导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

1、导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号 )；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量x，那么函数y 相应地有增量y=f（x0+x） f（x0） ，比值xy叫做函数

2、y=f（ x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（ x）在点 x0处的导数，记作f （x0）或 y|0 xx。即 f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、 物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函

3、数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点 x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x） f（x0） ；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。二、导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（ x0，f（x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。三、几种常见函数的导数0;c1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx

4、; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 )，即：(.)vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若c为 常 数 ,则0)(cucucuuccu.即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数 ：.)(cucu法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vu

5、vvu（v0） 。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y |x= y|uu|x 五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f(x)在a， b上必有最大值与最小值。求函数? (x)在(a，b)内的极值；求函数? (x)在区

6、间端点的值?(a)、?(b)；将函数? (x)的各极值与? (a)、 ?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数f(x) 在区间 a，b上连续，用分点ax0 x1 xi 1xi xnb 把区间 a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi 1，xi 上取任一点i（i1，2， n）作和式innif1(i)x（其中 x 为小区间长度） ，把n即 x0 时， 和式 in 的极限叫做函数f(x) 在区间 a， b上的定积分， 记作：badxxf)(， 即badxxf)(ninf1lim( i)x。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分

7、区间， 函数 f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0 c；dxxm111mxmc（mq， m 1） ；x1dxlnxc；dxexxe c；dxaxaaxlnc；xdxcossinxc；xdxsin cosxc（表中 c 均为常数）。(2)定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（ k 为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中 acb)。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb(ab)，x 轴及一条曲线yf(x) (f(x) 0)围成的曲边梯的面积b

8、adxxfs)(。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0） ，及直线xa，xb（a0，且 x 1 时， f(x)xkxinx1，求 k 的取值范围。【解析 】(1)f,(x)=22)1()1(xbxinxxxa由于直线x+2y-3=0 的斜率为21，且过点 (1,1)，故即解得 a=1，b=1。(2)由（ 1）知ln11xxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2( )kxxh xx。(i) 设0k，由222(1)(1)( )k xxh xx

9、知，当1x时，( )0h x。而(1)0h，故当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当 x（ 1，+）时， h（x）0 f(x)=1 f,(1)=21b=1 ba2=21从而当 x0, 且 x1 时， f （x）- （1lnxx+xk）0，即 f （x）1lnxx+xk. （ii ）设 0k0, 故 h （x）0, 而 h（1）=0，故当 x（1，k11）时， h（x）0，可得211xh（x）0, 而 h（1）=0，故当x（ 1，+）时， h（x）0，可得211x h （ x）0, 与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0. 【例 4】 （2012 山东） 已知函数

10、f(x) = xekxln（k 为常数， e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y= f(x) 在点（ 1，f(1)）处的切线与x 轴平行。（）求k 的值；（）求f(x) 的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ( )fx,其中( )fx为 f(x) 的导函数，证明：对任意x0，21)(exg。【解析 】由 f(x) = xekxln可得)(xfxexkxln1，而0)1 (f，即01ek，解得1k；（）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10 x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间) 1 ,0(内为增函数；在), 1(内为减函

11、数。（）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,0,0ln,0122xexxxx，210)(exg. 当10 x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。【例 5】 （2012 北京） 已知函数2(1)( )a xf xx，其中0a. （）求函数( )f x的单调区间；（）若直线10 xy是曲线( )yf x的切线，求实数a的值；（）设2( )ln( )g xxxx f x，求( )g x在区间1,e 上的最大值 .（其中e为自然对数的底数）【解析 】 （）3

12、(2)( )axfxx， （0 x） ，在区间(,0)和(2,)上，( )0fx；在区间(0,2)上，( )0fx.所以，( )f x的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2). （）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1a xyxxyaxx解得01x，1a. （）( )g xln(1)xxa x，则()ln1gxxa解( )0gx，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，( )g x为递减函数，在区间1(e,)a上，( )g x为递增函数 . 当1e1a，即01a时，在区间1, e上，( )g x为递增函数，所以( )g x最大值为(e)eeg

13、aa. 当1eea，即2a时，在区间1,e上，( )g x为递减函数，所以( )g x最大值为(1)0g. 当11e0; 当 x2321，时， f (x)0, 所以 f(x) 在 x=21处取得极大值，在x=23处取得极小值。（2）若( )f x为r上的单调函数则f (x) 恒大于等于零或f (x) 恒小于等于零，因为 a0 所以 =（-2a）2-4a0，解得 00）. （）令 f（x） xf（x） ，讨论 f（x）在（ 0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1 时，恒有xln2x2a ln x1. 【课后作业】一、选择题1.（2005 全国卷文）函数93)(23xaxxxf,已知)(xf在

14、3x时取得极值 ,则a=( ) a 2 b 3 c 4 d 5 2(2008 海南、宁夏文）设( )lnf xxx，若0()2fx，则0 x（）a 2eb ec ln 22d ln 23 （2005 广东） 函数13)(23xxxf是减函数的区间为（）a ),2(b )2,(c )0,(d（0，2）4.（2008 安徽文） 设函数1( )21(0),f xxxx则( )f x（）a 有最大值b 有最小值c 是增函数d 是减函数5 （ 2007 福建文、 理）已知对任意实数x 有 f(x)=f(x) ，g(-x)=g(x) ，且 x0 时，f (x)0 ，g (x)0 ，则 x0 ，g (x)0

