杆件的变形与刚度

1、第 4 章 杆件的变形与刚度判断1、“ 杆件在拉伸变形后，横向尺寸会缩短，是因为杆内有横向应力存在。“ 2、“ 虎克定律适用于弹性变形范围内。“3、“ 拉压变形时杆件的横向变形和轴向应变 之间的关系为 ”4、“ 平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 5、“ 由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比 ”6、“ 只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 7、“ 两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同” 8、“ 梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。”

2、9、“ 最大挠度处的截面转角一定为0” 10、“ 最大弯矩处的挠度也一定是最大” 11、“ 梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 12、“ 只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求 ” 13、“ 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关” 14、“ 一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同” 选择1、均匀拉伸的板条表面上画两个正方形，如图所示。 受力后会成形状。a：a正方形、 b 正方形；b：a正方形、 b 菱形；

3、 c：a矩形、 b 菱形d：a矩形、 b 正方形2、受轴向拉伸的圆截面杆件的横截面上画两个圆，拉伸后会变成什么形状？a：a 圆、b 圆；b：a圆、b 椭圆；c：a 椭圆、 b 圆；d：a椭圆、 b 椭圆；3、低碳钢圆截面在拉伸破坏时，标距由 100 毫米变成 130 毫米。直径由 10 毫米变为 7 毫米，则 poissons ratio(泊松比 ) 为：a：=(10 -7)/(130-100)=0.1 b：=/ = -0.3/0.3=-1 c：=| / |=1 d：以上答案都错。4、钢材的弹性模量e200gpa ，比例极限 p=200mpa，轴向线应变 =0.0015 ，则横截面上的正应力=

4、 。a： e 300mpa；b：300mpa ；c：200mpa 300mpa ；d：2；c：1| 右| c：| 左|(b) b：(a)l2，在力 p 作用下使横梁平行下移，那么两个杆件的横截面a1与 a2的关系如何？4、一圆截面杆受拉伸变形，直径由d 增大到 2d，问：强度、刚度各是原来的几倍？5、泊松比 数值一般在什么范围？若 0，1 ？6、材料的弹性模量为e=200gpa的试件，拉伸到 b 时，在试件的标距内测得纵向应变为 3 10-3,然后卸载到 140mpa。问这时标距内的纵向线应变有多大？7、在节点 a 作用有沿 2 杆方向的集中力 p，方向如图，问（ 1）1、2 杆的受力如何？

5、a 点的位移如何？是否沿杆2 的方向？8、等直杆受均匀拉伸的作用，已知弹性模量为e=200gpa，杆的伸长量为 l 6 毫米。问此杆的塑性伸长量是多少？9、一板形试件，在其表面沿纵、横向贴应变片。试验时，载荷p 增加 3kn 时，测得 1120 106，236 106，求该试件的 e、g、 。10、当 p时 =t/ip, =tl/gip哪一个仍适用？11、一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生剪应变吗？，当受到扭转时，杆内会产生拉应变吗？12、在 xy 坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为v=qx(l3-3lx2+2x3)/48ei。求最大弯矩及最大剪力。梁的两端（x=0、x=l）的约束情况。画

6、出此梁的受力图13、钢制悬臂梁在自由端受到力偶m 后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？14、等截面悬臂梁 ei 已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax3,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。15、高度 h、宽度 b 的梁受力偶 m 的作用，如图（）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（）中的高度为h/2，宽度为 b 的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？16、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶m，使其成为纯弯曲，则由1

7、/ =m/ei 知 为常量，挠曲线应为圆弧。若由y =m(x)/ei积分，将得到y=mx2/2ei，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？17、细长工件，加工完成后会变成什么形状？18、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？19、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为k。20、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。21、 图示中梁的跨度为l， b 处为一刚度为 k 的弹簧，写出挠曲线近似微分方程，写出梁的边界条件。22、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。23、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此

8、项建议是否合理？24、已知梁的挠曲线方程为eiy=-qx5/120l。问(1)在 x=0 和 x=l 两端点处的约束如何？ (2)最大弯矩和最大剪力各是多少？(3)梁上的载荷如何分布？25、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处， 往往采用一种独具风格的斗拱结构。从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。26、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？（ 能、不能）27、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力， 混凝土承受压力， 这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人建议在桥梁的中

