数学系常微分方程期末试卷B及答案

1、数 学 系 常 微 分 方 程 期末 试 卷 b 及 答 案最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除试卷（ b）试卷份数考试本科考试科目常 微 分 方 程题 号一二三四五六七总分分 数阅卷人密封线数计学院系级班姓名_学号_任课教师审题人最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除第 1 页（共 5 页）年月日试卷说明： 1、该门考试课程的考试方式：闭卷； 2、考试所用时间：120 分钟。 3、使用班级 数计学院 数 11 级一、填空题（每小题3 分，本题共 15分） 1方程21ddyxy的常数解是。 2方程04yy的基本解组是。

2、3方程yxxysindd2满足解的存在唯一性定理条件的区域是。 4线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21xxxnyyy为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式0)(xw。 5方程)sin(ddyxyxy的任一非零解与 x轴相交。二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15分）6方程323ddyxy过点(0, 0)有（）(a) 无数个解(b) 只有一个解(c) 只有两个解(d) 只有三个解 7. 方程1ddyxy（）奇解（a）有一个（b）有两个（c）无（d）有无数个 8),(yxfy有界是方程),(ddyxfxy初值解唯一的（）条件（a）必要（b）必要非充分（c）充分（d）充分必要最新好资料推

3、荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除 9、 微分方程yyxxln的通解 （） a、21lncxxcy b、1ln1xxcy c、xxyln d、211lncxxcy10 n阶线性非齐次微分方程的所有解（）（a）构成一个线性空间（b）构成一个1n维线性空间（c）构成一个1n维线性空间（d）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11. 解方程yxxyedd12. 解方程xyxyxytandd最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除第 2页（共 5 页）年月日密封线最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料

4、-如有侵权请联系网站删除13. 解方程5ddxyyxy14. 解方程0)d(d222yyxxxy15试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,的奇点类型，其中a,b,c为常数，且 ac0。最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除第 3 页（共 5 页）年月日密封线最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除四、计算题（每小题10 分，本题共 20分）16求方程255xyy的通解17解方程组：xyyyxx23,最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除第 4 页（共 5 页）年月日密封线最新好资料推荐

5、-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18设)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点19已知微分方程0)()(2dyxfdxyx有积分因子x,试求所有可能的函数)(xf. 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除12-13-2 学期期末考试常微分方程b 参考答案及评分标准（数计学院）制卷审核一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分） 11y 2xx2cos,2sin3xoy平面4充分必要 5不能二、单项选择题（每小题3 分，本

6、题共 15分）6a 7c 8c 9d 10d 三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11解 分离变量得xyxydede（3 分）等式两端积分得通积分cxyee（6 分）12解 令uxy，则xuxuxydddd，代入原方程，得uuxuxutandd，uxuxtandd（2分）当0tanu时，分离变量，再积分，得cxxuulndtand（4 分）cxulnlnsinln（5 分）即通积分为：cxxysin（6分）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除13解 方程两端同乘以5y，得xyxyy45dd（2 分）令zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得x

7、zxzdd41（3分）通解为41e4xczx原方程通解为41e44xcyx（6分）14解： 因为xnxym2，所以原方程是全微分方程（2分）取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为cyyxxyyx020dd2（4 分）即cyyx3231（6 分）15解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00accba，故奇点为原点（ 0，0） 2分又由 det(a-e)=0)(02accacba得ca21 4分所以，方程组的奇点（ 0，0）可分为以下类型：a，c为实数不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点, 0,00,0,0,00,0,0,

8、0,00cacabbcaaccacaacca 6分四、计算题（每小题10 分，本题共 20分）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除16解：对应齐次方程的特征方程为052（1 分）特征根为：特征根为01，52，（2 分）齐次方程的通解为xccy521e（4 分）因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为)()(21cbxaxxxy（6 分）代入原方程，比较系数确定出31a，51b，252c原方程的通解为xxxccyx2525131e23521（10 分）17解：其系数矩阵为：3211a，（2 分）特征多项式为：543211)det(2ea，其特征根为：,22

9、1i，（4 分）当i2时，由方程组01211baii，可解得特征向量为：it11（6分）由tttiettteietttisincossinsincoscos1122)2(，（8 分）可知方程组的基本解组为：最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料 -如有侵权请联系网站删除tttetttettsincossinsincoscos22，. （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18证明 由于)(1xy和)(2xy是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式0)()()()()(2121xxxxxw（*）（5分）假如它们有共同零点，那么存在一个点0 x ，使得)(01x=0)(02x于是0)()(00)()()()()(0201020102010 xxxxxxxw这与（ *）式矛盾（10）19解:令yxy