15、 b f (x)0 ，g (x)0c f (x)0 d f (x)0 ，g (x)0）有极大值9. （）求m 的值；（）若斜率为-5 的直线是曲线( )yf x的切线，求此直线方程. 【参考答案】【课堂练习】一、选择110aadbd ddccc (2) 填空（1） 3 ；1216；13.2 ； 14. 23r4r34,球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题15. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2xxxxf).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由xxxxfxxx0)(200),0)(xfxxf使内只有

16、一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元f答：每月生产200 吨产品时利润达到最大，最大利润为315 万元 . 16. 解： ()因为22( )91f xxaxx, 所2( )329fxxax223()9.33aax即当2( )9.33aaxfx时，取得最小值因斜率最小的切线与126xy平行，即该切线的斜率为-12，所以22912,9.3aa即解得3,0,3.aaa由题设所以()由()知323,( )391,af xxxx因此212( )3693(3(1)( )0,1,3.(, 1)( )0,( )(1( 1,3)( )

17、0,( )13( )0,( )3.( )(, 13fxxxxxfxxxxfxf xxfxf xfxf xf x令解得：当时，故在， ）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数；当x (3,+)时，故在（ ，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（ ，）；单调递减区13 .间为（， ）17解： （ 1）32( )1f xxaxx求导：2( )321fxxax当23a时，0，( )0fx, ( )f x在r上递增当23a，( )0fx求得两根为233aax即( )f x在233aa，递增 , 223333aaaa，递减 , 233aa，递增（2）要使 f(x) 在在区间2133，内是减函数，

18、当且仅当，0)(xf在2133，恒成立，由)(xf的图像可知，只需031032ff，即0323403437aa, 解得。 a2。所以，a的取值范围,2。18.解： （）因为,)()(xxeexf所以切线l的斜率为,te故切线l的方程为).(txeeytt即0) 1(teyxett。（）令y= 0 得 x=t+1, x=0 得)1(teyt所以 s（t）=)1()1(21tett=tet2)1(21从而).1)(1(21)(ttetst当t（0，1）时，)(ts0, 当t（1,+ ）时 ,)(ts0,所以 s(t)的最大值为s(1)=e2。19解：( )fx的定义域为32， （）224622(2

19、1)(1)( )2232323xxxxfxxxxx当312x时，( )0fx；当112x时，( )0fx；当12x时，( )0fx从而，( )fx分别在区间312，12， 单调增加，在区间112，单调减少（）由（）知( )f x在区间3 14 4，的最小值为11ln 224f又31397131149lnlnln1ln442162167226ff0所以( )f x在区间3 14 4，的最大值为117ln4162f20.（）解：根据求导法则得.0,2in21)(xxaxxxf故,0,2in2)()(xaxxxxfxf于是. 0,221)(xxxxxf列表如下：x (0,2) 2 (2,+) f（x

20、）- 0 + f(x) 极小值 f（ 2）故知 f（x）在（ 0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x2 处取得极小值f（2） 2-2in2+2 a. （）证明：由.022in22)2()(0afxfa的极小值知，于是由上表知，对一切.0)()(),0(xxfxfx恒有从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有xfxfx所以当.0in2in1,0)1()(12xaxxfxfx即时，故当.1in2in12xaxxx时，恒有【课后作业】一、选择1-10 dbdab acabd 一、填空11. 520 xy；12.38；13. 32；14. 2 , -2 . 三、解答题15.

21、 解： （i） f (x) 3x2 6x9令 f (x)0，解得 x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（ ， 1） ， （3， ） （ii）因为 f(2)81218a=2a，f(2) 8 1218a22a，所以 f(2)f(2)因为在（1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在1, 2上单调递增，又由于 f(x)在2， 1上单调递减，因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2，2上的最大值和最小值，于是有22 a20，解得a 2故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1)1392 7，即函数 f(x)在区间 2，2上的最小值为716.解（）32fxxbxcx，232fxxbxc。

22、从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3( )6g xxx，从而2( )36gxx，由此可知，(,2)和( 2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递减区间；( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2，( )g x在2x时，取得极小值，极小值为4 2。一、解：()由32( )f xxbxcxd的图象过点p （ 0， 2） ,d=2 知,所以32( )2f xxbxcx,f(x)=3x2+2bx+c,由在 (-1,(-1)

23、处的切线方程是6x-y+7=0, 知-6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1, f(-1)=6, 326,121,bcbc即0,23,bcbc解得 b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2, () f(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0, 解得 x1=1-2,x2=1+2, 当 x1+2时, f(x)0; 当 1-2x1+2时, f(x)0 f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+2,+)内是增函数 ,在(-, 1-2)内是增函数 ,在(1-2,1+2)内是减函数 . 18.解：设长方体的宽为x（m） ，则长为 2x(m)，高为230(m)35. 441218 xxxh. 故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322xxxxxxv从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxv令 v（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.当 0 x1 时， v（ x） 0；当 1 x32时， v (x)0，故在 x=1 处 v（x）取得极大值，并且这个极大值就是v（x）的最大值。从而最大体积vv（ x） 912-613（m3） ，此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1