2013届高考数学第一轮复习教案第13讲--直线与圆的方程

1、 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 13 讲直线与圆的方程一课标要求：1直线与方程1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式点斜式、 两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系；2圆与方程回忆确定圆的几何要素， 在平面直角坐标系中， 探索并掌握圆的标准方程与一般方程。二命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值主要是直线的斜率、截距有关问题，可与三

2、角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。预测 2013年对本讲的考察是：12 道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；2热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。三要点精讲1倾斜角：一条直线l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为, 0。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育过两点 p1(x1

3、,y1),p2(x2,y2)(x1 x2)的直线的斜率公式 :k=tan1212xxyy假设 x1x2， 则直线 p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900 。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多， 但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为 90 的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)直线上已知点， k斜率倾斜角为 90 的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+b

4、y=1 a直线的横截距b直线的纵截距过0，0及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式ax+by+c=0 ba，ac，bc分别为斜率、横截距和纵截距a、 b 不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在垂直于x 轴的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5圆的方程圆 心 为),(bac， 半 径 为r的 圆 的 标 准 方 程 为 ：)0()()(222rrbyax。特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx。圆的一般方程022feydxyx，圆心为点)2,

5、2(ed，半径2422fedr，其中0422fed。二元二次方程022feydxcybxyax，表示圆的方程的充要条件是：、2x项2y项的系数相同且不为0，即0ca；、没有 xy 项，即 b=0；、0422afed。四典例解析题型 1：直线的倾斜角例 1图中的直线 l1、l2、l3的斜率分别为 k1、k2、k3，则ak1k2k3 bk3k1k2ck3k2k1 dk1k3k2 答案： d 解析：直线 l1的倾斜角 1是钝角，故 k10，直线 l2与 l3的倾斜角 2、3均为锐角，且 23，所以 k2k30，因此 k2k3k1，故应选 d。点评：此题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的

6、能力。图 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育例 2过点 p2，1作直线l分别交x 轴、y 轴的正半轴于a、b 两点，求papb|的值最小时直线l的方程。解析：依题意作图，设bao，则papb12sincos，papb22442sincossincossin，当sin21，即45时papb|的值最小，此时直线l的倾斜角为 135 ，斜率kltan1351。故直线l的方程为yx112，即xy30。点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。题型 2：斜率公式及应用例 3 1设实数x，y 满足xyxyy20

7、240230，则yx的最大值是_ 。2已知过原点 o 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于 a、b两点，分别过点 a、b 作 y 轴的平行线与函数ylog2x 的图象交于 c、d 两点。1证明点 c、d 和原点 o 在同一条直线上。2当 bc 平行于 x 轴时，求点 a 的坐标。解析： 1如图，实数 x，y 满足的区域为图中阴影部分包括边y b p（2，1）o a x wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育界 ，而yxyx00表示点 x，y与原点连线的斜率，则直线ao 的斜率最大，其中a 点坐标为132，此时koa32，所以yx的最大值是32。点评：此题还可以设yxk

8、，则ykx，斜率 k 的最大值即为yx的最大值，但求解颇费周折。2证明：设 a、b 的横坐标分别为x1，x2，由题设知 x11，x21，点 ax1，log8x1 ，bx2，log8x2. 因为 a、b 在过点 o 的直线上，所以228118loglogxxxx，又点 c、d 的坐标分别为 x1，log2x1 ， x2，log2x2由于 log2x12loglog818x3log8x1，log2x22loglog828x3log8x2，所以 oc 的斜率和 od 的斜率分别为228222118112log3log,log3logxxxxkxxxxkodoc。由此得 kockod，即 o、c、d

9、在同一条直线上。由 bc 平行于 x 轴，有 log2x1log8x2，解得x2x13将其代入228118loglogxxxx，得 x13log8x13x1log8x1. 由于 x11，知 log8x10 ，故 x133x1，x13，于是点 a 的坐标为3，log83. 点评：本小题主要考查对数函数图象、 对数换底公式、对数方程、 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。例 4当02x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值是a2 bc4 d43解析：原式化简为，则 y 看作点a0，5与点bxxsincos2

10、32，的连线的斜率。因为点 b 的轨迹是xxyxxsincos23202即过 a 作直线ykx5，代入上式，由相切 0可求出k4，由图象知 k 的最小值是 4，故选 c。点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。题型 3：直线方程例 5已知直线的点斜式方程为yx1342，求该直线另外三种特殊形式的方程。解析： 1将yx1342移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。2因为点 2，1 、 0，52均满足方程yx1342，故它们为直线上的两点。 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育由两点式方程得：yx