9、间部位再加一个桥墩。此方案可行吗？为什么？并请你提出一个可行的方案。答案判断：1. 答案此说法错误答疑杆件内没有横向应力存在， 是由于纵向应力使杆件产生横向变形。2. 答案此说法错误答疑虎克定律适用于线弹性变形范围，当应力超过比例极限后，应力应变关系不再呈线性关系3答案此说法错误答疑当变形处于弹性范围内时，杆件的横向变形和轴向应变 之间的关系为 4. 答案 此说法正确答疑平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。5. 答案 此说法错误答疑 根据挠曲线微分方程y=m(x)/ei 可知，转角与弯矩之间的关系为 m(x)/eidx ，挠度与弯矩之间的关系为v m(x)/eidxdx，不是正比

10、的关系。6. 答案 此说法错误答疑挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。7. 答案 此说法正确答疑 如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y =m(x)/ei可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。8. 答案 此说法正确答疑在分段处梁满足连续性条件。9. 答案 此说法错误答疑 根据挠曲线微分方程y=m(x)/ei，积分分别得到转角方程(x) m(x)/eidx 、挠曲线方程v(x) m(x)/eidxdx，挠曲线的一阶导数为y(x) m(x)/eidx (x) ，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。10. 答案此说法错误答疑 根据挠曲线微分方程y=m

11、(x)/ei说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值， 但挠度不一定是最大的； 例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大11. 答案 此说法正确12. 答案 此说法错误答疑叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。13. 答案此说法错误答疑梁的变形与材料有关。14. 答案此说法错误答疑 截面正放与倒放， 截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同； 但应力与截面的放置方式有关， 正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。选择：1. 答案正确选择： c 答疑正方形 a的左右两对边之间的纵向纤维的原长相等，在均匀拉力作用下伸长量相等； 上下

12、两对边之间的横向纤维尺寸变小，且缩短量相等， 固变形后成为矩形。正方形 b 的任意两条纵向纤维之间的原长不等，受力后的伸长量也不相等，中间纤维的伸长量最大， 向上、向下依次变形量减小， 固变形后成为菱形。2. 答案正确选择： a 答疑横截面上只存在与横截面垂直的正应力且正应力在横截面上均匀分布，沿径向无应力存在。 由于横截面上拉应力的存在使得两圆的半径减小，但形状不变。3. 答案正确选择： d 答疑 的适用范围是线弹性。 此时试件已经被拉伸破坏， 不是在弹性范围内，固此公式不能适用。4. 答案正确选择： c 答疑e 300mpa超过比例极限， 固此时材料的应力应变曲线超过材料的弹性范围，到达屈

13、服阶段。5. 答案正确选择： c 答疑1为纵向线应变， 2为横向线应变。而泊松比横向线应变/纵向线应变 1/3 6. 答案正确选择： b 答疑 拉杆的轴力相同均为p，横截面面积相等，固拉杆的各个横截面上的正应力相等均为 p/a。但拉杆由两种材料制成，材料的弹性模量不相同，固两种材料的变形不同。7. 答案正确选择： c 答疑杆件的 bc 段的轴力为零，固杆件中间截面的铅垂位移等于ab 段的伸长量，而 ab 段的轴力为 p，伸长量为 pa/ea。8. 答案正确选择： d 答疑 斜线代表一斜截面， 斜截面与左侧端面之间的纵向纤维在拉力的作用下将伸长，使得斜线产生位移； 另一方面， 斜截面与左侧端面之

14、间的纵向纤维的伸长量不相等，使得斜线发生转动。9. 答案正确选择： a 答疑在轴向拉力的作用下，横截面上横向尺寸减小。10. 答案正确选择： b 答疑1=l/cos30=nl/ea1/cos30=pl/1.5ea1、2pl/ea2=pl/2ea1, 11. 答案正确选择： c 答疑 单位长度扭转角 m/gip180/ 可知：采用优质钢、增大直径均可以改变 的大小，但是：由于碳钢与合金钢的剪变模量的变化不大，固材料的改变对 的影响不大； 单位长度扭转角 与轴长、表面光洁度无关；固提高扭转刚度的有效措施是：增大圆轴的直径。12. 答案正确选择： b 答疑 受扭后圆轴表面的纵向线倾角即为圆轴在边缘上

