导数综合练习题详细解答

1、导数练习题(B)1.(本题满分12分)已知函数f (x) =ax3 - bx2 - (c _3a _2b)x - d的图象如图所示.(I)求c, d的值；II)若函数f (x)在X =2处的切线方程为3xy_11=0，求函数f (x)的 解析式；(III )在(II)的条件下，函数 y = f (x)与y = 13 个不同的交点，求 m的取值范围.2 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) alnx_ax_3(a R).(I) 求函数f(x)的单调区间；(II) 函数f (x)的图象的在x=4处切线的斜率为3)上不是单调函数，求 m的取值范围.f"(x)+5x+m的图象有三/,若函

2、数 g(xx3 X2f'(x)-在区间(1,232(本小题满分14分) 已知函数f (x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值.(I) 求实数a的取值范围；2(II) 若方程f(x) =_(2a_ 3)恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；| f(2sin: )- f (2sin '-)81 .9(III )对于(II)中的函数f (x)，对任意 八I" R，求证:4.(本小题满分12分)已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数f(x)=ex-x , g(x)=x2-alnx.(I) 写出f (x)的单调递增区间，并证明ea a

3、；(II) 讨论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5.(本小题满分14分)已知函数 f (x) In(x1)-k(x T) 1 .(I)当k =1时，求函数f (x)的最大值；II)若函数f (x)没有零点，求实数k的取值范围;6.(本小题满分12分)已知x =2是函数f (x) =(x2 ax-2a-3)ex的一个极值点(e = 2.718).(I) 求实数a的值；(II) 求函数f (x)在x 3,3的最大值和最小值.27. (本小题满分14分)已知函数 f(x) x2-4x (2_a)lnx,(a R,a = 0)(I) 当a=18时，求函数f (x)的单调区间；2(II)

4、 求函数f (x)在区间e,e 上的最小值.8. (本小题满分12分)已知函数f (x) x(x6)alnx在x (2,；)上不具有 单调性.(I) 求实数a的取值范围；2(II) 若f(X)是f (x)的导函数，设g(xf (x) 6 -一2，试证明：对任意两个不相等正数Xi、X2 ,x38 不等式|g(xj -g(X2)|切丨为-X2恒成立.9. (本小题满分12分)1 2 已知函数 f(x) x - ax (a -1) l nx,a 1.2(I)讨论函数f (x)的单调性；(II )证明：若a : 5,则对任意X1,x (0, =),X1 = X2,有丄凶一祚-1.10. (本小题满分1

5、4分)1 2已知函数 f (x) x2 aln x, g(x) = (a 1)x , a 一 T .2(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围；(II )若 a (1, e (e 2.71828 ,)设 F(x)二 f(x)- g(x),求证：当 x ,x 1,a时，不等式 |F(xJ -F(X2)| ：1 成立.11. (本小题满分12分)设曲线 C : f(x) = l nxex ( e = 2.71828 )，f x)表示 f(x)导函数.(I) 求函数f(x)的极值；(II) 对于曲线C上的不同两点 A(X1,yJ ,咅：X2，

6、求证：存在唯一的区必)，使直线AB的斜率等于f(x。).12. (本小题满分14分)定义 F(x,y)二(1 x)y,x,y (0,二),(I)令函数f (x) =F(3,log2(2x-x2，4)，写出函数f (x)的定义域；(H)令函数g(x)二F (1,log 2(x3 ax2 bx 1)的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线 C在x°(-4 ： X。： -1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(III )当 x,y N*且 x ： y 时，求证 F(x,y) F(y,x).导数练习题(B)答案1.(本题满分12分)已知函数f (x) =ax3 - bx2 - (c _3a

7、 _2b)x - d的图象如图所示.(I)求c, d的值；II)若函数f (x)在X =2处的切线方程为3xy_11=0，求函数f (x)的 解析式；(III )在(II)的条件下，函数 y = f (x)与y = 1 f (x) 5x m的图象有三 3个不同的交点，求 m的取值范围.解：函数f (x)的导函数为f'(x)=3ax2 2bx3 2b (2分)(I)由图可知函数f(x)的图象过点(0, 3)，且f'(1)=0刁=3c =0(4分)方=30a +2b +c -3a -2b =0=5(II) 依题意 f'(2) =_3 且 f (2)12a +4b -3a2b

