简谐振动电偶极子辐射场分析(最终报告)

1、2pk3e -'4矶p.k3s签昭爲存°曲如+击叽心+彳）(2-1)研究简谐振动的电偶极子电场【摘要】本文首先对振动性偶极子电场的物理模型进行简要的分析并推导出其电场线方程，然 后利用数学软件matlab对隐函数直接作图的功能作出其电场线的演化进程图像，并用matlab动画模 拟其电场线辐射过程，最后结合图像和动画对了振动性偶极子电场进行具体的分析，得出结论。特别 是，文中清楚地模拟了部分不闭合电场线“分裂”出闭合电场线的过程，这在一般论文和教材中较为 少见。【关键字】振动性偶极子（振荡电偶极子 偶极振子）；matlab;作图；动画；感应电场；库仑电场1. 引言振动性偶极子是

2、电磁波辐射理论的基础，对其电场辐射情况的研究具有重要的意义。但由于振动性 偶极子电场的概念抽象，理论计算过程又十分复杂，推导和掌握需要较深的数学基础，而图形绘制也要 考虑诸多因素，极其繁琐，致使这方面的研究较为困难。使用matlab则可以轻松地应对这些问题，它 能够针对振动性偶极子电场的各个参量变化时的特点快速地绘制出其电场线图像。在图形的帮助下，就 很容易对其电场进行简明而清楚的分析。2. 物理模型21振动性偶极子的电场设振动性偶极子的电矩为p = expo cos m采用球坐标可得到在任意时刻/,空间任意处r的辐射电场叫cos（血一 zr） + cos（血一比厂 +兰）（kr）22上式中k

3、=.c在kr»l的远区，库仑电场比感应电场弱得多，故远区的电场以感应电场为主导。而在kr«l的近 区与krl的过渡区，库仑电场和感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不尽相同，使此区域的电场 呈现比较复杂的情况，这是需要进行认真分析的，也是本文的重点。由（1）式可直接推导出振动性偶极子在在kr«l的近区的电场为：er = -cos0cosm 4亦0厂ee = sin 0cos cot 4亦0厂e(p = 0(2-2)直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图示的方法则可以非常清晰明了。而要作图, 导出辐射的电场线所应满足的方程。首先耍2. 2振动性偶极子电场的电场线

4、方程由式（1）导出振动性偶极子电场的电场线方程，根据此方程即画出电场线图。引入c =初 pn 4-ll/2 sin 0coscot -kr- arctan伙r)1214殆)厂(kr)(2-3)由式（1）可以验证e = vxcr1,即有:(2-4)er = - (csino) r sin odd= (rc)r dre(p = o在(p-(pe（定值）的平面内，e线满足的微分方程:dr errd 0eg(2-5)将式（4）代入式(5),整理得一丄?(厂 c)d 厂=亠 2(csin d)dor drsin 0 d0(crsin+ (crsin ff)d& = 0 dr(2-6)上式表明cs

5、in&的全微分为零，即csin&二恒量。将c的表达式代入上式中，并将空并入4 兀£（）恒量,设为有i1忑)2 +1f sin2 &cosd-q + arctan伙厂)+ k = 01211 补 2t(2-7)(上)2 +1 卜 sirt 0cos27t-kr + arctan(z:r)| + k = 0这就是振动性偶极子辐射的电场线所应满足的方程，当k取不同的值时得到不同的辐射电场线。3. 用matlab制作振动性偶极子电场线的图像、动画并进行研究3. 1对方程的处理首先将（7）式写成直角坐标式x 好写成子（訐+（亍”而sin = = / 厂 a/x2 + z

6、2将以上两式代入式（7）得到4,4所满足的方程卩a a+11(2兀)2吟2+(自2x再作代换：y=> x ,a.zi1 1+12-（2龙凡午+于）现在就可以根据上式编写matlab程序进行作图以进行研究了。=> y, => n，得 txx2 +z2cos 27vn 一 2(x2 + y2 y + arctan 2(x2 +)，)打+ k = 0(2-8)cos < 2/r * 2龙吟)2 + 行)2 ji + arctan(2l()2 + (尹 )卜 k = 03.2 k值在振动性偶极子电场线方程中的含义振动性偶极子电场的电场线图象3-1 n=（）时不同k值所代表的电场