15、点的角应变， 所以圆轴的最大剪应力为max=g ；而圆轴的右侧截面相对于左侧截面的相对转角为=l/r, 单位长度扭转角=/l= /r。13. 答案正确选择： a 答疑单位长度扭转角 m/gip180/ ，与杆的长度无关。14. 答案正确选择： b 答疑 剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关， 固在相同扭矩的作用下、 尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。15. 答案正确选择： c、b、a、c 答疑 当悬臂梁的横截面直径为d 时的最大正应力为=m/wz=32m/d3，最大挠度为 v=pl3/3ei=64pl3/3ed4；当梁的直径减少一半其他条件

16、不变时梁的最大正应力为 =m/wz=32m/(d/2)3=832m/d3,固最大正应力是原来的8 倍；此时梁的最大挠度为 v= pl3/3ei=64pl3/3e(d/2)4=16 64pl3/3ed4,最大挠度是原来的16 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2m，抗弯截面系数不变，此时最大正应力是原来的2 倍，此时梁的最大挠度为v=p(2l)3/3ei=8pl3/3ei,固梁的最大挠度是原来的8 倍。16. 答案正确选择： d 答疑 挠曲线的适用范围是线弹性、小变形。如果采用y=m(x)/ei的形式就必须设轴线方向为x 轴，横截面的位移方向为y 轴，固挠曲线在 xoy 平面内

17、。17. 答案正确选择： d 答疑 根据挠曲线曲率与弯矩之间的关系1/ =m(x)/ei可得，挠曲线的曲率与弯矩成正比，在弯矩最大处曲率最大。18. 答案正确选择： b 答疑 在简支梁的中点作用有集中力，梁的最大挠度发生在梁的中间截面处，最大挠度为 pl3/48ei；要减少弯曲变形，可以减少集中力、减少梁的跨度、提高截面的惯性矩、 采用优质钢。 但梁的挠度与梁的跨度的三次方成正比，固减少梁的弯曲变形效果最明显的措施是减少梁的跨度。19. 答案正确选择： b 答疑 =my/iz的适用范围是线弹性，只要梁的变形在线弹性范围内，不论变形的大小该公式均适用；y=m(x)/eiz的适用范围是线弹性、小变

18、形。此时板条已经弯成 1/4 圆，是大变形，不在小变形的范围内，固此公式不适用。20. 答案正确选择： c 答疑 在小变形、材料服从虎克定律的前提下，挠曲线的微分方程是线性的，计算弯矩时用梁在变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系是线性的，这样对于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程的解也可以叠加。21. 答案正确选择： c 答疑增大直径相当于提高截面的惯性矩。22. 答案正确选择： a 答疑 局部增大直径， 可以使该处的最大应力降低， 提高梁的弯曲强度； 由于梁的挠度是在整个梁上的积分，是累积效应，固不能明显地提高梁的弯曲刚度。23. 答案正确选择：d 答疑 跨度为 l 的简支梁在梁的中

19、点受集中力p 作用时，梁中点的挠度为pl3/48ei，跨度为 2l 的简支梁在梁的中点受集中力p 作用时，梁中点的挠度为p(2l)3/48ei=8pl3/48ei。固二者的最大挠度之比为1：8 24. 答案正确选择： d 答疑 作用有均布载荷的梁在中点处的挠度为5ql4/384ei；作用有线性分布的载荷梁的中点处的挠度等于同一梁上作用有2q 的均布载荷的梁的中点挠度的一半，固线性分布载荷的梁在中点挠度的大小为5(2q)l4/384ei 1/2=5ql4/384ei, 固二者在中间截面处的挠度相等。均匀分布载荷的梁在中间截面处的转角为0，而线性分布载荷的梁在中间截面处的转角不为零。25答案正确选

