复变函数习题答案第3章习题详解

1、第三章习题详解1沿下列路线计算积分idzz302。1)自原点至i3的直线段；解：连接自原点至i3的直线段的参数方程为：tiz310tdtidz31031033233023313313itidttidzzi2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：tz10tdtdz330330230233131tdttdzz连接自3铅直向上至i3的参数方程为：itz310tidtdz331031023323313313313iitidtitdzzi33331023023023313313313313iiidtitdttdzzi3)自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至i

2、3。解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：itz10tidtdz3103102023131iitidtitdzzi连接自i沿水平方向向右至i3的参数方程为：itz10tdtdz33103102323113131iiitdtitdzzii333332023021313113131iiiidzzdzzdzziiii2分别沿xy与2xy算出积分idziyx102的值。解：xyixxiyx22dxidz1iixixidxixxidziyxi2131121311110231021022xy22221xiixxiyxdxxidz2110104321022131142311211iixixidxxixidz

3、iyxi而iiiii656121213131213113设zf在单连通域b内处处解析，c为b内任何一条正向简单闭曲线。问0cdzzfre，0cdzzfim是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解：不成立。例如：zzf，iezc：，0iiddzzfcsincoscosre20sincossinimiddzzfc204利用在单位圆上zz1的性质，及柯西积分公式说明idzzc2，其中c为正向单位圆周1z。解：011zzzifdzzdzzcc202015计算积分cdzzz的值，其中c为正向圆周：1)2z；解：在2z上，iez2iiidededzzziic4222222020202)4z解

4、：在4z上，iez4iiidededzzziic8444442020206试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？c是正向的圆周1z。1)czdz2解：21zzf在c内解析，根据柯西古萨定理，02czdz2)czzdz422解：2221421zzzzf在c内解析，根据柯西古萨定理，0422czzdz3)czdzcos解：zzfcos1在c内解析，根据柯西古萨定理，0czdzcos4)czdz21解：1zf在c内解析，210z在c内，iifzdzc2212215)czdzze解：zzezf在c内解析，根据柯西古萨定理，0czdzze6)czizdz22解：21zzf在c内解析，2

5、0iz在c内，22122222iiiifzizdzc7沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)czdzze2，c：12z解：2z在c内，zezf在c解析，根据柯西积分公式：222iedzzecz2)cazdz22，c：aaz解：az在c内，azzf1在c解析，根据柯西积分公式：idzazazazdzcc222213)cizdzze12，c：232iz解：iz在c内，izezfiz在c解析，根据柯西积分公式：cizcizedzizizedzze124)cdzzz3，c：2z解：3z不在c内，3zzzf在c解析，根据柯西古萨定理：03cdzzz5)czzdz1132，c：1rz解：11132zzzf在

6、c解析，根据柯西古萨定理：01132czzdz6)czdzz cos3，c：为包围0z的闭曲线解：zzzfcos3在c解析，根据柯西古萨定理：03czdzz cos7)czzdz4122，c：23z解：iz在c内，412zizzf在c解析，根据柯西积分公式：czzdz41228)cdzzzsin，c：1z解：0z在c内，zzfsin在c解析，根据柯西积分公式：002sinsinidzzzc9)cdzzz22sin，c：2z解：2z在c内，zzfsin在c解析，根据高阶导数公式：02222sinsinidzzzc10)czdzze5，c：1z解：0z在c内，zezf在c解析，根据高阶导数公式：!

