因式分解经典题及解析

1、. . 2013组卷1在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法例如，如果要因式分解 x2+2x3 时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x3=x2+2 x 1+121 3 =（x+1）222=解决下列问题：（1）填空： 在上述材料中，运用了_的思想方法， 使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x3；（3）请用上述方法因式分解x24x52请看下面的问题：把

2、x4+4 分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19 世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（ 22）2的形式， 要使用公式就必须添一项4x2， 随即将此项4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+44x2= （x2+2）24x2=（x2+2）2（ 2x）2=（x2+2x+2） （ x22x+2）人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法， 就把它叫做 “ 热门定理 ” ， 请你依照苏菲 ?热门的做法，将下列各式因式分解（1）x4+4y4； （2）x22axb22ab3下面是某同学对多项式（x24x+2） （x24x+6） +4 进行因

3、式分解的过程解：设 x24x=y 原式 =（y+2） （y+6）+4（第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_a、提取公因式b平方差公式c、两数和的完全平方公式d两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_ （填 “ 彻底 ” 或“ 不彻底 ” ）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2 2x） （x2 2x+2）+1 进行因式分解4找出能使二次三项式x2+ax6 可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解5利用因式

4、分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4 的倍数. . 6已知关于x 的多项式3x2+x+m 因式分解以后有一个因式为（3x2） ，试求 m 的值并将多项式因式分解7已知多项式（a2+ka+25） b2，在给定k 的值的条件下可以因式分解请给定一个k 值并写出因式分解的过程8先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10 的值恒大于0 还是恒等于0 或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解： 2x2+8x+10 =2（ x2+4x+5） （提公因式，得到一个二次项系数为1 的二次多项式）=2（ x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1（将二次

5、多项式配方）=2（ x+2）2+2 （去掉中括号）因为当 x 取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2 的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x= 2 时，原式有最小值2请仿照上例，说明代数式2x28x10 的值恒大于0 还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么9老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式10在对某二次三项式进行因

6、式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x 1）（x9） ，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x2） （x4） ，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解11观察李强同学把多项式（x2+6x+10） （ x2+6x+8 ）+1 分解因式的过程：解：设 x2+6x=y ，则原式 =（y+10） （y+8）+1 =y2+18y+81 =（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_（2）仿照上题解法，分解因式：（ x2+4x+1） （x2+4x3）+412 （1）写一个多项式， 再把它分解因式 （要求：

7、多项式含有字母m 和 n，系数、 次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x （x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x （x+1）=（1+x）2（1+x） . . =（1+x）3 上述分解因式的方法是_，由 到 这一步的根据是_； 若分解 1+x+x （x+1） +x（x+1）2+ +x（x+1）2006，结果是_； 分解因式： 1+x+x （x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 为正整数）13阅读下面的材料并完成填空：因为（ x+a） （x+b）=x2+（ a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1 的二次三

8、项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q 分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足 a b=a+b=p，则有x2+px+q= （x+a） （ x+b） 如分解因式x2+5x+6 解：因为2 3=6，2+3=5，所以 x2+5x+6= （x+2） （x+3） 再如分解因式x2 5x6解：因为 6 1= 6， 6+1=5，所以 x25x6=（x6） （x+1） 同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看因式分解：（ 1）x2+7x+12； （2）x2 7x+12； （3）x2+4x12； （4）x2 x12答案1请看下面的问题：把x4+4 分解因式分析：这个二项

9、式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19 世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（ 22）2的形式， 要使用公式就必须添一项4x2， 随即将此项4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+44x2= （x2+2）24x2=（x2+2）2（ 2x）2=（x2+2x+2） （ x22x+2）人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法， 就把它叫做 “ 热门定理 ” ， 请你依照苏菲 ?热门的做法，将下列各式因式分解（1）x4+4y4； （2）x22axb22ab考点 ： 因 式分解 -运用公式法专题 ： 阅 读型分析：这 是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题

10、才可以尝试做以下题目解答：解 ： （1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2 4x2y2，=（x2+2y2）24x2y2，=（x2+2y2+2xy ） （ x2+2y22xy） ；（ 2）x22axb2 2ab，=x22ax+a2a2b22ab，=（xa）2（ a+b）2，=（xa+a+b） （ xaa b） ，=（x+b） （x 2ab） 点评：本 题考查了添项法因式分解，难度比较大. . 2下面是某同学对多项式（x24x+2） （x24x+6） +4 进行因式分解的过程解：设 x24x=y 原式 =（y+2） （y+6）+4（第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）

11、=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的ca、提取公因式b平方差公式c、两数和的完全平方公式d两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底 （填 “ 彻底 ” 或“ 不彻底 ” ）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x2）4（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2 2x） （x2 2x+2）+1 进行因式分解考点 ： 提 公因式法与公式法的综合运用专题 ： 阅 读型分析：（ 1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（ 2）x24x+4 还可以分解，所以是不彻底（ 3）按照例题的分解方法进行分解即可解答：解 ： （

12、1）运用了c，两数和的完全平方公式；（ 2）x24x+4 还可以分解，分解不彻底；（ 3）设 x22x=y（ x22x） （ x22x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x22x+1）2，=（x1）4点评：本 题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等3找出能使二次三项式x2+ax6 可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解考点 ： 因 式分解 -十字相乘法等分析：根 据十字相乘法的分解方法和特点可知：a 是 6 的两个因数的和，则6 可分成 3（ 2） ， 3 2，6 （ 1） ， 6 1，共

