梁的变形计算

1、 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflection curve）。）。 根据上一章所得到根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关弯曲刚度之间存在下列关系：系： EIM1横截面形心处的铅垂位移，称为横截面形心处的铅垂位移，称为挠度挠度（deflectio

2、n），），用用w表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为角度，称为转角转角（slope）用用 表示；表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移轴向位移或或水平水平位移位移（horizontal displacement），），用用u表示。表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。 在在Oxw坐标系中，挠度与转角坐标系中，挠度与转角存在下列关系：存在下列关系： 在小变形条件下

3、，挠曲线较为在小变形条件下，挠曲线较为平 坦 ， 即平 坦 ， 即 很 小 ， 因 而 上 式 中很 小 ， 因 而 上 式 中tan。于是有于是有tanddxwxwddw w（x），），称为挠度方程（称为挠度方程（deflection equation）。）。 机械传动机构中的齿轮轴，当机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时变形过大时(图中虚线所示图中虚线所示)，两齿，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的同时，还会加大齿

4、轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。加，降低轴和轴承的使用寿命。 EIM123222dd1dd1xwxw2ddxw22322dd1d1dwxwxEIMxw22ddEIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw, 本书采用向下的本书采用向下的w坐标系，有坐标系，有EIMxw22ddEIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwll

5、ddPABCPD支点位移条件：支点位移条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：CC右左或写成CC0,0ABwwCCww0,0DDwCCCww 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。条件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。梁的弯曲挠度与转角方程

6、，梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。以及最大挠度和最大转角。 左端固定右端左端固定右端自由的悬臂梁承受均布自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为载荷。均布载荷集度为q ，梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI 、长长度为度为l。q、EI 、l均已知。均已知。 建立建立Oxw坐标系如图所示。坐标系如图所示。因为梁上作用有连续分布载荷，因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。一个函数描述，即无需分段。 从坐标为从坐标为x的任意的任意截面处截开，因为固定截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑端有两个约束力，考虑截面左侧

7、平衡时，建立截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：衡，得到弯矩方程： 21( )02M xq lxx l x将上述弯矩方程代入小挠度将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得微分方程，得 212EIwMq lx 积分后，得到积分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC4124EIwq lxCxD固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,62 4q lCq lD336qlxlEI 434424qwlxl x

8、 lEI 从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。和转角均最大值。 于是，将于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，分别代入挠度方程与转角方程，得到：得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。简支梁受力如图示。简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。均为已知。 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d

9、3d444wllEIMxF xFxxlx积分后，得积分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条为积分常数，由支承处的约束条件和件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。段梁交界处的连续条件确定确定。 在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0， w10; xl， w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等段梁

10、交界处的挠度和转角必须分别相等: : xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 212P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P12

11、8746181 据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转的转角分别为角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 确定约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程简支梁受简支梁受力如图示，力如图示，q、l、EI均为已知。均

12、为已知。C截面的挠度截面的挠度wC ；B截面的转截面的转角角 B321CCCCwwww1. .将梁上的载荷将梁上的载荷变为变为3种简单的情形。种简单的情形。123BBBB2. .由挠度表查得由挠度表查得3种种情形下情形下C截面的挠度截面的挠度；B截截面的转角面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 应用叠加法，将简单应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相将上述结果按代数值相加，分别得到梁加，分别得到梁C截面的挠截面的挠度和支座度和支座B处的转角

13、处的转角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811悬臂梁受悬臂梁受力如图示，力如图示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的挠截面的挠度和度和转角转角wC 和和 C1. . 首先，将梁上的载首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形荷变成有表可查的情形 为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的段还需再加

14、上集度相同、方向相反的均布载荷。均布载荷。 两种情形下自由端的挠度和两种情形下自由端的挠度和转角分别为转角分别为再将处理后的梁分解再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。各个简单载荷引起挠度和转角。414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEIEIqlEIqlCC323148161,将简单载荷作用的将简单载荷作用的结果叠加结果叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487结构形式叠加（逐段刚化法结构形式叠加（逐段刚化法) )=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价等价等价

15、xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxfPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的杆的E=210GPa，求求C点的转角与挠度点的转角与挠度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例题例题P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：解：1 1 结构变换，查表

16、求简单结构变换，查表求简单 载荷变形。载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf例题例题P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI例题例题m1019.533166223221EILaP

17、EIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB计算结果计算结果例题例题 wwmax max钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承其他尺寸如图所示。规定轴承B处处的许用转角的许用转角 =0.5。根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。 B例题例题例题例题根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。处的转角不超过许用数

18、值。为此，需按下列步骤计算。为此，需按下列步骤计算。BEIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角处的转角为为 例题例题 B根据设计要求，根据设计要求， 其中，其中， 的单位为的单位为rad（弧度），而弧度），而 的单位为（）的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643 -493dEIlaFB3P3-3=04-3=1MA ABFAyFAx ABMAFAyFAxFB532633FBxMBBl AM

19、AFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFByMBBl AMAFAyFAxFBxFBy 0ByBBBBFqMFBxBl AMAFAyFAxFBy例题例题FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB例题例题FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - - Fbyl 3 /3EIFBxBl AM

20、AFAyFAxFBy例题例题几何方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：确立基本静定梁确立基本静定梁BCBRBqBLfffB=结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB例题例题例题例题=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+物理方程：变形与力的关系物理方程：变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、变求解其它问题（反力、应力、变形等）形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBCq0AB结论与讨论结论与讨论二梁的受力二梁的受力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？FPABC结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁试根据连续光滑性质以及约