11、1521202即yx132223由yx3452知：直线在 y 轴上的截距b52又令y0，得x103故直线的截距式方程xy103521点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。 在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。例 6直线l经过点 p-5，-4 ，且与两坐标轴围成的三角形面积为 5，求直线l的方程。解析：设所求直线l的方程为，直线l过点 p-5，-4 ，541ab，即45abab。又由已知有125a b，即ab10，解方程组4510ababab，得：ab524或ab52故所求直线l

12、的方程为：xy5241，或xy521。即85200 xy，或25100 xy点评：要求l的方程，须先求截距 a、b 的值，而求截距的方法也有三种： wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育1从点的坐标a， 0或0，b中直接观察出来；2由斜截式或截距式方程确定截距；3 在其他形式的直线方程中， 令x0得y轴上的截距 b； 令y0得出 x 轴上的截距 a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。题型 3：直线方程综合问题例 5在直角坐标系 xoy 中，已知aob 三边所在直线的方程分别为 x=0，y=

13、0，2x+3y=30，则aob 内部和边上整点即横、纵坐标均为整数的点的总数是a95 b91 c88 d75 答案： b解析一：由 y=1032x 0 x15 ， xn 转化为求满足不等式y1032x0 x15 ，xn所有整数y 的值.然后再求其总数 .令 x=0，y有 11 个整数， x=1，y 有 10 个，x=2 或 x=3 时，y 分别有 9 个，x=4时，y 有 8 个，x=5 或 6 时，y 分别有 7 个，类推： x=13 时 y 有 2 个，x=14 或 15 时，y 分别有 1 个，共 91 个整点 .故选 b。解析二：将 x=0，y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形

14、补成一个矩形 .如下列图。对角线上共有6 个整点，矩形中包括边界图 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育共有 16 11=176.因此所求 aob 内部和边上的整点共有26176=91个点评：此题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。例 6已知动圆过定点p1，0 ，且与定直线 l：x=1 相切，点 c 在 l 上。求动圆圆心的轨迹m 的方程；设过点p，且斜率为3的直线与曲线m 相交于 a、b两点。i问： abc 能否为正三角形？假设能，求点c 的坐标；假设不能，说明理由；ii当abc 为钝角三角形时，求这种点c

15、的纵坐标的取值范围。解法一，依题意，曲线m 是以点 p 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线m 的方程为 y2=4x. 解法二：设 mx，y ，依题意有 |mp|=|mn|，所以|x+1|=22) 1(yx。化简得： y2=4x。 i由题意得，直线 ab 的方程为 y=3x1. 由.4),1(32xyxy消 y 得 3x210 x+3=0，图 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育解得 x1=31，x2=3。所以 a 点坐标为332,31 ，b 点坐标为 3，23 ，|ab|=x1+x2+2=316。假设存在点c1，y ，使abc 为正三角形，则 |bc|=|ab|且|

16、ac|=|ab|，即.)316()32()131(,)316()32() 13(222222yy由得 42+y+232=342+y3322，解得 y=9314。但 y=9314不符合，所以由，组成的方程组无解。因此，直线 l 上不存在点 c，使得 abc 是正三角形。ii 解法一：设c 1，y使 abc 成钝角三角形，由.1),1(3xxy得 y=23，即当点 c 的坐标为1， 23 时， a、 b、 c 三点共线，故 y23。又|ac|2=1312+y3322=334928y+y2，|bc|2=3+12+y+232=28+43y+y2， wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳

17、教育|ab|2=3162=9256。当cab 为钝角时， cosa=|2|222acabbcacab|ac|2+|ab|2，即9256334928342822yyyy，即 y392时， cab为钝角。当|ac|2|bc|2+|ab|2，即9256342833492822yyyy，即 y|ac|2+|bc|2，即2234283349289256yyyy，即0)32( ,03433422yyy。该不等式无解，所以acb不可能为钝角。因此，当 abc 为钝角三角形时，点c 的纵坐标 y 的取值范围是)32(9323310yyy或。解法二：以 ab为直径的圆的方程为 x352+ y+3322= 382

18、。圆心332,35到直线 l：x=1 的距离为38，所以，以 ab 为直径的圆与直线l 相切于点 g1，332 。当直线 l 上的 c 点与 g 重合时， acb 为直角，当 c 与 g 点不 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育重合，且 a、 b、 c 三点不共线时，acb 为锐角，即abc 中， acb不可能是钝角。因此，要使 abc 为钝角三角形，只可能是cab 或cba 为钝角。过点 a 且与 ab 垂直的直线方程为)31(33332xy。令 x=1 得 y=932。过点 b 且与 ab 垂直的直线方程为y+2333x3 。令 x=1 得 y=3310。又由.1)

