小波理论简介

1、小波分析理论简介傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性1 Fourier 变换1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶( JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为 T (= 2二)的函数f(t),都可以用三角级数表示:1ikt0,f (t) =' Cke =- +7 a k cos kt +o'、' bk sin ktCkk -1”ikt/f (t)e _ dt = f ,e2 二 0iktbk - i (C k _ C _k)对于离散的时程f (t)，即N个离散的测点值fmm = 0,1 ,

2、2 , ;N-1,30T为测量时间:f (t)a。N2+ ' (ak cos，kt b2k -41sin ，kt) + a” cos，n t =' C 2ei'kt(4)k z0其中2 二 kmcos1,(5)bk2 N丄XmNm =02 二 km sin =12理-12(6)丄(2 -km e1,2,讣-1m -0k°dt ，(8)当T r 时，化为傅立叶积分(即 Fourier变换)：f (灼)=f f (t)e亠蚀dt =(f ,eiHl(9)-HD1 宀f (t)f C )ei "d -(10)2二二傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里

3、程碑，从1807年开始,直到 1966 年（1807 年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的 结论是有误的，直到 1966 年才证明了 L2 可积的周期函数才能表示为傅立叶级 数） ，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响， 得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是， 傅立叶理论不仅仅在 数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信 息具有物理意义。 所以说， 傅立叶理论是万古流芳的 。数学上的插值方法。 除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。遗憾的是，这种理论具有一定的局限

4、性 ：（ 1） 傅立叶变换的三种形式中的 傅立叶系数都是常数 ，不随时间 t 变 化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会 带来很大误差， 甚至与实际情况大相径庭。 （举例：无阻尼与有阻尼的单自由度 的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等） 。在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号 衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。 硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化 来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包 括求出的频率当然也有误差。（ 2） 求 傅立叶系

5、数是全时间域上的加权平均 ，这从上面的（ 5）、（6）、 （ 7）公式可以清楚看到。 局部突变信息被平均掉了， 局部突变信息的作用很难 反映出来（好比吃大锅饭，平均主义） 。差别很大的信号，如方波、三角波、正 弦波，都可以得到相同的频率， 所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏 度很差。 处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换 。为了克服以上两点局限性，这就要求：（ 1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。 （2）使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或加窗傅立叶变换的窗函数。2 Garbor 变换一窗口 Fo

6、urier 变换在时间一频率分析中，Fourier 变换公式的不足已经被D. Garbor注意 到了，在1946年的论文中，为了提取信号的Fourier变换的局部信息，引入 了一个时间局部化的Gaussian函数作为“窗函数” g（t-b）,其中参数b用于 平移动窗以便覆盖整个时间域。因为一个Gaussian函数的Fourier变换还是Gaussian函数，所以Fourier逆变换即频率也是局部的。窗口 Fourier变换简介。对于时间局部化的"最优”窗，用任Gaussian 函数gat2(t) = e22 .二 a(11)这个等式说明，除去乘数项尬之外，在oO1ib(e2 二二与在

7、 -具有窗函数g!的f的"窗口 Fourier逆变换”致，根据窗函数ga的宽度是2 v a的0(G；f)( ) = (e屮(t)ga(t b)dt（12）oO二oC由于ga (t - b)db 二g a (x)dx = 1（13）aa所以QO.QOI(e (t)ga(t b)dt db =f 0 )（14）二令(t)=ega(t b)（15）利用 Parseval恒等式,(G；COf)( ) = (e“ f (t)ga(t -b)dt =f，G：,1a=f,Gb,2 :变换”的定义为"Garbore (G14af)(-b)2、二 a(16)t =b具有窗函数ga的f的“窗口

8、 Fourier 变换”，结论，这两个窗的宽度分别是这两个窗的笛卡儿积是加窗傅立叶变换的“时间一频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。 在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减 小a），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。 总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。3窗口 Fourier对于一个非平凡函数变换的测不准原理w三L2(IR)，若满足2twL (IR )(A)条件，则w可作为短时窗口Fourier变换的窗函数，若其Four