20、择： b 答疑 根据挠曲线微分方程y=m(x)/ei, 整理得到 m(x)=eiy 。将所给定的挠曲线方程求二阶导数得到eiy=q(lx-x2)/2， 固此梁的弯矩方程为m(x)= q(lx-x2)/2。欲使弯矩取得极值需要满足dm/dx=0。求解 dm/dx=0 得到 x=l/2，即在梁的中间截面处弯矩取得极值，大小为m=q(ll/2-(l/2)2)/2=ql2/8。取得极值，大小为m=q(ll/2-(l/2)2)/2=ql2/8。26. 答案正确选择： a 答疑梁的弯矩方程是分段函数，但梁的挠曲线是一条光滑连续曲线，在分段处满足连续性条件。27. 答案正确选择： d 答疑 图 1 中梁的最

21、大应力为 m/w=6pl/bh2,最大挠度为v=pl3/3e (bh3/12)；图 2 中的两梁迭放，相当于两个独立的梁共同承担弯矩pl，有 m1m2pl；两梁的挠曲线有相同的曲率1/ 11/ 2，考虑到曲率与弯矩之间的微分关系1/ 1=m1/ei,1/2=m2/ei，有 m1/eim2/ei。迭放在一起的上下两梁的抗弯刚度 ei 相等，得到两梁承担的弯矩相等， 即有 m1m2pl/2。那么其中一根梁内的最大正应力为 m/w=pl/2/b(h/2)2/6=12pl/bh2,v= pl3/3ei =pl/2/3e(b(h/2)3/12)=4pl3/3e (bh3/12)。固二者的强度、刚度均不同

22、。28. 答案正确选择： a 答疑 完整的正方形截面梁的最大应力为 m/w=6pl/a3，迭放的梁内的最大正应力为 m/w=pl/2/a(a/2)2/6=12pl/a3。 固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的 2 倍。29. 答案正确选择： b 答疑 二者的支座反力相同；简支梁的中点作用有集中力时梁的最大挠度v=pl3/48ei,最大转角为 pl2/16ei，固二梁的最大挠度、最大转角均相同；二梁的最大弯矩相同， 根据弯曲正应力与弯矩之间的关系 m/w ，由于抗弯刚度相同，材料不同，固截面的惯性矩不同，抗弯截面系数也不同，所以最大正应力不同。30. 答案正确选择： b 答疑 正常情况下的最大挠

23、度为v=fl3/3ei，a 方案的最大挠度为va=f (l/2)3/3e i/8= fl3/3ei=v；b 方案的最大挠度为vb=f (3l/4)3/3e i/2= 27/32 fl3/3ei=27/32v；c 方案的最大挠度为vc=f (5l/4)3/3e 3i/2= 125/96 fl3/3ei=125/96v；d 方案的最大挠度为vd=f (3l/2)3/3e i/4=27/2fl3/3ei=27/2v；另外：一般情况下通过减小梁的跨度、 增大截面惯性矩等办法来提高梁的弯曲刚度，固可直接判断得c、d 方案不合理。31. 答案正确选择： b 答疑将截面倒置后，截面对中性轴的惯性矩没有改变，

24、固刚度不变；但强度与截面的放置方式有关；此梁承受负弯矩，产生上拉下压的正应力，正放时，中性轴距离受拉一侧较近，最大拉应力较小，倒置时，中性轴距离受拉一侧较远，最大拉应力的数值较大，强度降低。32. 答案正确选择： c 答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。填空：1. 答案在距端截面的距离大于横向尺寸的答疑根据圣维南原理，在离开杆端一定距离(大于杆件横向尺寸的范围 )之外，横截面上各点的应力才是均匀的。2. 答案2pl/ea 0 答疑 bc 段的轴力为 0，固 bc 段的变形为零。 ab 段与 cd 段的轴力均为p， 杆长及横截面面积相等，此二段的变形相