7、4204245ifidzzecz8计算下列各题：1)iizdze32解：02121263232iiiiziizeeedze2)063izdzch；解：3203133130606iishzshzdzchii3)iizdz2sin；解：222412212212shiizidzzzdziiiiiisincossin4)10zdzzsin；解：1010101011sincoscoscoscossinzdzzzzzdzdzz5)izdzeiz0；解：iiiizizizizieeeidzeeizdeizdzeiz100006)idzztgz121cos（沿1到i的直线段）。解：12112121112212

8、112tgtgitgtgiztgtgzdtgztgzdzztgziiicos9计算下列积分：1)cdzizz2314， （其中c：4z为正向）；解：iidzizdzzdzizzccc14342231423142)cdzzi122， （其中c：61z为正向）；解：0222222122izizcccciziiziidzizizidzizizidzizizidzzi3)213cccdzzzcos， （其中1c：2z为正向，2c：3z为负向）；解：3zzzfcos在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213cccdzzzcos4)cizdz，c：1z（其中c为以21，i56为顶点的正向菱形） ；解：

9、在所给区域内，izzf1有一孤立奇点，由柯西积分公式：iizdzc25)czdzaze3， （其中a为1a的任何复数，c：1z为正向）。解：当az，3azezfz在所给区域内解析，根据柯西古萨基本定理：03czdzaze当az，zezf在所给区域内解析，根据高阶导数公式：ieeidzazeaacz! 22310 证明：当c为任何不通过原点的简单闭曲线时，012cdzz。证明：当c所围成的区域不含原点时，根据柯西古萨基本定理：012cdzz；当c所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：00212ifdzzc；11 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？

10、1)2zdzzz2)4zdzzz解： 1）0222202dieeedzzziiiz；2）0444204dieeedzzziiiz由此可见， 1）和 2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为zzzf在复平面上处处不解析。12 设区域d为右半平面，z为d内圆周1z上的任意一点，用在d内的任意一条曲线c连接原点与z，证明41102zdre。提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1z到z的曲线作为c。证明：因为211f在d内解析，故积分zd0211与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1z到z的曲线作为c，则：021002102021111111deiearctgxde

11、edxxdiiiiz002414dideeiiisec41102zdre13 设1c和2c为相交于m、n两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1b与2b。1b与2b的公共部分为b。 如果zf在bb1与bb2内解析，在1c、2c上也解析，证明：21ccdzzfdzzf。证明：如图所示，zf在bb1与bb2内解析，在1c、2c上也解析，由柯西古萨基本定理有：01nnompdzzf02mmrnpdzzfmmrnpnnompdzzfdzzf21mnpmrnnmpnomdzzfdzzfdzzfdzzf21nmpmrnmnpnomdzzfdzzfdzzfdzzf12mnpmrnnmpnomdzzfdzzf

12、dzzfdzzf1212ccdzzfdzzf14 设c为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟c的不同位置，计算积分cdzzz22的值。解：分四种情况讨论：1）如果与都在c的外部，则22zzzf在c内解析，柯西古萨基本定理有022cdzzz2）如果与都在c的内部，由柯西积分公式有iidzzzzdzzzzdzzzccc22223）如果在c的内部，都在c的外部，则zzzf在c内解析，由柯西积分公式有iidzzzzdzzzcc2224）如果在c的外部，都在c的内部，则zzzf在c内解析，由柯西积分公式有iidzzzzdzzzcc22215 设1c与2c为两条互不包含，也不相交的正向

13、简单闭曲线，证明内时。在，当内时，在，当20010200022121czzczzdzzzzdzzzziccsinsin证明： 因为1c与2c为两条互不包含，也不相交， 故1c与2c只有相离的位置关系，如图所所示。1）当0z在1c内时，0zzzzfsin在2c内解析，根据柯西古萨基本定理以及柯西积分公式：202002022121021zizidzzzzdzzzzizzccsin2）当0z在2c内时，02zzzzf在1c内解析，根据柯西古萨基本定理以及柯西积分公式：0002021202121zziidzzzzdzzzzizzccsinsinsin内时。在，当内时，在，当20010200022121