9、ier变换也满足上述条件，那么1w ' w 2（B）而且，等号成立，如且仅如iatw(t) = ce ga (t-b)(C)其中c = 0, a 0和 a, b ：=IR 。小结：（1）傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况；（2）求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息， 不能反映局部信息 的特征；（3）加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的， 高频与低频的时间局部化不 能同时满足。由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。（一）小波分析将时程函数f（t）表示为下面的小波级数:0 COf (t)=送送 c f Wj,k 屮 j,k(t)j - ： ：

10、k -:屮笊=屮(2jt k)其中， (t)是小波函数d=£ f Wj,k A=二二 dj,j,k（t）（17）j - ： ： k =:：（18），dj,k是小波系数，且（19）由公式（17）到（19）可以看到，小波级数是两重求和， 小波系数的指标 不仅有频率的指标j，而且还有时间的指标 k。也就是说，小波系数不仅像傅 立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。 这样就克服了上面所述的第一个不足。由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频 率水平不同时刻的小波系数时， 只用到该时刻附近的局部信息， 从而克服 了上

11、面所述的第二个不足与有限元比较。在这一点，小波插值要比有限元高明。 有限元虽然是局部的 "单元插值”，但单元之间的公共节点上,只能保证c 0阶连续，而导数不连续。小波插值可保证二阶导数连续，只要选三次样条小波就能做到。第三个不足，小波分析是如何克服的呢？通过与加窗傅立叶变换的“时间一频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间一频率窗”的笛卡儿积是 1 ' 1b + at 讯一aA屮,b+at * + aA屮疋 |A屮，+屮（20）a a a a其中a -2 ，时间窗的宽度为2ar,随着频率的增大（即j的增大）而变窄,随着频率的减小（即j的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键

12、在于公式（18）中，时间变量t前面乘了个“膨胀系数” 2j。小波变换的“时间一频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信 号时变宽，这正是时间一频率分析所希望的。根据小波变换的“时间一频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。女口，选择从咼频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最咼频率信息， 并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分 离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系 数，首先要选好小波函数。选择小波函数的“四项原

13、则”。在求小波系数公式(19)中，如果-：(t_k)是l2(ir)空间的正交基，则的 j,k为r,k的复共轭。小波分析的最重要的应用是 滤波，为了保证滤波不失真， 小波函数必须具有 线性相位，至少具有广义线性相位。小 波分析的另一重要应 用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的 导数，小波函数至少是C1连续。 由前面分析可知，小波函数必须具有 紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、 连续、紧支撑 是选择小波函数的“四项原则”。如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，那真是人类的福气。遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。数学家们已经证明，具有正交、

14、线性相位、紧支撑的小波函数只有Harr函数，而Harr函数是间断函数,对于工程应用来说，是不理想的。目前，一种倾向是坚持正交性。另一种倾向是放弃正交性，另辟途径，进行艰辛的长征，前仆后继，花费了将近半个世纪的探索，才使小波分析理论成熟起来，得以在工程中应用。作为后人，我们要忠心 地感谢他们。为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分 为四”，选择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。这四个函数是：尺度函数 , 小波函数-，对偶尺度函数，对偶小波函数 。为什么要选择四个函数呢？由前面小波变换的“时间一频率窗”分析可知，小波变换的“时间一频率 窗”的宽度，当检测高频信号时变窄，

15、检测低频信号时变宽。为了检测到所有 频率信号，“时间一频率窗”的宽度必须按一定的次序变化，不失一般性，从窄 到宽，检测频率信号从高频到低频的次序进行一一实际上也正是这样的次序。在最高频率水平Vn （即根据实测数据的时间测量间隔 At，最高能检测到的频率为Nyquist频率f =丄），选择最窄的“时一频窗”宽度，检测到原2加始信号中的最高频率信号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在 Wn空间, 而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间 Vn。然后，增大“时一 频窗”的宽度，再检测Vn丄空间中的高频信息，将这些信号从Vn空间中剥离， 存放在Wn/空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在