8、 = d§a +4b -6a -4b +3 =5解得 a = 1, b - -6(8 分)所以 f (x) =x3 6x2 9x 3(III) f (x) = 3x2 -12x 9 .可转化为：x3 -6x2 9x 3 二 x2 -4x 3 5x m有三个不等实根, 即：g x =x3-7x2，8x-m与x轴有三个交点；xJ 2】I 3丿232,4、3丿4(4,心)g'(x)+0-0+g(x)增极大值减极小值增(10 分)g x 二3x2 -14x8 二 3x-2 x-4 ,2 68gm, g 4 = -16.3 27当且仅当g I =|8 -m - 0且g4 - _16-m

9、：0时，有三个交点,(12 分)68故而，-16 : m为所求.272 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) alnx-ax-3(a R).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)函数f (x)的图象的在X = 4处切线的斜率为3,若函数g(x) =X3 x2f'(x)在区间(1,3)上不是单调函数，求 m的取值范围.解： f'(x)二 _ (x 0)(2 分)x当a 0时，f(x)的单调增区间为0,1,减区间为1, V当a ：0时,f(x)的单调增区间为1,；,减区间为0,1；当a=1时，f (x)不是单调函数(5分)3a 3 /口(II) f'(4)得 a 二2

10、, f (x)二21 nx 2x-34 213 m22.g(x) x3(2)x2 -2x,. g'(x) = X2 (m 4)x -2 (6 分)32-g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g'(0) =-2g'(1)<0,、g'(3)0.(8 分).m -3,1919 (10 分)m (一一 ,_3) m ,33(12 分)3. (本小题满分14分) 已知函数f (x)=x3-ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值.(I) 求实数a的取值范围；2(II) 若方程f(x) =-_生 恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；9(III

11、)对于(II)中的函数 f(x)，对任意 八 l"R，求证：|f(2sin)-f(2sin J|_81. 解：(I) f (0) = 0 = c = 0, f (x) = 3x2 2ax b, f (1) = 0 = b = _2a - 3.f (x) =3x2 2ax -(2a 3) =(x -1)(3x 2a 3),一2a 亠3由f (x) =0= x =1或x，因为当x =1时取得极大值，3所以一.丝卫.1=. a ： -3，所以a的取值范围是：(-：，-3);3(4分) (II )由下表：x(q,1)12a +33)2a +332a+3 ,(3,切(X)+0-0-f(x)递增

12、极大值-a J递减极小值a. 2(2a+3)2 27递增2依题意得：专(2a®冒，解得：a932所以函数f (x)的解析式是：f(x)=x-9x 15x(10分)(III)对任意的实数 都有- 2 一 2sin _ 2,-2 一 2sin_2,在区间-2 , 2有：f (-2) - -8 -36 -30 - -74, f (1) =7, f (2) =8 - 36 30 =2 f(x)的最大值是 f(1) =7, f (x)的最小值是 f (-2) - -8-36 -30 - -74函数f (x)在区间-2,2上的最大值与最小值的差等于81 ,所以 | f(2sin ： ) - f(

13、2sin J|_81 .(14分)4. (本小题满分12分)已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数f(x)=ex-x , g(x)=x2-al nx.(I) 写出f (x)的单调递增区间，并证明ea a ；(II) 讨论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.解：(I) f(x)=ex-1-0，得f(x)的单调递增区间是(0, ；) , (2分) a 0 , f (a) . f (0) =1 , ea . a 1 a，即 eaa . (4 分)(II) ggsaT 3，由 ggo,得 x=，列表xx2x(o,：a)V2a2(殛 ) (何g(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增

14、rz J2a<2a a a当X二时，函数八g(x)取极小值g(匕(1_忖，无极大值.(6分)'2a e eaa 2 g(1) =10, g(ea)=e2a2a aa V 2ae , e2 2_a2 = (eaa)(ea - a) 0(8 分)(i) 当'2a <1，即0 :a乞2时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点22a(ii) 当上1，即a 2时2若？(1-1 na)0，即2 :：: a :2e时，函数y = g(x)在区间(1,ea)不存在零点2 2若旦(11 na)=0，即a =2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)存在一个零点22若旦(1-1

