新课标七年级数学竞赛培训第二十讲线段

1、第二十讲线段平面几何是研究平面图形(plane flgure) 的性质的一门学科， 主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系构成平面图形的基本元素是点和线，在线中， 最简单、 最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础几何中的线段、 射线、 直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、 硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法例题【例 1】平面内两两

2、相交的6 条直线，其交点个数最少为个，最多为个( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、 天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著几何原本当今， 几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、 归纳、 逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1) 线段上有n 个点 (含两个端点 )共有多少条

3、线段? (2)n 条直线两两相交的直线最多有几个交点? (3)n 条直线最多能把平面分成几个区域? 【例 2】 如图，已知b 是线段 ac 上的一点， m 是线段 ab 的中点， n 是线段 ac 的中点， p 为 na 的中点， q 为 ma 的中点，则mn ：pq 等于 ( )a1 b2 c3 d4 (“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨利用中点，设法把mn 、pq 用含相同线段的代数式表示【例 3】 如图， c 是线段 ab 的中点， d 是线段 ac 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 23，求线段ac 的长度思路点拨引人未知数，通过列方程求解【例 4】摄制组从a 市到 b 市有一天的路

4、程，计划上午比下午多走100 千米到 c 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400 千米，傍晚才停下来休息，司机说， 再走从 c 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 a、b 两市相距多少千米? (“华杯赛”试题) 思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考【例 5】 (1)如图 a，已知 a、b 在直线 l 的两侧，在l 上求一点p，使 pa+pb 最小；(2)如图 b，已知 a、b 在直线 l 的同侧，在l 上求一点p，使 pa+pb 最小；(3)如图 c，有一正方体的

5、盒子abcd a1b1cldl，在盒子内的顶点a 处有一只蜘蛛， 而在对角的顶点c 处有一只苍蝇蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在cl处不动 ) 思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法数学既研究数， 也研究形， 许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决“谋定而后动” ，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同” 分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，

6、总是与图形位置关系，数量关系相关的【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到 c 市吃午饭由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走c 市到这里路程的一半就到达目的地问a、b市相距多少千米? 思路点拨画出线段图进行分析如图 13 1 所示，设小镇为d 点，傍晚在正点休息ge=2eb ， ge=32bc ad=31ac ， dc=32ac dc+ce=32（bc+ac ）=32ab de=32ab ，又 de=400km ；ab=600 km 注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用

7、同学们想一想，“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走c 市到这里路程的31就到达目的地” ，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答【例 7】 如图 13-7 所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从a 到 b 的距离最短 ? 思路点拨虽然 a、b 两点在河两侧，但连结ab 的线段不垂直于河岸如图 13-8，关键在于使ap+bd 最短，但ap 与 bd 未连起来，要用线段公理就要想办使 p 与 d 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。如图 13-9，建立在pd 处符合题

8、意注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法学力训练1如图，已知b、c 是线段 ad 上的两点， m 是 ab 的中点， n 是 cd 的中点， mn=a ，bc=b，则线段ad= 2从哈尔滨开往a 市的特快列车， 途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价(黑龙江省中考题) 3如图， ab a，bcb，cd=c，de=d ，ef=e，以 a、b、c、d、e、f 为端点的所有线段长度的和为(“数学新

9、蕾”邀请赛试题) 4在同一平面内有4 点，过每2 点画一条直线，则直线的条数是( )a 1 条b4 条c 6 条d1 条或 4 条或 6 条5如图，若c 是线段 ab 的中点， d 是线段 ac 上的任一点 (端点除外 )，则 ( )aad dbac bc d它们的大小关系不能确定(广州节中考题) 6线段 ab 1996 厘米，p、q 是线段 ab 上的两个点， 线段 aq=1200 厘米，线段 bp1050厘米，则线段pq( )厘米a254 b150 c127 d871 7如图，线段ab=2bc ，da=23ab，m 是 ad 中点， n 是 ac 中点，试比较 mn 和 ab 十 nb 的

10、大小8已知 a、 b、c 三点在同一直线上，若线段ad 60，其中点为m；线段 bc20，其中点为 n，求 mn 的长9线段 ab 上有 p、q 两点， ab=26 ，1p=14，pq=11，那么 bq= 10 将长为 20cm 的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是11如图， c 是线段 ab 上的一点， d 是线段 cb 的中点已知图中所有线段的长度之和为12线段 ac 的长度与线段cb 的长度都是正整数，则线段ac 的长度为（ “希望杯”邀请赛试题) 13五位朋友a、b、c、 d、e 在公园聚会，见面时握手致意问候已知：a 握了 4 次， b 握了 1 次， e 握

11、了 3 次， d 握了 2 次到目前为止，e 握了 ( )次a1 b2 c 3 d4 (重庆市竞赛题) 14平面内有条直线(n2)，这 n 条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b 个交点，则a+b的值是 ( )an(n 一 1) bn2一 n+1 c22nnd222nn15如图， 小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点a 向结点 b 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( )a19 b20 c 24 d26 (全国高考数学试题) 16某公司员工分别住在a、 b

12、、 c 三个住宅区， a 区有 30 人，bn 有 15 人，c 区有 10 人三个区在一条直线上，位置如图所示， 公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在( )aa 区bb 区cc 区da、b 两区之间(江苏省竞赛题) 17(1)一条直线可以把子面分成两个部分(或区域 )，如图，两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系(3)平面上有n 条直线。每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的 n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为na，试研究na与