16、另一空间 Vn,。 依次类推。这就要求有两个互相有联系的空间：Vj -Vj 丄 Wj 丄=Vj= WjW 丄=W 丄 W0 W,Wj N Wj,J zz(1)V_ v0 _ y _ v2 -(2)clos l2 (V仃）2=L (IR)j izz(3)Vj =即lim Vj ='、J :izzj -(4)Vj 二Vj.丄Wj -L(5)f (X)Vj =f(2x) Vj i(6)Wj Wl二沁j-l子空间性质简介:(21)这样，对于参考子空间V。，需要单个函数L2（IR）在意义(22)V 0=clos l2( |r)： 6 k ： K ZZ上生成，其中,%k =2 2収2 j x _k

17、)(23)对于参考子空间Wo，需要单个函数Z三L2（IR）在意义Wo = clos l2（ir）' o,K ： K zz（24）上生成，其中，卄=2"（2 _k）（25）首先，这就要求有两个函数：和，前者称为尺度函数，后者称为小波函数。并且，它们肯定是有关系的。由（21）中的（1）式可知，Vo V!，由（4）式可知: Wo V!，而 k : k. ZZ是V的一个基，所以存在唯一的I2序列Pk、qk(26)(x)八 Pk (2x -k)k (x) f qk (2x-k)( 27)k并引入记号P(z)J PkZk2 kQ(z) qkZ2 k(28)(29)（26）称为尺度函数的“

18、两尺度关系”，（27）称为小波函数的“两尺度关 系”，P（z）称为尺度函数©的“两尺度符号”，Q（z）称为小波函数屮的“两尺度符号”为了由高频到低频逐次检测到不同频率水平的信息，仅有上述两个函数是不够的。由前面分析可知，公式（17）中的小波函数与求小波系数使用的与f作 内积的函数不是同一个函数，除非使用正交的小波函数。这就要求寻找尺度函数与小波函数的对偶函数：对偶尺度函数 、对偶小波函数一，以便分解 原始信号时能求出小波系数来。对偶关系简介与(26) ( 29)相对应，有(x)八 g/ (2x k)k叭x)=2； h馬(2xk)kG *(z)=J g；zk2 kH z)=h/zk(3

19、0)(31)(32)(33)为了满足对偶关系，必须满足以下对偶条件:M p,Q (z) M Tg,h (z)MTG'H(z)MpQ(z)=f 01与(34)、( 35)等价的条件是P(z)G (z) - Q(z)H (z) =1P(z)G ( _z) Q(z) H (_z) = 0P(z)G(z) P(-z)G(-z) =1P(z)H (z) +P(_z)H (z) =0G(z)Q(z) G(z)Q(z) =0Q(z)H (z) Q(-z)H (z) =1:p,q(z) = det M p,q(z)- 0(34)(35)Z=1( 36)Z=1( 37)Z= 1(38)也G,H (z)

20、= det M g,h (z)式0Z = 1(39)其中，G(z)为G *(z)的共轭，H (z)为H(z)的共轭,M P,Q (z)=P(z)Q(z) 11p(z)Q ( -z)-M G,H (z)=_G(z)H (z)£(z)H (z) 一由(36)和(38)便可以得到的基到V。和Wo(40)(41)中的基分解关系:其中(43)(44)(45)(46)1 DU"2x-l) ' g2k 丄,x-k) h2k-：(x-k)f ( 42)2 k =jo0由(42)式便可得到j _1频率水平子空间Vj和Wj中向量坐标的分解算法Cka l _2k Clld!丄工為bCij