7、线上文中提到，当k取不同的值时得到不同的辐射电场线，为明了 k值的具体含义，作者简单利用 ezplot命令对（8）式作了图1。在图1中取n=0,针対不同的k值作电场线图像，并在图中将収相同 k值的电场线用同一种线条表示。其屮，k=0时作出的图为闭合圆环，但这些圆并非电场线，本文的图屮画出这些圆是为了将其作为参照标准，方便分析。为了图示清晰，图中所収k值并不多，但以下结论在k収更多值的情况下皆 能得到验证。由图1可见：1) 方程屮|k|取值越大代表离k=()的圆越远的电场线(在下文的演化图1中则会表现为|k|越小, 则电场线的轮廓越大，|k|越大，则电场线轮廓越小，以至消失，因而本文中所作图像都

8、取|k| 较小的)。2) 两个k=()的圆z间的电场线k值只取正或只取负，正负交替。另外，一部分|k|较大的曲线也未在图中表示出，它们处于电场的核心区域，满足1)的情况。3. 3振动性偶极子电场线的演化进程研究3.3.1单电场线的演化进程研究k取定值(k取值如图)，分别在n取不同值时对电场线方程作图。程序如下：syms x y;m=l 0k=1.6 %分别取k=0, ±0.2, ±0.4, ±0.6, ±0.8, ±1, ±1.1, ±1.2, ±1.4, ±1.6% n=linspace (0.00,

9、1.00, m) ;%11在01 中取m个值for i=l:m;z=sqrt(1/(xa2+ya2)/2/pi/2/pi)+1)*(xa2/(xa2+ya2)*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(xa2+ya2) +atan (2*pi*sqrt (xa2+ya2) ) ) ) +k; %口在01 中取m个值ezplot (z, -1, lz -1, 1 ) ; %取相应坐标作图hold on;endtitle振动性偶极子的电场线辐射的进程，);(_些模拟结果)k取不同值的图像.docx扳胡性偶极于的电场线笹射的进程(d) k=±l(e) k=±l.l(f)

10、k=±l,33-2振动性偶极子单电场线演化进程图像图2即为运行结果，为了便于观察，前三图取m=5,后三图取m=10o k值互为相反数的电场线作 出的演化进程图像是一致的，因而合为同一张图来表示。进程图像可以清楚地记录每一时刻电场线的形状及电场线在演化过程中所处的位置，但要明确演化 发展的方向，则需借助动画，因动画无法加载到文本中，下面仅列出运行该动画时所用的程序： syms x y;m=10k=1.6 %分别取k二0, ±0.2, ±0.4, ±0.6, ±0.8, ±1, ±1.1, ±1.2, ±1.

11、4, ±1.6% n=linspace (0.00, 1.00,m) ;%口在01 中取m个值for i=l:m;z=sqrt(1/(xa2+ya2)/2/pi/2/pi)+1)*(xa2/(xa2+ya2)*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(xa 2+ya2) +atan (2*pi*sqrt (xa2+ya2) ) ) ) +k; %11在01 中取m个值ezplot (zz -1, 1, -1, 1 ) ; %取相应坐标作图hold on;endtitle振动性偶极子的电场线辐射的进程，);syms x y;m=moviein (300) %扌文300帧)n=l

12、inspace (0.00, 30.00, 300);for i=l:300;z=sqrt(1/(xa2+ya2)/2/pi/2/pi)+1)*(xa2/(xa2+ya2)*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(xa 2+ya2)+atan(2*pi*sqrt(xa2+ya2)+k;ezplot(z,-1,1,-1,1)；m(:z i)=getframe;endmovie(m,3,20)(动画模拟程序)ouiizifushedonghua.m结合图像和动画对电场线进行分析，可将电场线分为三类：第一类：|k|w 1的电场线。这类电场线不断由原点发出，从不闭合曲线逐渐演变为闭合曲线，并

