对于任意的a,存在不相等的实数

6、xi、x2,使得m= - n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。16. (12分)设数列a (n=1, 2, 3,)的前n项和Sn满足S=2sn - ai,且ai, a2+l, a3成等差数列.(I )求数列an的通项公式；( )记数列丄的前n项和为Tn,求使得ITn- 1 V成立的n的最小值.anIOOo17. (12分)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3名男 生、2名女生，B中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加 集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随

7、机抽取3人，女生中随 机抽取3人组成代表队.(I )求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(U)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的 男生人数，求X的分布列和数学期望.18. (12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N.第5页(共26页)(I )证明:(I )请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)( )证明：直线MN /平面BDH;(In )求二面角A- EG- M的余弦值.IA-I-COSA|2SinA720. (13分)如图，椭圆2 2E:冷+分lQ>b>0)

8、的离心率是a b2L 过点 P (0 , 1)的动直线I与椭圆相交于得的线段长为2 ：-：.A B两点，当直线I平行于X轴时，直线I被椭圆E截(I )求椭圆E的方程;(U)在平面直角坐标系XOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得：-彳Q的坐标；若不存在，请说明理由.恒成立？若存在，求出点321. (14分)已知函数f(x) = - 2 (x+a) Inx+x2-2ax- 2a2+a,其中 a>0.的导函数，讨论g (x)的单调性；(I )设 g (x)是 f (x)(U)证明：存在a( 0, 1)，使得f (x) 0在区间(1, +)内恒成立，且f (x) =O在区间(1，+)内有唯一

9、解.(U)若 A+C=180，AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求 ta+ta+taf+ta 的值.2015年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的。1. （5 分）设集合 A=x （x+1） （X- 2）v 0,集合 B=x1vXV 3,贝U AU B= （ ）A. x - 1vXV3 B. x - 1VXV 1 C. x| 1vXV2 D. x 2vXV3【分析】求解不等式得出集合 A=x - 1VXV 2,根据集合的并集可求解答案.【解答】解：集合 A=x （x+1）

10、（X-2）V 0,集合 B=x 1v XV 3,集合 A=（Xl - 1VXV2,V AU B=x - 1 V XV 3,故选：A.【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题.2. （5分）设i是虚数单位，则复数i3-=(1第13页（共26页）A.- i B.- 3i C. iD. 3i-4 Q【分析】通分得出,利用i的性质运算即可.1【解答】解：Vi是虚数单位，则复数i（5分）执行如图所示的程序框图，输出 S的值为（）i=.-=iV iIII故选：C.【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题.1D.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当

11、k=5时满足条件k>4,计算并输出S的值为寺.【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k>4, k=3不满足条件k>4, k=4不满足条件k>4, k=5满足条件k>4, S=Sin一丄,& 2输出S的值为寺.故选：D.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.4. （5分）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（A. y=cos (2x+)B y=sin ()TT2C. y=sin2x+cos2x D. y=sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可.【解答】解:y=cos （2x+亍）

12、=-Sin2x,是奇函数，函数的周期为：满足题意，所以A正确y=sin （2x+弓-）=cos2x,函数是偶函数，周期为：不满足题意，所以 B不正 确；y=sin2x+cos2x=Wsin（2x+-f），函数是非奇非偶函数，周期为,所以C不正确；y=sinx+cosx*in（x+-），函数是非奇非偶函数，周期为 2,所以D不正确；4故选：A.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法， 考查计算能力5. （5分）过双曲线X2-二=1的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则| AB| =（）A-B. 2、C. 6 D. 4 二3【分析】求出双

13、曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解IAB .2【解答】解：双曲线x2-L=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=±5瓷,2过双曲线X2-=1的右焦点且与X轴垂直的直线，x=2，可得 yA=2；，yB=- 2 二AB =4.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用.6. （5分）用数字0，1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（）A. 144 个 B. 120 个 C. 96 个 D. 72 个【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进