14、czzczzdzzzzdzzzziccsinsin16 设函数zf在10z内解析，且沿任何圆周c：rz，10r的积分等于零，问zf是否必需在0z处解析？试举例说明之。解：不一定。例如：21zzf在0z处不解析，但0112rzdzz。17 设zf与zg在区域d内处处解析，c为d内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于d。如果zgzf在c上所有的点处成立，试证在c内所有的点处zgzf也成立。证明：设z是c内任意一点，因为zf与zg在c及c内解析，由柯西积分公式有：cdzfizf21，cdzgizg21又gf在c上所有的点处成立，故有：ccdzgdzf即zgzf在c内所有的点处成立。18 设区域d是圆

15、环域，zf在d内解析， 以圆环的中心为中心作正向圆周1k与2k，2k包含1k，0z为1k，2k之间任一点，试证14.3仍成立，但c要换成21kk。证明：19 设zf在单连通域b内处处解析，且不为零，c为b内任何一条简单闭曲线。问积分cdzzfzf是否等于零？为什么？解：因为zf在单连通域b内处处解析且不为零，又解析函数zf的导数zf仍然是解析函数，故zfzf在b内处处解析。根据柯西古萨基本定理，有0cdzzfzf20 试说明柯西古萨基本定理中的c为什么可以不是简单闭曲线？解：如c不是简单闭曲线，将c分为几个简单闭曲线的和。如21ccc，则1c，2c是简单闭曲线。00021cccdzzfdzzf

16、dzzf21 设zf在区域d内解析，c为d内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对d内但不在c上的任意一点0z，等式ccdzzzzfdzzzzf200成立。证明：分两种情况：1）如果0z在c的外部，0zzzf和0zzzf在c内解析，故0200ccdzzzzfdzzzzf2）如果0z在c的内部，在c内解析的函数zf，其导函数zf仍是c内的解析函数，根据柯西积分公式有：00220zifzifdzzzzfzzc由高阶导数公式有：020220zifzifdzzzzfzzcccdzzzzfdzzzzf20022 如 果yx,和yx,都 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 适 合 拉 普 拉 斯 方

17、 程 ， 而xys，yxt，那末its是iyx的解析函数。证明：xysxxyxxs，xyyyysyxtyxxxxt，yyxyyt又yx,和yx,都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即xyyx，yxxy。yx,和yx,满足拉普拉斯方程：0yyxx，0yyxxytxsxxyx，xtysxyyy故its是iyx的解析函数。23 设u为区域d内的调和函数及yuixuf，问f是不是d内的解析函数？为什么？解：设itsf，则xus，yut22xuxuxxs，xyuxuyys2yxuyuxxt2，22yuyuyyt因为u为区域d内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程ytxs，xtysf是d内的

18、解析函数。24 函数yxv是yxv的共轭调和函数吗？为什么？解：1xu，1yu，1xv，1yvyvxu，xvyu故函数yxv不是yxv的共轭调和函数。25 设u和v都是调和函数，如果v是u的共轭调和函数，那末u也是v的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？解：这句话不对。如果v是u的共轭调和函数，则ivuzf是解析函数，满足柯西黎曼方程：yvxu，xvyuyuyuxv，xuxuyv即u是v的共轭调和函数，u就不是v的共轭调和函数。26 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。证明：27 如果ivuzf是一解析函数，试证：1)zfi也是解析函数；证明：2)u是v的共轭调和函数；证明：3)22222

19、222244zfvuyzfxzfxx。证明：28 证明；22yxu和22yxyv都是调和函数，但是ivu不是解析函数。证明29 求具有下列形式的所有调和函数u：1)byaxfu，a与b为常数；解：2)xyfu。 提示： 1)l 令byaxt，因0yyxxuu，从而有0tf；2)令xyt。 解：30 由下列各已知调和函数求解析函数ivuzf。1)224yxyxyxu；解：2)22yxyv，02f；解：3)yxu12，if 2；解：4)xyarctgv，0 x。解：31 设yevpxsin，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数ivuzf。解：32 如果yxu,是区域d内的调和函数，c为d内以0z为中心的任何一个正向圆周：rzz0，它的内部全含于d。试证： 提示：利用平均值公式353.。 1)yxu,在00yx ,的值等于yxu,在圆周