25、同，均为pl/ea。杆件的总变形ab 段变形 bc 段变形 cd 段变形 2pl/ea。3. 答案位移应力纵向线应变纵向变形1 点0 p/a p/ea ab 段bc 段2 点3pl/4ea p/a p/ea pl/ea 0 3 点pl/ea 0 0 答疑 点 1 位于固定端处， 不会产生位移； 点 2 的位移等于 1、2 段的伸长量；点 3 的位移等于 ac 段的伸长量，但是 bc 段没有内力，不产生变形，固点3 的位移等于 ab 段的伸长量。点 1、点 2 两处横截面的内力大小为p，横截面面积为 a，固此二处应力大小为p/a；点 3 所在的横截面的内力为0，固应力为 0。1、2 两点处存在正

26、应力，产生轴向线应变，大小/e p/ea；点 3 所在的截面没有应力存在，不产生轴向线应变。ab 段存在轴力， 产生变形；bc 段的轴力为零，不产生变形。4. 答案100/210 、210/100 答疑 纵向线应变 =/e。在正应力相等的条件下，纵向线应变的比与材料的弹性模量成反比； 在纵向线应变相同的条件下， 正应力的比与材料的弹性模量成正比。5. 答案正确选择： a 答疑图示采用半桥接线，应变仪的读数为 12，而 1沿外载的方向，为纵向线应变； 2与 1的方向垂直，为外载的横向线应变，满足关系2u1。代入后得到 12(1+u) 1。6. 答案2.0 103答疑 当试件横截面上的正应力 30

27、0mpa时，杆件的弹性应变为/e=1.5 103,此时总的线应变为3.5 103，固试件产生的塑性应变为3.5 1031.5 1032.0 103。由于塑性变形不可恢复， 即使外载卸掉， 横截面上的应力0，塑性变形仍然保留下来，固试件的塑性应变为2.0 103。7. 答案刚度是原来的 16 倍答疑 实心圆轴的单位长度扭转角 m/gip180/ 32m/g d4180/ ，若将直径增大一倍， m/gip180/ =32m/g(2d)4180/ /168. 答案c 截面相对于 a 截面的扭转角为0； 整个轴内的最大剪应力为max= 16m/d3. 答疑 由于 ab、bc 段的内力大小相等、符号相反

28、，杆长相同，固c 截面相对于 a 截面的扭转角为=ml/gip=ma/gip-ma/gip=0；轴内的最大剪应力max=m/wt=16m/d3。9. 答案e=200.48gpa ；g=81.57gpa ；=0.2288 答疑 在标距为 20 厘米的长度内伸长了0.122毫米,根据拉伸变形的虎克定律l=nl/ea 有 0.122=60 10002010/(e d2/4),得到： e=200.48gpa ；相距 15 厘米的两横截面相对扭转了0.55 度, 根据扭转变形的两截面间的相对转角=ml/gip有：0.55=200 0.15/gip180/ ，得到： g=81.57gpa；各向同向材料之间

29、满足 g=e/2(1+)，固泊松比 =0.2288 10. 答案抗扭刚度相等即 g1ip1= g2ip2答疑 轴与套筒的扭转角相同1=2而 1=m1l/g1ip1、 2=m2l/g2ip2,所以有：m1l/g1ip1m2l/g2ip2。 固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即g1ip1= g2ip211. 答案线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。答疑 在线弹性、小变形的条件下， 挠曲线微分方程是线性的； 在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。12. 答案应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的

30、影响可以略去不计答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角dv/dx，近似认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角dv/dx 非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；13. 答案d=fa2/2ei、fc=-5pa3/6ei 答疑整个梁在变形后的挠曲线形状为：梁在 bc 段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到b、c 两处的约束反力均为零， bc 段的内力为零， 固在 bc 段上梁不发生弯曲， 只是绕 b 点转动一个角度 b，通过几何关系得到tg b=fc/bc=fc/a,整理得到 fc=a tg b，在小变形的情况下有 tg bb，得到 fc=a b=-5pa3/6ei。由于