15、 n旦)：0，即a 2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)存在两个零点；22综上所述，y =g(x)在(1 ea)上，我们有结论：当0 ：a ： 2e时，函数f (x)无零点；当a =2e时，函数f (x)有一个零点；当a 2e时，函数f (x)有两个零点.(12 分)5. (本小题满分14分) 已知函数 f(x)=ln(x-1)-k(x-1) 1 .(I)当k =1时，求函数f (x)的最大值；II)若函数f (x)没有零点，求实数k的取值范围；解：(I)当 k -1 时，f(X)二x 1f(x)定义域为(1, +旳),令 厂(x)=0,得x=2 ,当 x (1,2)时，f (x) 0，

16、当 x (2,；)时,f (x) < 0 , f (x)在(1,2)内是增函数，在(2,：)上是减函数当x=2时，f(x)取最大值f(2) =0(II)当k -0时，函数y =1 n(x-1)图象与函数y=k(xT)1图象有公共点， 函数f (x)有零点，不合要求；当k 0时，1x -1k1 +kk(xPx -1x -1(2 分)(4分)(8 分)(6分)k +1k +1i令 f (x) =0,得x，: x (1,)时,f (x) 0, x (1 ,；)时，f (x) ：0 ,kkk11二f (x)在(1,1)内是增函数，在1,二)上是减函数，kk1 f (x)的最大值是 f (1 一)

17、 _ _|n k , k函数 f (x)没有零点， -ln k ：:0 , k 1 ,因此，若函数f (x)没有零点，则实数 k的取值范围k(1,；). (10分)6. (本小题满分12分)已知x=2是函数f(x) =(x2 ax-2a-3)ex的一个极值点(e = 2.718).(I) 求实数a的值；3(II) 求函数f (x)在x 3,3的最大值和最小值.2解： 由 f (x) = (x2 ax-2a-3)ex 可得f (x) =(2x a)ex (x2 ax - 2a -3)ex =x2 (2 a)x _ a - 3ex (4 分) x=2是函数f (x)的一个极值点， f(2)=0二(

18、a - 5)e2 二 0，解得 a = -5 (6 分)(II )由 f (x) =(x -2)(x -1)ex 0，得 f(x)在(-：,1)递增，在(2,；)递增, 由f (x) ：0，得f(x)在在(1,2)递减此时g(x) 0 ,所以f'(x)0 , f (x)在e,e2上单调递增，23 f(2)二e是f(x)在x =3的最小值；237 2333f(2)亍2 , f(3) =e3 f(3)-f(?)=e333 f(x)在 X 3,3的最大值是 f (3)二e3.27.(本小题满分14分)已知函数 f (x) x2-4x (2-a)lnx,(a R,a = 0)(I) 当a=18

19、时，求函数f (x)的单调区间；(II) 求函数f (x)在区间e,e2上的最小值.解：(i) f (x) = x2 - 4x-161 nx ,f(x)»4_mxx由 f'(x) 0 得(x 2)(x -4) 0,解得 x 4 或 x ： -2注意到x 0，所以函数f (x)的单调递增区间是(4, +由 f'(x) ： 0 得(x 2)(x -4) ： 0 ,解得-2v x V 4,注意到x 0，所以函数f (x)的单调递减区间是(0,4.综上所述，函数 f (x)的单调增区间是(4, +R),单调减区间是(0,42 2(n)在 x e, e 时，f (x) = x

20、- 4x (2 - a) In x丄2_ a所以 f'(x) =2x -4x设 g(x)二 2x2 -4x 2 _a当 a ： 0时，有 4=16+4 X2(2(8 分)7e3e42x2 -4x 2 -a-a) = 8a : 0 ,e2(4e.e-7) .0,f(3) f(°)42(12 分)所以 f(x)min 二 f(e)二e2 -4e 2 a当 a aO 时，= 16 4 x 2(2 a) =8a > 0 ,a2a令 f'(x) 0，即 2x2 -4x 2-a .0，解得 x或 x ：12 222ayj 2a令 f'(x) ： 0 , 即卩 2x

21、4x 2a ： 0，解得 1x : 1.2 2若 1K2，即 a >2(e2 -1)2时，22242f (X)在区间e,e 单调递减，所以 f (x)min = f (e ) =e -4e ，4-2a.若 e ： 1 空 :：:e2，即 2(e 1)2 :：: a ： 2(e2 -1)2时间，2fff(x)在区间ej 2旦上单调递减，在区间1 空，e2上单调递增,2 2所以 f(X)minajV2af(1 、二 2a -3 (2 a)ln(1).2 2 2(8 分)a若12所以 f(x)min综上所述，当2we,即卩 0 ： aw2(e 1)时,2f (x)在区间e,e 单调递增,2-f