14、而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为 5 时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的 三个位置，由分步计数原理可得其情况数目， 进而由分类加法原理，计算可得答 案.【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论： 首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩 余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3× 24=72个， 首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩 余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2× 24=48个，

15、共有 72+48=120 个.故选：B.根据图形可得:【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数 的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况.(-1' LjoPi,2=7?._二,十亠2,2 16AM -AW 1,I 叫=6, I =4,，； '.1I-._72 /2=12 3=9316关键是向量的分解，表示8. （5分）设a b都是不等于1的正数，贝U “a>3b>3”是“IogBVlOgb3”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】求解3a>3b>3,得出a>b>

16、 1,Ioga3 VlOgb3,Igb-Iga 0Jgal gb>OIfIgb-Iga>0lgaLgbCO根据对数函数的性质求解即可,再利用充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：a、b都是不等于1的正数,3a> 3b> 3, . a> b> 1,T Ioga3v Iogb3,丄Iga Igb'即丄亠V 0IgaIgb求解得出：a> b> 1 或 1>a>b>0 或 b> 1, OVav 1根据充分必要条件定义得出：“3> 3b > 3”是“ log VlOgb3”的充分条不必要件,故选：B.Igb-I

17、ga- OLgaL gb>OIgb-Iga OLgaI gb<O【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于 综合题目，关键是分类讨论.9. (5 分)如果函数 f (x)丄(m-2) X2+ (n-8) x+1 (m0, n0)在区间二J上单调递减，那么mn的最大值为()A. 16 B. 18C 25 D.812【分析】函数f1(X) (m - 2) x2+ (n-8) x+1 (m0, n0)在区间_ .:上单调递减，则f'( x) 0,故(m- 2) x+n- 8 0 在，2上恒成立.而(m2) x+n 8 是次函数，在丄,2上的图象是一条线

18、段.故只须在两个端点处2第15页(共26页) 0, f'(2)0即可.结合基本不等式求出 mn的最大值.【解答】解：T函数 f (x) (m - 2) X2+ (n - 8) x+1 (m0, n0)在区间一.】上单调递减, f'(x) 0,故(m - 2) x+n - 80 在* , 2上恒成立.而(m - 2) x+n - 8次函数，在 2上的图象是一条线段.故只须在两个端点处 f ( 2) 0即可.即 fy(m-2)+n-80 (1) l2-2)-8<O) 由(2)得m L曲丄n(12 - n),(12-n)(n+12) 0,)-18，当且仅当m=3，n=6时取得最

19、大值,经检验m=3, n=6满足(1)和(2).l>2r2故选：B.解法二：T函数 f (x)丄(m - 2) X2+ (n-8) x+1 (m 0, n0)在区间丄，2上单2 2调递减， m=2, nv 8对称轴x=-2h01 12ni-n-120 n2 Q门呂三1即I O”.2n+n-180第17页（共26页）当切点为(xo, yo), k取最大值.k=2x I yo= 2xo+12,=2xo,可得 xo=3, yo=6,第#页(共26页) x=3> 2 k的最大值为3× 6=182yo+xo - 18=0,解得：xo=9, yoT xov 2不符合题意. m=2,

20、n=8, k=mn=16综合得出：m=3, n=6时k最大值k=mn=18,故选：B.【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运 用几何图形判断，难度较大，属于难题.10. (5分)设直线I与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆(X-5) 2+y2=r2 (r >0)相切于点M ,且M为线段AB的中点，若这样的直线I恰有4条，则r的 取值范围是()A. (1, 3) B. (1, 4) C (2, 3) D. (2, 4)【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=± 2 ；,所以交点 与圆心(5, 0)的距离为4,即可得出结论.【解

21、答】解：设 A (X1, y1), B (X2, y2), M (X0, y0), 斜率存在时，设斜率为k,则y12=4x1, y22=4x2,相减，得（y1+y2）(y - y2) =4 (x - x2), 2 力二ly2叫当I的斜率存在时，利用点差法可得 kyo=2,因为直线与圆相切，所以丰r+所以g 即M的轨迹是直线x=3 将 x=3代入 y2=4x,得 y2=12,- 2一 :,T M 在圆上，°（ xo - 5） 2+yo2=r2,° r2=yo2+4< 12+4=16,直线 I 恰有 4 条， yo0, 4< r2< 16,故2< r&l

