根式及其运算

1、根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式 运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、 待定系数法等有关知识与解题方法， 也就是说，根式的运算，可以培养同 学们综合运用各种知识和方法的能力.下面先复习有关基础知识，然后进 行例题分析.二次根式的慨念：式子石叫作二次根式.二次根式的性质:(I)(Va/ = a ?（2）VcT =|a|= Cs 当日=0时，-a,当自<0吋.二次根式的运算法则:(j) aVni= (a + b)TinC2)Va /b =j书弋b>0 庙一唐Q0）.若心M7a>7b*设a，b，c，d，m是有理数

2、，且m不是完全平方数，则当且仅当也=G b = d时，a+ bTm = c + d-Tm*形如兄=日+応=自-命的两个根式互称为共辄丰賦，当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根 式，则这两个代数式互为有理化因式.例1化简:(1) Jk2 -4蛊 +4 +|1 -葢|* 其中 1<区<岔(2) J日 - b 晶- b _ J(b - 菱)° -1匕 _ a| 解（i由二次根式的性质盲TH可知，化简二钦根式的一个有效方法是配方去掉根号，所以顶式=J(sc-2)勺 +|1- z|=|s - 2|十卩 _北|,因为x-2 V0, 1-x V 0,所以原式=2-

3、x+x-1=1要使后不有意义，必须a-b>0.所以J3 筑)卫2 -t>i 11* " fi|= a - b + 原式=(Va-b2 - (a-b) - (a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简; 若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简.例2化简： 2710 + 14+715 + 721分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化, 这样计算化简较繁我们可以先将分母因式分解后，再化简.解（1）原式=迈斗語）（的十忌 _177-575 + -/?1 -5庐式宀需十朋76（1 + 22

4、 +/3） 二（、疗+屈）认怎十击） _忝（1+旋1屈 "翻压匚1）=0怎-逻.例3化简：J11 + 2伍,分析本例是复合二次式需云厉的化简问题，优简方袪主要有 下面两种.解法1配方法.711 + 2-718 = V92>/1S+2J（屁歼三”后配方法是要设法找到两个正数 x, y(x >y)，使x+y=a , xy=b，则J日士 M . 盘 +±2倆=水五 士历屮 ”丘士肠O>y)解法2待定系数法.设尿 + Nf忑+石,两边平方得11 + 2-7?8 =定 +y + 2Sy,所以（黑十y = 11, zy = 18.所以 Vll + 2V13 =+ Vs

5、 = 3+ 72.例4化简:JTBi J右-6J10T存边Q7§；-厉说明本题为冷(H 顾是常见错误.U(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简.原式二盘3,血十4仏扭-“=& 3-唧靛4忑=&匚乐亠2恵=23_6（2*吃）=$1一趴挖=711-2/18 = 3- 72.例5 化简 713 + 275*27*2735,分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成是将反+唐+石平方待耒的*因此用持定系数法来化简.数法来化简.解设713+2 + 2/7 235 = J7 十唐十忑两边平方得13 + 275 + 2>/7+2V35©、十y

6、十工= 13.所以xy = 5>弊=入Z5J 35,XX得(xyz)2=5 X7 X35=35 2.因为x, y, z均非负，所以xyz >0，所以xyz=35 .*，有z=7 同理有x=5 , y=1 所求x, y, z显然满足，所 以原式=1+击十存例6化简._妣+症+ / + J1Q +嘉解设原式=x，则x2 = (4 - J10 + 2击)+(4 + J10*25)*乂二/二禹侶亠Jl"2向-8-F 2725 =8 +2(1) 6/谒數庁細?显餒有孟幺所以原式乜+ 1例 化简：珂244石 J 血_ I召7T解法 1 利用(a + b)3= a3 + b3+ 3ab

7、(a + b)来解.k= 3j20 + W2 +3 V20-14V2.两边立方得扌=犯 + 3 37S* k.即 6 40= 0.将方程左端因式分解有(x-4)(x 2 + 4x + 10) = 0.因为x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 >0 ,所以x-4 = 0, x = 4 所以原式=4 .解法2?血 + 1必=3 V8 + 12V2+12 + 27?同理讨2。-14据=2-品 所以 原式=（2 +运） + （2-返）胡说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本 题解法1是一般常用的解法.例8化简：（1）+a* ; Jy 十 2 十 3羽芦.甘

8、+,2 +2a3 +2/f+a3 +?原巩一*£十宜 + 1)十 2-7( a2 + a + l)(a2 a -i-1) + (a2 - a +1)V2=于J（为-站2 J旳-蚣g原式二严+严庖 *2苗+4 + 2曲-45J (MJ + a h十一 證 匚"If本小题也可用换元法来化简.、, 5 LM梵十 5令J2y -X冷七)"则y=原式二崔f七+ 6x + 9HJ2 , (K + $(因为X。)-(.2y -5 + 3).解用换元法.lfe- Jy WJa= 3s2 +1,= x2 + 3.所臥原式=弓Jii 2 + 1亠(耳？ + 3)盂+3+ 1 一 (禺

9、'亠可猛|J J1 十 十 + £ 孕 71 3k +=3 J(1F # 恥 h= (l + x) + (l-K)=2.例ID己知3£=鲁y=；-香,求聲-5xy +妒的值.解直接代入较繁，观察x, y的特征有xy= L 卜+ y二 10.所以3x2-5xy + 3y2 = 3x2 + 6xy + 3y2-11xy=3(x + y)2-11xy=3X102-11 X1 = 289 .例11求s轴J门十1)(护+1)(，4巩2* +1)(2為+ 0 41的值-分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算.解 设根号内的式子为A，注意到1 = (2-1)，及平方

10、差公式(a + b)(a-b)二 a2-b2，所以A = (2-1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(2256 + 1) + 1=(22-1)(2 2 + 1)(24+ 1)(2 8+ 1)(2256 + 1) + 1=(24-1)(2 4 + 1)(28+ 1)(2 16 + 1)(2256 + 1) + 1= = (2256 -1)(2 256 + 1) + 12 X 256-1 + 1 =22 X 256折以原式=叫沪区=工=斗*例12若也=VS+ a计算共有2000层4=的值.分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循.因为a=V2 + L所以-= = 72-1, a 72

11、+1所以 2 +丄=%叵一1十2 = 返+ l = a,所以 丄矗-12+-"a所乩 不论多少层，原式=丄=-1.a加3求根式2-2 +匸虽十匸的值.解 用构造方程的方法来解设原式为 x,利用根号的层数是无限的特点，有-= k两边平方得两边再平方得x4-4x 2 + 4= 2 + x,所以 x4-4x2-x +2 = 0.观察发现，当x = -1 , 2时，方程成立.因此，方程左端必有因式(x+ 1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x + 1)(x-2)(x 2 + x-1) = 0 .所以盜=一 1 Z= 2,更二 1 “-又因为XY厶所以z= 4 x = 2j耳=1应舍去*原式二牛1例上4设斗二 的整数部分为如水数部分为丹试求宀扫十护的值.解因为>/5 + 1(75 +1)33 + /5a/5-I而0< 牛所阪=N 厂 上二.所以E£盂2 += 4斗一氏2衣=+ 2(疔-1)卜 H - 75) 5练习1 .化简:|2 + f>|+j4_#p + f(2Jx 十 1屁 - 32 .计算：Jt7皿卮 p)凤 r 1 亠_羽十姫+ V2-1 丿5十厂（521-475 + 8-715.3 .计算