北京市海淀区2013届高三一模数学(理)试题VIP

1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学理科2013.4 一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分,共 40 分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 . 1.集合26,30axxbxxxn|r|，则aba.3,4,5b.4,5,6c.|36xxd.|36xx2.在极坐标系中, 曲线4cos围成的图形面积为 .b.4.4.163.某程序的框图如下列图，执行该程序，假设输入的x值为 5，则输出的y值为 .2b. 1c. 12d.24.不等式组1,40,0 xxykxy表示面积为1 的直角三角形区域，则k的值为 .2b. 1c. 0d.15. 假设向量, a b满足| | | 1abab，

2、则a b的值为a.12b.12c.1d. 16. 一个盒子里有3 个分别标有号码为1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3 次，则取得小球标号最大值是3 的取法有a.12 种b. 15 种c. 17 种d.19 种7. 抛物线24yx的焦点为f，点( ,)p x y为该抛物线上的动点，又点( 1,0)a，则|pfpa的最小值是a.12b.22c.32d.223开始输出 y结束输入 x2xx0 xxy2是否8. 设123, ,l ll为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6 的直线 .给出以下三个结论：iial (1,2,3)i，使得123a a a是直角三

3、角形；iial (1,2,3)i，使得123a a a是等边三角形；三条直线上存在四点(1,2,3,4)ia i，使得四面体1234a a a a为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是a. b.c. d. 二、填空题 :本大题共6 小题 ,每题 5 分,共 30 分. 9.在复平面上，假设复数+ ia b,a br对应的点恰好在实轴上，则b=_. 10.等差数列na中,34259,18aaa a, 则16_.a a11.如图，ap与o切于点a，交弦db的延长线于点p，过 点b作 圆o的 切 线 交ap于 点c. 假 设90acb，3,4bccp，则弦db的长为

4、 _. 12.在abc中，假设4,2,ab1cos4a，则_,sin_.cc13.已知函数22, 0,( )3, 0 xaxf xxaxax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 _. 14.已知函数( )sin2f xx，任取tr，定义集合：|tay( )yf x，点( ,( )p t f t，( ,( )q x f x满足|2pq. 设, ttmm分别表示集合ta中元素的最大值和最小值，记( )tth tmm. 则1函数( )h t的最大值是 _；2函数( )h t的单调递增区间为_. dcbpao三、解答题 : 本大题共6 小题 ,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

5、15.本小题总分值13 分已知函数2( )2( 3sincos )f xxx. 求()4f的值和( )f x的最小正周期；求函数( )f x在区间,6 3上的最大值和最小值. 16.本小题总分值13 分在某大学自主招生考试中，所有选报 ii 类志向的考生全部参加了“ 数学与逻辑 ” 和“ 阅读与表达 ” 两个科目的考试，成绩分为a,b,c,d,e五个等级 . 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如以下列图所示，其中“ 数学与逻辑 ” 科目的成绩为b 的考生有 10 人. i求该考场考生中“ 阅读与表达 ” 科目中成绩为a 的人数；ii 假设等级a，b，c，d，e 分别对应5 分， 4 分， 3

6、分， 2 分， 1 分 . i求该考场考生“ 数学与逻辑 ” 科目的平均分； ii假设该考场共有10 人得分大于7 分，其中有2 人 10 分， 2 人 9 分， 6 人 8 分 . 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望. 0.375等级0.250频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达17.本小题总分值14 分在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac中点，又4paab，120cda，点n在线段pb上，且2pn求证：bdpc；求证：/ /mn平面pdc; 求二面角apcb

7、的余弦值mdcbapn18.本小题总分值13 分已知函数2( )lnf xxaxbx其中,a b为常数且0a在1x处取得极值 . i当1a时，求( )f x的单调区间；ii 假设( )f x在0,e上的最大值为1，求a的值 . 19.本小题总分值14 分已知圆m：222(2)xyr0r.假设椭圆c：22221xyab0ab的右顶点为圆m的圆心，离心率为22. i求椭圆c的方程；ii 假设存在直线l：ykx，使得直线l与椭圆c分别交于a，b两点，与圆m分别交于g，h两点，点g在线段ab上，且agbh，求圆m半径r的取值范围 . 20.本小题总分值13 分设(,),(,)aabba xyb xy为

8、 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 ， 其 中,aabbxyxyz. 令baxxx，bayyy，假设x +=3y,且| |0 xy，则称点b为点a的“ 相关点” ，记作：()ba. 已知0p0000(,) (,)xyxyz为平面上一个定点，平面上点列ip满足：1()iipp，且点ip的坐标为(,)iixy，其中1,2,3,.,in. 请问： 点0p的 “ 相关点 ” 有几个？判断这些“ 相关点 ” 是否在同一个圆上，假设在同一个圆上，写出圆的方程；假设不在同一个圆上，说明理由；求证：假设0p与np重合，n一定为偶数；假设0(1,0)p，且100ny，记0niitx，求t的最大值 .