22、 (e) = e _4e 2 _a a>2(e2 -1)2时，f(x)m.=a4 - 4e24 _ 2a ；a 2a _3(2 _a) ln(12当 a w2(e -1)时，f (x) min = e - 4e 2 - a8.(本小题满分12分)已知函数f (x) =x(x -6) +aln x在(2,讼)上不具有 单调性.(I)求实数a的取值范围；当 2(e-1)2 : a < 2(e2 -1)2时，f(x)min子);14分2(II )若f (x)是f (x)的导函数，设g(x)二f (x) 62，试证明：对任意两个不相等正数X2 ,x不等式|g(x1)-g(x2)|孰-初恒成

23、立.2a 2x - 6x a 解：(I) f (x) =2x -6xx(2 分) f (x)在x(2, P)上不具有 单调性，在x(2,P)上f x)有正也有负也有 0,即二次函数y=2x26x，a在(2,；)上有零点23y=2x -6x a是对称轴是x，开口向上的抛物线，2的实数a的取值范围(-：,4)(II )由(I) g(x) =2x 旦一刍,x x方法 1： g(x) =f (x) -三 6 =2x 旦一 W(x 0),xx xa4442x3 -4x4-a : 4，g (x) = 2232233xxxx(4分)y =2 22 -6 2 a ： 0(6分)x=?时，h(x)取最小值兰22

24、738y=g(x)x是增函数，3838g(x2)-27x2 (咅)-？/.g(xjg(X2)38 刚3827，即 2(X1)-g(X2)| 牙丨为 -X2I方法2：M(x!,g(x!)、N(X2,g(X2)是曲线y=g(x)上任意两相异点,g(xj g/)x1 - x2(12 分)2(为 x2)a2 . 2(X1X2)2 2 2X1 X2设 t 二 J,t 0，令X1X2x1x22,x1x22 x1x2， a ：. 4x24a 2 +4(X1X2)3X1X2( X1X2)34x1x2(8 分)32kMN 二u(t) =2 4t -4t，u (t)=4t(3t-2)，22由 u (t).0,得

25、t 2,由 U(t)：0得0 :：:r：,332 2-u(t)在(0,)上是减函数，在(一，；)上是增函数，3 32 3838u(t)在t处取极小值，.U(t) ,所以3 272738即1g(X1) mJ芳畑9.(本小题满分12分)1 2已知函数 f(x) x -ax (a-1)1 nx,a 1.2(I)讨论函数f (x)的单调性；g(xj -gg)咅一X238一27(12 分)设 h(x)=2 二 4 , h(x)二一話4(2X-3)X XX Xh(x)在(0,3)是减函数，在(3, ：)增函数，当2 23838从而 g (x) 一，.(g(x)_ x) 0，函数2727Xi、X2是两个不相

26、等正数，不妨设 Xi :： X2，则38小g(xJg(X2) 38g(X2)g(xj(X2 xj，: x2 -X1 0 , 一27论X227(ll )证明：若 a : 5,则对任意Xi,X2 (0, ：),Xi(1) f (x)的定义域为(0：),f'(x)二 x-a若 f(X1)- f(X2)= X2,有1.X1 -X2X2 -ax a -1 _ (x -1)(x 1 -a)2分.故f (x)在(0/ :)单调增加.(i)若 a -1 =1，即卩a = 2，贝Uf'(x) =(X 一1)x(ii )若 a-1：1,而 a1,故 1a 2,则当 (a-1,1)时，f'(

27、x)：0.当 x (0,a -1)及/ (1,：)时，f'(x)0,故 f(x)在(a-1,1)单调减少，在(0, a-1),(1/:)单调增加.(iii )若 a -11,即a2,同理可得 f (x)在(1,a -1)单调减少,在(0,1),(a-1,：)单调增加.1 2(II )考虑函数 g (x) = f (x) x x -ax (a -1) In x x.2a 1由 g'(x) =x _(a -1)a 1 2x (a_1) =1_(_a_1 _1)2.x , x由于a a5,故g'(x)0,即g(x)在(0, ：)单调增加，从而当X1x?0时有g(xjg(X2)