22、t; 4时，直线I有2条；斜率不存在时，直线I有2条；所以直线I恰有4条，2< r< 4,故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11. （5分）在（2x- 1） 5的展开式中，含x2的项的系数是 -40 （用数字填 写答案）.【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1项，整理成 最简形式，令X的指数为2求得r,再代入系数求出结果.【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1= ： ：）3要求x2的项的系数， 5- r=2, r=3,

23、 x2的项的系数是22 （- 1） 3Cs3=- 40.故答案为：-40.【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的第13页（共26页）6通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.12.（ 5 分）Sin 15 +sin75 的值是【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.【解 答】 解：Sin 15 + Si n75 = Sin 15 + cos15 = ： （ Sin 15 cos45 °cos15 S i n45 C）=:Si n60 =.2故答案为：半.【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力.

24、13. （5分）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度X （单位：C）满足 函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜 时间是 24小时.【分析】由题意可得，x=0时，y=192; x=22时，y=48.代入函数y=ek+b，解方 程，可得k，b,再由x=33,代入即可得到结论.【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192; x=22时，y=48.代入函数y=ekx+b，可得 eb=192, e22k+b=48,192,第25页(共26页)则当 x=33 时，y=e3

25、3k+b= 故答案为：24.【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题.5 14. （5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M在线段PQ上, E F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成 的角为则cos 的最大值为 ,_.【分析】首先以AB, AD, AQ三直线为X, y, Z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M ( 0，y，2)，从而可求出向量二二的坐标，由CoS =;得到一 ，对函数 求导，根据5,y÷55'y÷5导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出 cos的最大值.【解答】

26、解：根据已知条件，AB, AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，Z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2,贝A (0，0，0)，E (1, 0，0)，F (2, 1, 0);M 在线段 PQ上，设 M (0, y, 2), 0y2;设f (y) =-一 _y +55/. cos=,-3. - l . , -y-5，2S(Z莎；函数g (y) =-2y- 5是一次函数，且为减函数，g (0) =-5v0; g (y)v 0 在0, 2恒成立， f'( y)v 0; f (y)在0, 2上单调递减； y=0时，f (y)取到最大值匸.5【点评】考查建立空间直角坐标系，利

27、用空间向量解决异面直线所成角的问题， 异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦 的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系.15. (5分)已知函数f (x) =2x，g (x) =x2+ax (其中a R).对于不相等的实数XI、f(1)-f(x7)一丄丄n=8(11) -g(K 2? 11XI-X2X2，设 m现有如下命题: 对于任意不相等的实数xi、X2，都有m>0; 对于任意的a及任意不相等的实数Xi、X2，都有n>0； 对于任意的a,存在不相等的实数xi、X2,使得m=n; 对于任意的a，存在不相等的实数xi、x2，使得m=-n.其中的真命题

28、有 (写出所有真命题的序号).【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断 ；通过函数h (x) =x2+ax- 2x,求出导数判断单调性，即可判断；通过函数h (x) =x2+ax+2x,求出导数判断单调性，即可判断.【解答】解：对于，由于2 > 1，由指数函数的单调性可得f (x)在R上递增， 即有m>0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得 g (x)在(->-)递减，在(-寺，+ )递增，则n > 0不恒成立，则错误；对于，由 m=n，可得 f (xi)- f (x2) =g (xi)- g (x2)，即为 g (xi)- f (xi)=

29、g (x2)- f (X2)，考查函数 h (x) =x2+ax- 2x, h' (x) =2x+a- 2xln2,当a-, h' (x)小于0, h (x)单调递减，则错误；对于，由 m= - n,可得 f (xi)- f (x2) = - g (xi)- g (x2),考查函数 h(x) =x2+ax+2x, h' (x) =2x+a+2xln2,对于任意的a, h' (x)不恒大于0或小于0,则正确. 故答案为：.【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性, 以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分，解