13、不断向外扩散。其中<1的电场线在扩散到远区过程中rti小变大，不断向外凸；而|k| = i的电场线平行向外扩散，到远区后曲线形状始终不变。如图(a)(d)o第二类：|k|> 1的电场线(除去下文中笫三类的电场线)。这类电场线始终为不闭合扁圆形曲线，由原点向外扩大，到某一极限位置，又向原点收缩直至不见，z后反复，如图(f)o第三类：|k卜1.1的电场线。这类电场线同第二类电场线相似，由原点向外扩大，到某一极限位置开始向原点收缩直至不见，之后反复，但在演变过程中会变长、变尖甚至长出尖角。如图(e)0为明确上述各类电场线形状、大小变化发生的具体时间，下文中列出了 matlab作岀的另一组

14、图， 结合各单电场线的演化进程，研究其全电场线演化进程。3. 3. 2全电场线演化进程研究取 k=0, ±0.2, ±0.4, ±0.6, ±0.8, ±1, ±1.1, ±1.2, ±1.4, ±1.6 分别对不同 n 值做图。程 序如下： syms x y t;k=linspace(-1.6,1.6,17);t=t/24%分别取t=0,t/16z t/8, t/64, t/32,3t/16, t/4,3t/8, t%n= (t/t );for i=l:17;z=sqrt(1/(xa2+ya2)/2/p

15、i/2/pi)+1)*(xa2/(xa2+ya2)*(cos(2*pi*n-2*pi*sqrt(xa2+y a2) +at3n(2*pi*sqrt &八2+丫八2) ) ) )+k(i);ezplot (z, -1, 1, -1, 1 ) ; %取相应坐标作图hold on;endz=sqrt(1/(xa2+ya2)/2/pi/2/pi)+1)*(xa2/(xa2+ya2)*(cos(2*pi*n-2*pi*sqrt(xa2+y a2)+at3n(2*pi*sqrt&八2+丫八2)+1.1;ezplot (z, -1, 1, -1, 1);titled振动性偶极子电场的电场线图

16、象匕(matlab 模拟结果)dianoujifushe.m 程序中(t/t)取值按运行结果图3所示。图3全过程为半个周期，半个周期之后电场线的位置与又与半个周期前相同，但电场方向全部反向。 取t的间隔不均是为了看清e线随时间变化比较敏感的细节，k在等间隔中多取了一个k二±1.1,这是 因为k二±1.1的e线属于比较特殊的电场线。结合前文的分析，对图3进行观察，在k二0的最里面的圆内：1)第一类( |k|g )电场线：当t由0t二时，k为负值的这一类电场线所占的范围不断扩大，在接近二时，造近核心区域的 48曲线部分发生明显的形变，|k|越大的曲线越靠近核心区域，变化越为明显

17、。z后形变越来越严重，在3tt= t时，曲线完全偏折,t=-时，第一类电场线脱离核心区域，向外扩散；164t t当(由丄t丄时，k值为正的这一类电场线又从原点长岀，尚未发生形变，所占范围不断扩大。42-重复的过程，之后反复。2442)第二类(>1)电场线:当t由ot二时，k值为正的这一类电场线向原点收缩，并于埒二时消失;专时达到最大,44当t由时,k值为负的这种电场线由原点“长岀”，范围不断扩大,在 随后又开始收缩，并于匸乎时在原点消失，k值为正的这种电场线再“长出”，之后反复。3) 第三类(|k| = 1.1)电场线:当i由0t3时，k值为正的这类电场线，由扁圆形逐渐变长，变尖；8当t

18、由时，这类电场线向原点收缩，并于匸二时在原点消失；844当i由时，k值为负的这类电场线由原点“长出”，范围不断扩大，形状变化与前半周期 42相同，随后开始收缩，并于i二兰时在原点消失，k值为正的这种e线再“长出”，之后反复。4振动性p祖子电场的电场 t=t/16®t=t/8t=0振动性p祖子电场的电场统83技iwt& t=5t/32扳勿性ot电场的电场找氏象汗沏6 t=9t/64©t=t/4 t=3t/8匸3t/16®t=t/23-3振动性偶极子全电场线演化进程图象3. 4对振动性偶极子电场的分析a）当匸0吋，在k二0的最里面的圆内为较为标准的偶极子库仑电场；b）当t由ot时，|k|值较大的第二类电场线在收缩，库仑场的核心区域在缩小，当t接近二时,8 8|k|=1.1的第三类电场线出现“尖头”，第一、二类电场线出现“圆头”、“瘦腰”、趋于“扇形”等情况，表明在这些电场线所在处感应电场增强（见图）。c