28、0,即 f (xj - f(X2)花 - X20,故f(X1) f(X2)1 当 0 xx时有 f(x1) f(X2)f(X2) f(X1)故1,当 0 ： x<)： x2时，有-1x2 _ x1捲_x210.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x)X2 alnx, g(x) =(a 1)x ,a =-1 .2(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围；(II )若 a (1, e (e 2.71828,)设 F(x)二 f(x)- g(x),求证：当x ,x 1,a时，不等式| F(xJ - F(X2)I ：1 成立.解: (

29、I) f (x) = x a, g (x) = a 1 ,x函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，(a 1)(x2 a)(2 分)当 X 1,3时，f (x) g (x)=-0恒成立,(4分)即 (a 1)(x2 a) _ 0恒成立，a -1 2在x三1,3时恒成立，或 a _ -x2/ -9 _x _ _1 a-1 或 a - -91 2a(x-a)(x-1)(II) F (x) x al nx,(a 1)x , F (x) =x (a 1)=XX/ F(x)定义域是(0, =) , a (1, e，即 a 1 F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减

30、函数，在(a,；)是增函数当 x =1 时，F(x)取极大值 m =F(1)-a-丄,2当 x = a时，F (x)取极小值 m = F (a) =a In a - a2 -a ,2t为必 1,a , | F(xJ - F(x2)匸| M -m|= M -m1 2 1.a -aln a，贝U G (a)二 a -In a -1 ,2 2F 一1在x引1,3时恒成立,a _ x(6分)(8 分)(10 分)设G(a)二M -m1G(a) =1- a G(a)=a_ln a -1 在a (1, e是增函数， G (a) G (1) = 01 2 1G(a)a -alna在a (1, e也是增函数2

31、 2 G(a) G(e)，即 G(a)乞 e2 e-1 二一1 ,2 2 22 21 21 (e -1),(3 -1)而一e -e11=1 , G(a)二 M -m ： 12 2 2 2, a (1, e , G (a)0(12 分)(14 分)当 Xi,/二1,a时，不等式 |F(Xi) - F(X2)|：1 成立.11. (本小题满分12分)设曲线 C : f(x) = l nxex ( e = 2.71828 )，f'(x)表示 f(x)导函数.(I) 求函数f(x)的极值；(II) 对于曲线C上的不同两点 人(人，) ,人：X2，求证：存在唯一的 x 区必)，使 直线AB的斜率

32、等于f(x0).11 _ex1解：(1) f (x) e0 ,得 x= xxe当x变化时，f (x)与f (x)变化情况如下表：X1(0,Te1 e1(一，七血) ef (x)+0一f (X)单调递增极大值单调递减11当x二-时，f (x)取得极大值f(_)=-2，没有极小值； (4分)ee(II)(方法 1 厂 f(Xo)=kAB丄 _enx2|nx1e(X2-X1)gn 卷=0x0X2 论XoX-I即 X)ln 些-(x2 -xj = 0 ,设 g(x) = xln 理一(x2 -xjx,X-|g(x,)=xjn竺-化-捲),g(xjXIn翌-1 0 , g(xj是洛的增函数,X-I1X-

33、I X ： x , g(xj ： g(X2)=X2ln 生(X2 - X2) = 0 ；X2g(X2)=X2l n 翌-区-,g(X2)： =l n2-1 0 , g(X2)是他的增函数， X-I2X1X1 X1 ：X2 , g(X2) g(X1)=X1ln (为一为)。，X1二函数g(x) =xln生-(X2-xJ在(人必)内有零点 冷, (10 分)X1又T X 畀,.ln 0 ,函数g(x)=xl门西&2-治)在(人必)是增函数，函数g(xX1 -ln程在(儿兀)内有唯一零点X0，命题成立 (12 分)XX-I(方法 2 ) f(X0) =kAB ,X01 ln x2 Tn %

34、- e(x2 - x1) e 二即 Xo ln x2 -x01n % 捲 - x2 = 0, x° (xx?)，且 x0 唯一设 g(x) = xlnx2_xlnXr捲 _ x2，贝H g (x1x11nx2- x ln x<x-x2,再设 h(x)二 xlnx2-xln xx -x2,O x ：x2, h (x)二 lnx2-lnx 0- h(x) = xln x2 -xln x x - x2在 0 ： x x2 是增函数 g(N)勺化)：h(%) =0 ,同理 gX)0(10 分)方程 xln X2 xln X- + X- x： = 0在 x° -(xx?)有解一次函数在(xx2)g(x) =(lnx2 -1 nxjx Xi -X2 是增函数方程xl