19、,1(3xxy解得 y=23，所以，当点 c 的坐标为 1，23时， a、b、c 三点共线，不构成三角形。因此，当 abc 为钝角三角形时，点c 的纵坐标 y 的取值范围是 y932y 23 。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分表达了 “ 注重学科知识的内在联系 ”.题目的设计新颖脱俗， 能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教

20、育题型 4：圆的方程例 7 1已知 abc 的三个项点坐标分别是a4，1 ，b6，3 ，c3，0 ，求abc 外接圆的方程。分析：如果设圆的标准方程222()()xaybr，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到 abc 外接圆的圆心是 abc 三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。解法一：设所求圆的方程是222()()xaybr因为 a4，1 ，b6，3 ，c3，0都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是222222222(4)(1),(6)( 3),( 3)(0).abrabrabr可解得21,3,25.abr

21、所以abc 的外接圆的方程是22(1)(3)25xy。解法二：因为 abc 外接圆的圆心既在ab 的垂直平分线上，也在 bc 的垂直平分线上，所以先求ab、bc 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。31264abk，0( 3)1363bck，线段 ab的中点为5，1 ，线段 bc 的中点为33(,)22， wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育ab的 垂 直 平 分 线 方 程 为11(5)2yx，bc的 垂 直 平 分 线 方 程333()22yx解 由 联立 的 方 程 组可 得1,3.xyabc 外接圆的圆心为 1，3 ，半径22|(41)(1 3)5rae

22、。故abc 外接圆的方程是22(1)(3)25xy点评：解法一用的是 “ 待定系数法 ” ， 解法二利用了圆的几何性质。2求过 a4，1 ，b6，3 ，c3，0三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：细心的同学已经发现， 此题与上节例 1 是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的一般方程求解解法三 ，可以比较一下哪种方法简捷。解析：设圆的方程为220 xydxeyf因为三点 a4，1 ，b6，3 ，c3，0都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解， 将它们的坐标分别代入方程，得到关于 d，e，f 的一个三元一次方程组：22222241406( 3)630( 3)030

23、0defdefdef，解得2615def。exyocba wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育所以，圆的方程是2226150 xyxy。圆心是坐标 1，3 ，半径为221452rdef。点评：“ 待定系数法 ” 是求圆的方程的常用方法一般地，在选用圆的方程形式时， 假设问题涉及圆心和半径， 则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。例 8假设方程xymxmym2224232 141690()()。1当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。2当m在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。解析： 1由xymxmym2224232 141690()()，当且仅当16702m

24、m时，即mm|171时，给定的方程表示一个圆。2 设圆心坐标为()xy， 则xmymm3411712()m为参数 。消去参数myx4 312()，yxx43120742()()为所求圆心轨迹方程。点评：圆的一般方程022feydxyx，圆心为点)2,2(ed，半径2422fedr，其中0422fed。题型 5：圆的综合问题例 9如图 2，在平面直角坐标系中，给定y 轴正半轴上两点a0，a ，b 0，b ab0 ，试在 x 轴正半轴上求一点c，使acb wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育取得最大值。解析：设 c 是 x 轴正半轴上一点，在 abc 中由正弦定理，有sin

25、acbabr2。其中 r 是abc 的外接圆的半径。可见，当 r 取得最小值时， acb 取得最大值。在过 a、 b 两定点且与 x 轴正向有交点 c 的诸圆中，当且仅当点 c是圆与 x 轴的切点时，半径最小。故切点c 即为所求。由切割线定理，得：ocoaobab2所以ocab， 即点 c 的坐标为ab， 0时，acb 取得最大值。点评：圆是最简单的二次曲线， 它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，假设能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。例 10已知 o 过定点a(0，p)(p0)，圆心 o 在抛物线 x2=2py 上运动，m

26、n 为圆 o 截 x 轴所得的弦，令|am|=d1，|an|=d2，man= 。1当 o 点运动时， |mn|是否有变化？并证明你的结论； wujiajiaoyu ,中小学直线提分，就选福州五佳教育2求21dd+12dd的最大值，并求取得最大值的 值。解 析 ： 设o (x0， y0) ， 则x02=2py0(y00) ， o 的 半 径|oa|=2020)(pyx，o 的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令 y=0，并把 x02=2py0代入得 x22x0 x+x02p2=0，解得 xm=x0 p，xn=x0+p，|mn|=| xnxm|=2p为定值。2m(x0-p，0) ，n(x0+p，0) d1=202)(pxp，d2=202)(pxp，则 d12+d22=4p2+2x02，d1d2=4044xp，12dd+21dd=212122dddd=404202424xpxp=240422024)2(xpxp=2404202441xpxp22022022241xpxp=22。当且仅当 x02=2p2，即 x=2p