30、答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。16. (12分)设数列an (n=1, 2, 3,)的前n项和S满足S=2n - a,且a, a2+l, a3成等差数列.(I )求数列an的通项公式；( )记数列丄的前n项和为Tn,求使得ITn- 1 VrL成立的n的最小值. anIoOeI【分析】(I )由已知数列递推式得到an=2an- (n 2),再由已知a, a2+l, a3 成等差数列求出数列首项，可得数列an是首项为2,公比为2的等比数列，则 其通项公式可求；(U)由(I )求出数列一的通项公式，再由等比数列的前 n项和求得Tn, 结合！ T -1求解指数不等式得n的最小值.s loco

31、【解答】解：(I )由已知S1=2a - a ,有an=Sn SI -1 =2an 2an-1(n 2),即 an=2a-1 (n 2),从而 a2=2a1, a3=2a2=4a1,又 V a1, a2+1, a3成等差数列，° a1+4a1=2 (2a什 1),解得：a1=2.数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故 弘二厂;(U)由(I )得：丄丄， 2n匕亠2由 IT -1,得 111 l<T77,即 2n> 1000.," IoOO 1 2r IOooV 29=512v 1000v 1024=210, n 10. 于是，使I Tn - 1 V一成立的n

32、的最小值为10.IoOO【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、 等比数列的通项公式与前n项和 公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17.（ 12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛， A中学推荐了 3名男 生、2名女生，B中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加 集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随 机抽取3人组成代表队.（I ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（U）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的 男生人数，求X的分布列和数学期望.【分析】（I）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立

33、事件的概率，然后 求解概率即可；（U）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X的分布列，然后 求解数学期望.【解答】解：（I）由题意，参加集训的男、女学生共有 6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为:r3r3-1r3r3IOO，因此A中学第#页（共26页）至少有1名学生入选代表队的概率为：1-需諜；（U）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数, 则X的可能取值为：1, 2，3,C定 Iil(X=I)，PPX的分布列:X1P丄5和数学期望EX=IX丄+2乂色+3X-=2.555期望的求法，考查古典概型概率的【点评】本题考查离

34、散型随机变量的分布列,求法，考查分析问题解决问题的能力.18.（ 12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N.（I ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（ ）证明：直线MN /平面BDH;（In ）求二面角A- EG- M的余弦值.【分析】（I ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；（ ）利用线面平行的判定定理即可证明直线 MN /平面BDH; （n）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解.法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可.【解答】解：（I） F、G、H的位置如图；证明：（U）连接B

35、D,设O是BD的中点，V BC的中点为M、GH的中点为N, OM / CD, OM丄CD,HN/ CD, HN= 丄CD, OM / HN, OM=HN,即四边形MNHO是平行四边形, MN / OH,V MN?平面 BDH; OH?面 BDH,直线 MN /平面BDH;(M)方法一：连接AC,过M作MHAC于P,则正方体 ABCD- EFGH中，AC/ EG MP EG过P作PK EG于K,连接KM, EG丄平面PKM则KM丄EG,则 PKM是二面角A- EG- M的平面角,设 AD=2,贝U CM=1, PK=2在 RtACMP 中，PM=CMSin45=,2在 RtAPKM 中，KM=F

36、 打=-, cos/ PKM= ' ,KM 3即二面角A- EG- M的余弦值为上L .3方法二：以D为坐标原点，HU、L/ SA -第31页（共26页）£分别为DA, DC, DH方向为X , y , Z轴建立空间坐标系如图：设 AD=2,则 M (1 , 2 , 0) , G (0 , 2 , 2) , E (2 , 0 , 2), O (1 , 1 , 0),则 GE= (2, - 2 , 0), SG= (-1 Jot 2),则Fn-GE=O,即(2-y=0I n*MG=0-+2Z=O设平面EGM的法向量为II= (X , y , Z),令 x=2 ,得 y (2 ,