31、 c 处的约束反力为零，所以cd 段的弯矩为零， cd 段也不产生弯曲，只是由于 ad 段的弯曲变形带动cd 段产生沿 ad 段的 d 截面切线方向的位移。 通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tg d=(fc-fd)/a 在小变形的情况下有 dtg d= fa2/2ei,方向为瞬时针方向。14. 答案挠曲线方程为 eiy =m-p(2l-x)；转角等于零的截面位于x=0、x=l/2；答疑 横截面的弯矩方程为m(x)=m-p(2l-x) ；当 m3pl/2 时,弯矩方程为m(x)=px-pl/2, 代入挠曲线微分方程得到： eiy =px-pl/2, 积分一次得到转角方程为 eiy=px

32、2/2-plx/2，令转角 y 0，得到 x=0、x=l/2。15. 答案5ql4/384ei 答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为2q 的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固中点的挠度为f=5 2q l4/384ei 1/2= 5ql4/384ei。16. 答案yc=ab =fl2a/16ei 答疑挠曲线的大致形状为：根据几何关系得到： tg b=yc/bc yc=bc tg b=a tg bab= fl2a/16ei。17. 答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为p，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯

33、矩相等均为pl，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。 虽然两梁的弯矩方程相同， 挠曲线微分方程相同， 但积分后的边界条件不同，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。18. 答案fc（nc,p）=nc/k 答疑协调方程为：梁在c 处的挠度等于弹簧的变形。19. 答案以 a 为原点，向右为 x 轴正方向边界条件x=0 y1=0, y1=0 ；x=3a y2=0 连续性条件x=2a y1=y2答疑 a 处为固定端约束处，挠度为零，转角为零；d 处为活动铰支，挠度为零； c 处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。20. 答案m1/m2=1/2 答疑 设左端有向上的约束反力r，根据

34、静力平衡得到r（m2-m1）/l。取梁的左端为原点，向右为x 轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：m(x)=rx+m1=（m2-m1）x/l+m1。由数学知识得到要使得a 点成为挠曲线的拐点，在点 a 处有 y=0；根挠曲线微分方程y=m(x)/ei可得在点 a 处有 m(x)0，整理得到 m1/m21/2 21. 答案y1max/y2max=1:16 答疑 跨度为 l 承受均布载荷 q 的简支梁在中间截面处的挠度为5ql4/384ei。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为5ql4/384ei,右图中的梁的最大挠度为5q(2l)4/384ei。固左右两梁的最大挠度之比为1:16 22. 答案

35、最大挠度之比为1：7 答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程m(x)相同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微分方程eiy=m(x)可知：e1y1 = e2y2,将 e17e2代入得到 7y1 = y2。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到 y1/y2=1:7 23. 答案m1/m2=5/21 答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径 ，根据曲率与弯矩之间的关系1/ =m(x)/ei, 有 1/ =m1(x)/e1i1=m2(x)/e2i2，各截面的惯性矩为i1=10th3/12、i2=2th3/12,从而得到 m1/10e1=m2/2e2,代入弹性模量后得到： m1

36、/10 10=m2/2 210,整理得到 21m1=5m2，所以m1/m2=5/21 24. 答案1：4 答疑 跨度为 l 的悬臂梁在自由端承受集中力p 时的最大挠度为 pl3/3ei，固上图的最大挠度为2pl3/3ei，下图中的悬臂梁的最大挠度为p(2l)3/3ei=8pl3/3ei，固二者的最大挠度之比为1：4。25. 答案 、向上答疑 在简支梁上作用有集中力p 时梁的中间截面处的挠度为 。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力p 和向上的集中力 2p。又由于简支梁的左右对称性可以得到： 在力 p的单独作用下 c 截面的挠度为 、 方向向下；在 2p 的单独作用下 c 截面的挠

37、度为 2 、方向向上；叠加后得到c 截面的挠度为 、方向向上。26. 答案边界条件：x1=0 y1=0；x1=l/2 y1=0；x2=l/2 y2=0；连续性条件： x1=x2=l/2 y1=y2 ；答疑在固定铰支处挠度为零；左右两段梁在活动铰支处的挠度均为零；在活动铰支处27. 答案yb=p/2k 答疑 通过受力分析得到 b 处弹簧受力为 p/2，弹簧的变形为 p/2k。梁与弹簧接触，固梁在 b 处的挠度等于弹簧的变形，所以有yb= p/2k。28. 答案 8ei/ ql2答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为ql2/8，根据曲率与弯矩之间的关系1/ =m(x)/ei 有 1/ = ql2/8/e