9、海淀区高三年级第二学期期中练习数学 理参考答案及评分标准20134 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题本大题共8 小题 ,每题 5 分,共 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案b c c d a d b b 二、填空题 本大题共6 小题 ,每题 5 分, 有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共 30 分三、解答题 本大题共6 小题 ,共 80 分15 本小题总分值13 分解： i因为2( )2( 3sincos )f xxx22= 2(3sincos2 3sincos )xxxx22(12sin3sin 2 )xx2分2= 12sin3sin 2xx

10、cos23sin 2xx4分= 2sin(2)6x6分所以 2()2sin(2)2sin34463f7分90 1014 11.2451233,151613491a142, (21,2 ),zkkk所以( )f x的周期为22= |2t9分ii 当 ,6 3x时， 22,33x，5(2),666x所以当6x时，函数取得最小值()16f11 分当6x时，函数取得最大值()26f13分16.解： 因为 “ 数学与逻辑 ” 科目中成绩等级为b 的考生有10 人，所以该考场有100.2540人1分所以该考场考生中“ 阅读与表达 ” 科目中成绩等级为a 的人数为40(10.3750.3750.150.02

11、5)400.07533分ii 求该考场考生“ 数学与逻辑 ” 科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5 (400.075)2.9407分设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19， 208 分2621015(16)45cpc，116221012(17)45c cpc11262222101013(18)45c ccpcc，11222104(19)45c cpc222101(20)45cpc所以的分布列为x16 17 18 19 20 p15451245134544514511 分所以15121341861617181920454545454

12、55e所以的数学期望为86513分17.证明：i因为abc是正三角形，m是ac中点，所以bmac,即bdac1分又因为paabcd平面，bd平面abcd，pabd2 分又paaca，所以bd平面pac3分又pc平面pac，所以bdpc4分在正三角形abc中，2 3bm5分在acd中，因为m为ac中点，dmac，所以adcd120cda，所以2 33dm，所以:3:1bmmd6分在等腰直角三角形pab中，4paab，42pb，所以:3:1bnnp，:bn npbmmd，所以/ /mnpd8 分又mn平面pdc，pd平面pdc，所以/ /mn平面pdc9分因为90badbaccad，所以abad，

13、分别以,ab adap, 为x轴 , y轴, z轴建立如图的空间直角坐标系，所以4 3(4,0,0),(2,23,0),(0,0),(0,0,4)3bcdp由可知，4 3(4,0)3db为平面pac的法向量 10分(2,2 3, 4)pc，(4,0,4)pb设平面pbc的一个法向量为( , , )nx y z, zyxmadbcpn则00n pcn pb，即22 340440 xyzxz，令3,z则平面pbc的一个法向量为(3,3,3)n 12 分设二面角apcb的大小为，则7cos7n dbndb所以二面角apcb余弦值为7714分18. 解： i因为2( )ln,fxxaxbx所以1( )

14、2fxaxbx2分因为函数2( )lnfxxaxbx在1x处取得极值(1)120fab3分当1a时，3b，2231( )xxfxx，( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x1(0,)2121(,1)211 +（ ， ）( )fx0 0 ( )f x极大值极小值5分所以( )f x的单调递增区间为1(0, )2,1 +（ ， ）单调递减区间为1(,1)26分ii 因为222(1)1(21)(1)( )axaxaxxfxxx令( )0fx,1211,2xxa7分因为( )f x在1x处取得极值，所以21112xxa当102a时，( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减所以(

15、 )f x在区间0,e上的最大值为(1)f，令(1)1f，解得2a9分当0a，2102xa当112a时，( )f x在1(0,)2a上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增所以最大值1 可能在12xa或ex处取得而2111111()ln()(21)ln10222224faaaaaaaa所以2(e)ln e+ e(21)e1faa，解得1e2a11 分当11e2a时,( )f x在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a上单调递减，1(,e)2a上单调递增所以最大值1 可能在1x或ex处取得而(1)ln1(21)0faa所以2(e)ln e+ e(21)e1faa，解得1e2a

16、，与211e2xa矛盾 12分当21 e2xa时，( )f x在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，所以最大值1 可能在1x处取得，而(1)ln1(21)0faa，矛盾综上所述，12ae或2a. 13 分1.本小题总分值14 分解： i设椭圆的焦距为2c，abgh因为2a，22ca，所以1c，所以1b. 所以椭圆c：2212xy4分ii 设a1x，1y ，b2x，2y由直线l与椭圆c交于两点a，b，则22220ykxxy所以22(12)20kx，则120 xx，122212x xk6分所以222288(1)(1)1212kabkkk7分点m2， 0到直线l的距离221kdk则222

17、221kghrk9分显然，假设点h也在线段ab上，则由对称性可知，直线ykx就是y轴，矛盾，所以要使agbh，只要abgh所以222228(1)24()121kkrkk22424222424222(1)2(331)2(1)112231231kkkkkrkkkkkk11 分当0k时，2r12 分当0k时，242112(1)2(1)31322rkk又显然24212(1)2132rkk, 所以23r综上，23r14 分20.解： 因为x +=3(,yxy为非零整数故1,2xy或2,1xx，所以点0p的相关点有8 个2分又因为22()()5xy，即221010()()5xxyy所以这些可能值对应的点在

18、以0p为圆心，5为半径的圆上 4分依题意(,)nnnp x y与000(,)p x y重合则1-12211000()().()()nnnnnxxxxxxxxxxx，1-12211000()().()()nnnnnyyyyyyyyyyy即1-122110()+()+.+()+()=0nnnnxxxxxxxx，1-122110()+()+.+()+()=0nnnnyyyyyyyy两式相加得1112-121010()+()+()+()+.+()+()=0nnnnnnnnxxyyxxyyxxyy* 因为11,3(1,2,3,., )ziiiiiix yxxyyin，故11()+()( =1,2,3,., )iiiixxyyin为奇数，于是 *的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n一定为偶数 8 分令11,