37、 2 ,1),在正万体中，Do丄平面AEGC面角A- EG- M的余弦值为CE A=詁=2+24 :=S2InllrLl9 X2323贝，= /= （1, 1 , 0）是平面AEG的一个法向量,则 CoSG n>【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空 间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力.19. （12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.(I )证明:IA-.l-coA|2SinA7(U)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求 ta啥+ta+ta碍+ta碍 的值.IDlPtanBtan

38、LtanLtan【解答】证明：（I）ir22slnTL-COSASinA.等式成立.(U)通过 A+C=180 ,得 C=180 - A, D=180 - B ,利用(I)化简，连结BD,在厶ABD中，利用余弦定理求-二二 -2 ginA SinB出sinA，连结AC,求出SinB,然后求解即可.tan+ta n 寿+ta n+ta n(U)由 A+C=180 ,得 C=180 - A , D=180 - B ,由(I)可知：I-I-_：2 SinA SinBSin(180& -A)Sin(180, -B)一 ,连结 BD,在厶 ABD 中，有 BD 21青十分IEAbRQ）的离心率是

39、夢，过点P （0，1）71 ：'2的动直线I与椭圆相交于A、B两点，当直线I平行于X轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2 1 ：.（I ）求椭圆E的方程;=AB2+A2 - 2AB?ADCOSA AB=6, BC=3, SinA SLnBCD=4 AD=5,在厶 BCD中，有 BD2=B6+C仔-2BC?CDCOSC所以 AB2+AD2 - 2AB?ADCOSA=B2+CD2- 2BC?CDCOSC则:=I-I -'-'：:2 (AB-M)IBC-CD)=n-LO=-一 =7，2 (6 X 5+3 X 4)7于是Sin第35页（共26页）2(AB-BC+AD-CU) (

40、6X35X4)19连结 AC,同理可得：CoSB=叶- ' - r 1 - - J于是 SinB= I _：2 Sink= .19-所以 tan+tanL+tan二+tan - -22 =2竺2竺=4顶 hsinB l" S103【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考20. （13分）如图，椭圆E:查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.（ ）在平面直角坐标系XOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得QAQBPAPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（I ）通过直线I平行于X轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率 是L

41、,计算即得结论；（U）通过直线I与X轴平行、垂直时，可得若存在不同于点 P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0, 2）.然后分直线I的斜率不存在、存在两种情况,利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线I,均有亠一暑即可.【解答】解：（I ） 直线I平行于X轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2 ：, 点（.：，1）在椭圆E上，又离心率是二，a2->2-c2 ,解得 a=2，b=2，L 2椭圆E的方程为：+一=1;（U）结论：存在与点P不同的定点Q （0, 2）,使得芈耳恒成立. QB IPBI理由如下： 当直线I与X轴平行时，设直线I与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，

42、则有 国-丿=1 ,即IQC=IQD .IQDl PD I° Q点在直线y轴上，可设Q （0, yo）.当直线I与X轴垂直时，设直线I与椭圆相交于M、N两点, 则M、N的坐标分别为（0,血）、（0,-血），IQMl .-IPNlIQNlIPNl又y0'2 I V(+2 I=12+l解得y0=1或y0=2.若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0, 2）.F面证明：对任意直线I,均有IQAIJ昭 IIQBl PB当直线I的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线I的斜率存在时，可设直线I的方程为y=kx+1,A、B 的坐标分别为 A （x, yi）、B （X2, y2）,联立y=ks+l消去y并整理得:(1+2k2) x2+4k- 2=0, = (4k) 2+8 (1+2k2)>0,Xl +X2=-4kl+2k2X1X2=-已知点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-X2, y2),EI y I -2 k X1 -11丫戈-2 k H 2 I 又 kAQ=k -, kQB = - k =k -丄xI 衍-2 七七 X kAQ=kQB,即 Q、A、B'三点共线，IQAl-IQAl=IG陀1|10BIQBT= H2IIPBl 系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、 特殊与一般、分类与整合等数学思想