38、iql2/8ei，从而得到中性层处的曲率半径为 8ei/ ql2。29. 答案边界条件： x=0 y1=0 y1=0 x=3a y3=0 连续条件x=a y1=y2 y1=y2 x=2a y2=y3 答疑在左端固定端处， 挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零；在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。30. 答案b 梁；max=p2l/wz=6p2l/bh2答疑 b 梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，b 梁的内力大，固b梁的应力较大；最大应力为 max=m/wz=p2l/wz=6p2l/bh231. 答案 边界条件： x=0 y=0 y =0 x=2a y

39、 =0 x=3a y =0 连续条件x=a y左=y右答疑 固定端处挠度、 转角均为零； 中间铰处左右两侧的挠度相等；活动铰支处挠度为简述：1. 答案线弹性范围内（应力不超过材料的比例极限）答疑在线弹性范围内，应力应变之间呈线性关系；当应力超过比例极限后，应力应变之间呈非线性关系。2. 答案答疑 在图 a中，杆 1 受拉，在轴力的作用下伸长，在杆1 伸长后的端点处作杆 1 的轴线的垂线；杆2 的轴力为零，不产生变形，只是绕b 点转动，过 a 点作杆 2 轴线的垂线，两条垂线的交点就是节点a 在变形后的新位置。图中，通过受力分析，得知1、2 两杆的轴力相等， 1 杆受拉， 2 杆受压，在两杆的抗

40、拉压刚度相等的条件下， 两杆的变形量相等。假想地在节点a 处拆开，1 杆伸长 l，2 杆缩短 l。在变形后的杆件的端点处分别作杆件的轴线的垂线，两条垂线的交点就是变形后节点a 的新位置。3. 答案a1a2且 a1/a2= l1/l2答疑杆 1、2 离开力 p 的作用点的距离相等，由静力平衡知，两杆的受力相等。使横梁平行下移的条件是两杆的伸长量相等l1=l2。而 l1=nl1/e1a1 l2=nl2/e2a2。固得知： l1/a1l2/a2。4. 答案4 倍、4 倍答疑 拉压变形下，强度与横截面面积成反比，直径是原来的2 倍，横截面面积是原来的 4 倍，应力是原来的 1/4。刚度与横截面面积成反

41、比，变形量是原来的 1/4。固强度、刚度各是原来的4 倍。5. 答案 0.1 0.5;如果 0，没有横向变形，只有轴向变形；如果1出现，此时横向线应变比纵向线应变大。6. 答案标距内的纵向线应变 =2.5 103答疑 拉伸到 b 点时，已经超过了材料的线弹性范围，出现塑性变形。此时的线应变 3 10-3中，一部分是弹性变形，弹性变形的线应变240/200 10-3=1.2 10-3,另一部分是塑性变形，塑性变形的线应变3 10-31.2 10-31.8 10-3；当卸载到 140 mpa时，弹性线应变一部分恢复，此时弹性线应变的大小 140/200 10-3=0.7 10-3，此时虽然卸载，但

42、是在拉伸到b 点时的塑性变形已经不可恢复。固卸载到140 mpa时的线应变此时的弹性线应变0.7 10-3残余线应变 1.8 10-32.5 103。7. 答案杆 1 的轴力 n10、杆 2 的轴力 n2p；a 点的位移不沿 2 杆的方向。答疑 1、2杆均为二力杆，在节点a 处形成汇交力系，力p与 2 杆共线，固n10、n2p。杆 2 伸长，在变形后的端点作杆2 的轴线的垂线； 1杆只绕 b点转动，过点 a 作 1 杆的轴线的垂线，两条垂线的交点就是节点a 的新位置，此位置不在杆 2 的方向上，在节点 a 的正上方。8. 答案塑性应变 p=1.875 10-2,塑性伸长量 lp=5.625mm

