因式分解学案05-十字相乘法法学案04

1、因式分解学案05-十字相乘法法学案04【基础知识精讲】(1) 理解二次三项式的意义;(2) 理解十字相乘法的根据；(3) 能用十字相乘法分解二次三项式；1的二次三项式的十字相乘法.(4 )重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为【重点难点解析】1.二次三项式多项式ax2 bxc,称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项.例 如，x2 -2x -3和x2 5x - 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy 8y2中，如果把y看作常数，就是关于 x的二次三项式；如果把 x看作常数， 就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2 -7ab 3中，把ab看作一个整体

2、，即2(ab)2 - 7(ab) 3，就是关于ab的二次 三项式.同样，多项式(x - y)2 - 7(x y) 12 ,把x + y看作一个整体，就是关于x+ y的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+ b)(cx+ d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为 1的二次三项式x2 px q，如果能把常数项 q分解成两个因数 a, b的积， 并且a+ b为一次项系数p,那么它就可以运用公式2x (a b)x ab =(x a)(x b)分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中

3、的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是 1的二次三项式ax2 bx c (a, b, c都是整数且0)来说，如果存在四 个整数a2,c2，使 a1 a2 = a， q c2 = c，且 a1c2 - a2c1 = b，那么ax2 bx c= a1a2x亠(aQ2亠a2cjx亠&。2= (a亠cj(a2x亠c2)它的特征是"拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项

4、系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二 次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解 为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数， 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要注 意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如：5x2 6xy8 y2 = (x2)(5x4)3因式分解一般要遵循的步骤多项式因式

5、分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考 虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概 括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试， 结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：(1) x - 2 x -15 ； (2) x -5xy 6.点悟：(1)常数项15可分为3 X ( 5)，且3 + (-5)=- 2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于 x的二次三项式，常数项 6 y 2可分为(2y)( 3y)，而(2y) + ( 3y) =(5y)恰为一次

6、项系数.解：(1) x2 -2x -15 =(x - 3)(x -5)；22(2) x 5xy ' 6y (x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(1)2 22x _5x _3 ; (2) 3x 8x _3 .点悟:我们要把多项式ax 2 bx c分解成形如（aXt亠q ）（ax2亠c2）的形式，这里a1a = a , qc2 = c而 a1c2 a2q = b .解：（1) 2x2 5x3 = (2x 亠 1)(x3);(2)3x2 8x3 =(3x _1)( x 3).点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往

7、要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速 度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1)42x -10 x - 9 ;(2)327(x - y)-5(x - y)-2(x - y)；(3)2 2 2(a8a)22 (a8a) - 120 .点悟:（1 ）把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；（2）提取公因式（x+ y）后，原式可转化为关于（x + y）的二次三项式;(3)以（a28a）为整体，转化为关于（a28a）的二次三项式.解：（；1) x4 -10x2 9 =(x2 _1)(x2 -9)=(x+ 1)( x- 1)(x+ 3)(x 3).(2)

8、7(x ' y)3 5(x y)2 2(x y)2=(x - y)7(x y) 一 5(X y) -2=(x+ y)(x+ y)17(x+ y) + 2=(x+ y)(x+ y 1)(7 x+ 7y+ 2).(3)(a令xy，贝y x 8a)2 - 22(a2 - 8a) 1202 2二(a - 8a 12 )( a - 8a -10 )=(a - 2)( a - 6)(a2 - 8a 10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体， 才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要 分解到不能再分

9、解为止.例 4 分解因式：(x2 - 2x _3)(x2 - 2x _24) 90 .点悟：把x2 2x看作一个变量，利用换元法解之.解：设 X2 2x = y ,贝U原式=(y- 3)(y- 24)+ 902=y -27y162=(y- 18)(y-9)2 2=(x 2x -18 )( x 2x - 9).点拨：本题中将x2 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果.此夕卜，y2 -27 y 162 =(y 18)(y 一9) 一步，我们用了 “十字相乘法”进行分解.例 5 分解因式 6x=x2 (2y -5)(3y10) 5x原式二 x2 (6y2 - 5y -5

10、0) -38 x2 5x 6 .点悟：可考虑换元法及变形降次来解之.2 2 11解：原式二 x 6(x) ' 5(x) -38 xx2 1 2 1=x 6(x)5( x ) 一50 ,xx223=x (2x5)(3x10)xx2 2=(2x-5x 2)(3x10 x - 3)=(x -2)(2x -1)(x3)(3x1).点拨：本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.例6 分解因式x 2 2二 c (a -b) -c(a -b ) ' ab (a -b) 2xy亠

11、y2 5x亠5y 6 .点悟：方法1:依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x y)的二次三项式.方法2:把字母y看作是常数，转化为关于 x的二次三项式.解法 1:x2 2xy y2 5x 丁5 y 62 2 =(x 2xy y ) ( -5x 5 y) - 62二(x _y) 5(x - y) - 6=(x -y 1)(x -y -6).解法 2:x2 -2xy - y2 -5x 5y 62 2二 x -(2y5)x y 5y6=x2(2y5)x( y 6)( y T)=x -( y 6) x -( y -1)=(x y 6)(x y+ 1).例 7 分解因式：ca(c a) + bc

12、(b c) + ab(a b).点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.解：ca(c a) + bc(b c) + ab(a b)2 2 2 2二 ac - a c ' b c - bc ' ab(a - b)2=c (a - b) -c(a b)(a - b) ab(a - b)=(a b) c2 c(a - b) ab =(a b)(c a)( c b).点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a b的因式，从而能提公因式随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例

13、8已知x4 6x2x 12有一个因式是x2 ax 4 ,求a值和这个多项式的其他因式.点悟：因为x4 6x2 x 12是四次多项式，有一个因式是x2 ax 4，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是xmbx：；'3( a 、 b 是待定常数)，故有x46 x 12 = (x? ax4) ( bx- 3).根据此恒等关系式，可求出a, b的值.解：设另一个多项式为x2 bx - 3，则42x 6x x 122 2=(x ax - 4)( x bx 3)432=x - (a b)x - (34 ab )x (3a 4b)x 12 ,42432| ix 6x x 12与x (a b) x (34 ab) x (3a4b) x 12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有a 4-Z? = 0,住 3+4 +ab = 6t+4/)= L由、解得，a = 1, b= 1,代入，等式成立.a = 1，另一个因式为x2亠x亠3 .点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常 用的方法，在其他数学知识的学