13、4 种，所以将x2+ax6 分解因式后有4 种情况解答：解 ：x2+x6=（ x+3） （x2） ；x2 x6=（x3） （x+2） ；x2+5x6=（x+6） （x1） ；x2 5x6=（x6） （x+1） . . 点评：本 题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数6 的不同分解是本题的难点4利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4 的倍数考点 ： 因 式分解的应用分析：根 据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论解答：解 ：设两个连续偶数为2n， 2n+2，则有（ 2n+2）2

14、（ 2n）2，=（2n+2+2n） （2n+22n） ，=（4n+2） 2，=4（2n+1） ，因为 n 为整数，所以 4（2n+1）中的 2n+1 是正奇数，所以 4（2n+1）是 4 的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4 整除点评：本 题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单5已知关于x 的多项式3x2+x+m 因式分解以后有一个因式为（3x2） ，试求 m 的值并将多项式因式分解考点 ： 因 式分解的意义分析：由于 x 的多项式3x2+x+m 分解因式后有一个因式是3x 2， 所以当 x=时多项式的值为 0，由此得到

15、关于m 的方程，解方程即可求出m 的值，再把m 的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案解答：解 ： x 的多项式3x2+x+m 分解因式后有一个因式是3x 2，当 x=时多项式的值为0，即 3=0， 2+m=0， m=2； 3x2+x+m=3x2+x 2=（x+1） （3x2） ；故答案为： m=2， （x+1） （3x2） 点评：本 题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解6已知多项式（a2+ka+25） b2，在给定k 的值的条件下可以因式分解请给定一个k 值并写出因式分解的过程考点 ： 因 式分解 -运用公式法. . 专题 ： 开 放型分

16、析：根 据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可解答：解 ：k= 10，假设 k=10，则有（ a2+10a+25） b2=（a+5）2b2=（a+5+b） （a+5b） 点评：此 题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键7先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10 的值恒大于0 还是恒等于0 或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解： 2x2+8x+10 =2（ x2+4x+5） （提公因式，得到一个二次项系数为1 的二次多项式）=2（ x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1（将二次多项式配方）

17、=2（ x+2）2+2 （去掉中括号）因为当 x 取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2 的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x= 2 时，原式有最小值2请仿照上例，说明代数式 2x28x10 的值恒大于0 还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么考点 ： 配 方法的应用；非负数的性质：偶次方分析：按 照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案解答：解 ： 2x2 8x10 =2（x2+4x+5）=2（x2+4x+22 22+5）=2（x+2）2+1=2（x+2）2 2 因为当 x 取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，

18、那么2（ x+2）22的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=2 时，原式有最大值2点评：此 题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用注意解此题的关键是将原代数式准确配方8老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式考点 ： 提 公因式法与公式法的综合运用专题 ： 开 放型分析：能 用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2 倍解

19、答：解 ：由题意知，可以理解为：. . 甲：这是一个关于x 三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为x3；丙：这个多项式的各项有公因式x；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法故多项式可以为x（x1）2=x（x22x+1）=x32x2+x点评：本 题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式答案不唯一9在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x 1）（x9） ，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x2） （x4） ，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解考点 ： 因 式分解的应用分析：此 题可以先将两个分解过的式

20、子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可解答：解 ：2（ x1） （ x9）=2x220 x+18，2（x2） （x4）=2x2 12x+16；由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x212x+18；再对其进行因式分解：2x212x+18=2（ x3）2点评：本 题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待10观察李强同学把多项式（x2+6x+10 ） （x2+6x+8）+1 分解因式的过程：解：设 x2+6x=y ，则原式 =（y+10） （y+8）+1 =y2+18y+81 =（y+9）2=（x2+6x+9）2（1

21、）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4（2）仿照上题解法，分解因式：（ x2+4x+1） （x2+4x3）+4考点 ： 因 式分解 -十字相乘法等专题 ： 换 元法分析：（ 1）根据 x2+6x+9= （x+3）2，进而分解因式得出答案即可；（ 2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可解答：解 ： （1）这位同学的因式分解不彻底，原式 =（ y+10） （y+8） +1 =y2+18y+81 =（y+9）2=（x2+6x+9）2=（x+3）4故答案为：（x+3）4；（ 2）设 x2+4x=y ，则. . 原式 =（ y+1） （y3

22、） +4 =y22y+1 =（y1）2=（x2+4x1）2点评：此 题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键11 （1）写一个多项式， 再把它分解因式 （要求： 多项式含有字母m 和 n，系数、 次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x （x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x （x+1）=（1+x）2（1+x） =（1+x）3 上述分解因式的方法是提公因式法分解因式， 由 到 这一步的根据是同底数幂的乘法法则； 若分解 1+x+x （x+1） +x（x+1）2+ +x（x+1）2006，结果是（1+x）2007； 分解因式： 1+x+x （x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 为正整数）考点 ： 因 式分解 -提公因式法分析：（ 1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；（ 2）首先通过分解因式，可发现 中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案解答：解 ： （1）m3mn2=m（m2n2）=m