43、 答疑 杆件的伸长量为 l6 毫米时，总的线应变 6mm/300mm=2 10-2。此时杆件的弹性线应变 250/200 10-3=0.125 10-2,固此时杆件的塑性线应变2 10-20.125 10-21.875 10-2，因而杆件的塑性伸长量1.875 10-2 300mm5.625mm 9. 答案e=208gpa、g=80gpa、 =0.3 答疑 根据虎克定律 1= /e=p/ea 所以 e=p/a1=3 103/(4 30 10-6 120 106)= 208gpa ；横向线应变与纵向线应变之间的关系为：=-即 2=-1所以 =-2/1=0.3；各向同性材料的剪变模量g=e/2(1

44、+ )=80gpa 10. 答案哪一个也不能用。答疑在推导公式时应用了剪切虎克定律，二者的适用范围均是线弹性范围。11. 答案轴向拉伸的杆件内会产生剪应变、受扭的杆件内会产生拉应变答疑 一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内存在剪应力且在与轴线成45 度角的方位上有最大剪应力， 根据剪切虎克定律会产生剪应变；受到扭转变形时， 最大剪应力发生在横截面上，在任意的斜截面上存在正应力，所以杆内12. 答疑根据挠曲线微分方程eiy =m(x),将已知的挠曲线方程求二阶导数得到：v =q(-18lx+24x2)/48ei,从而得到弯矩方程为m(x)=q(-3lx/8+x2/2),将弯矩方程对x 求一阶导数得到

45、剪力方程为q(x)=q(-3l/8+x) 。剪力为零的点弯矩取得极值， 所以弯矩的极值点发生在x=3l/8 处，固梁的最大弯矩为：m=q(-3l/8 3l/8+(3l/8)2/2)=-ql3/128。剪力的一阶导数为q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数， 在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在 x=l 处，大小为 q=5ql/8。将 x=0 分别代入剪力方程、弯矩方程得到q=-3ql/8、m=0；将 x=l 分别代入剪力方程、弯矩方程得到q=5ql/8、m=ql2/8；根据 x=0 时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为3q

46、l/8；在 x=l 剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。梁的受力及约束如下：13. 答案圆弧状答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量m(x)=m 。根据曲率与弯矩之间的微分关系1/= m(x)/ei m/ei ，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；14. 答疑 对曲面方程 y=-ax3求二阶导数得到y=-6ax。 欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力， 梁的挠曲线与曲面重合。 将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到： -6aeix=m(x) ，从而得到梁的弯矩方程为m(x) -6aeix。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为q(x)=-6eia、

47、均布载荷集度为 q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为6eia、方向向上；根据梁的弯矩方程 m(x) -6aeix 可知， 在梁的自由端处弯矩的大小为6aeil、 方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：15. 答案中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯， 横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。a图中的最大弯曲正应力为=m/w=12m/bh3、最大挠度为 f=12 ml2/2ebh3；图中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半m/2，最大弯曲

48、正应力为=m/w=12m/2/b(h/2)3=48m/bh3、最大挠度为f=m/2l2/2eb(h/2)3/12=48ml2/2ebh3。16. 答疑 y =m(x)/ei称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程是由挠曲线微分方程中忽略了非常小的量y 而得到，因此会产生此差别。17. 答案左细右粗的锥状答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度， 被车削掉的较少， 加工后的横截面直径偏大； 随车刀向固定端移动， 悬臂梁的变形较小， 被车削掉的部分较多， 加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。18. 答案自由端施加瞬

49、时针的大小为ei/r 的力偶答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有 1/r=m(x)/ei ，考虑到梁的抗弯刚度ei 为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩 m(x) 也是常量，大小为m(x) ei/r。固应在自由端施加瞬时针的大小为 ei/r 的力偶。19. 答案边界条件x=0 y1=0；x=a+b y2=n/k=pa/(a+b)k 连续性条件 x=a y1=y2y1=y2答疑 x=0 处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在x=a+b 处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为pa/(a+b)；在外力的作用点 x=a 处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。20. 答案近似微分方程eiy = ql(l-x)/6-q(l-x)3/6l 边界条件 x=0 y=0；x=l