21、i1an = g2_n根据两尺度关系，便可得到j频率水平子空间V j中向量坐标的重构算法C kpk _2 l C /q k _2 l d ll(47)有了上述的系数，就可以使用多分辨分析的金字塔算法，快速求岀小波系数d . k。以三次样条函数尺度函数 三N”为例，说明其步骤。j , k4'1将f (x)投影到'Vn /上n2 丄f (x)7 c： "(2n X k)二 fnk -02小波分解算法(48)使用多分辨分析的金字塔算法n -1n 2n -mddd/ / /nn _1n _2n _m c > ccj j cka l _2k clld k = "

22、 bl Qc/l(49)(50)fn二gn -1gn-2gn_3'gnum' fnfj=zkCkj(2j x -k)gj=xkdkjS(2j x -k)而gn、hn是符号多项式G (Z)、H (z)的系数(51)(52)(53)(54)G(Z)=S gnZn "(j E2？2 n2E2m(Z )1H(z)='、n1 1 - z m (2m 1)!hnZ- -Z-()-2E 2m 1 (Z )E2m 丄=(2m - 1)!2n 2 k' N2n(k 1)Z(55)(56)k _03小波重构算法n _2d -n _md _n 2c n _m c _C!-

23、v IpkiC qidjll在我们研制的小波分析软件“XIAOBO ”中，使用的是三次样条函数尺度函数：.：4三N4及三次样条小波（B-小波）-：4（X）。(57)三次样条小波- 4（X）' 4(x) =、qnN4(2x 一 n)n其中qn23N8(n +1 I)，(n = 0,1,2,10)(58)m阶样条函数Nm（x）的定义是1m 丄（X t）dt 0N 1是区间0， 1的特征函数。Nm(x) =(Nm 丄 N=N(59)（60）三次样条小波具有连续、紧支撑、广义线性相位和半正交的性质。三次样条小波是C2阶连续，用它模拟一个信号，二阶导数都是连续的，精度极高。三次样条小波支撑区间为

24、0，7，三次样条尺度函数支撑区间为0，4 三次样条小波是对称函数，因而具有广义线性相位，滤波不会失真。唯一不足的是三次样条小波不是正交的，只是半正交的，在小波分解中， 求小波系数必须使用其对偶小波二，对偶小波二的傅立叶变换为?4()(1)?40 ')(61)(62)-?4(心亠 2二k)k :小波分类简介1 正交小波正交小波的两个族 ©j,k与如j,k满足:< l,k,l > = -kl< s,r,i> =:0(3)<r,k,*,m>=:门,l；k,m(4)L (IR)二-二W丄二Wo二Wi二用振动的语言形象的比喻：心j,k 是Vj屮 子空

25、间的低阶振型，:j,k/是Vj 1子空间的高阶振型，Wj _Vj , Wj_Wk,(j=k)2半正交小波半正交小波的四个族他,k 、如j,、$,与够j,满足：J j ,1 :; k,m(1) <屮 j,k W,m> =j,k, ''j,m >=:-'-k ,m(3)"j,k1l,m> =0, < Wj,kVl,m> = 0 , jHI ; j,l,k,m ZZ(4)j,k '是 Vj 1子空间的低阶振型的线性组合，即低阶剩余模态。(5)°,k 堤 Vj 1子空间的高阶振型的线性组合，即高阶剩余模态。(6)W

26、j =Vj ,Vj，Wj _Vj(7)L (IR)二-二 W 1 二 W° 二 W二3 R-小波R -小波的如j,与帆,k 满足:屮 i k m > =j,k) l, mj ,1 :，k,m2 ,(2) L (IR) = -W ± - W0 - W、-正交性都是相对于对偶来说的，本身都不是正交族，只是线性无关族。神奇的小波分析为了检验小波分析的能力，在实测数据中叠加上一个低频、幅值为原始最大幅值的十分之一的正弦拍波，经过小波分解，在 27和26两个分辨率水平下都检测到了这个波，尤其是26检测到的正弦拍波曲线，如荷花"出污泥而不染”(三)正交小波包与双正交小波

27、包分析从上面介绍的多分辨分析的金字塔算法进行小波分解可以看到，每次分解，都是对V进行的：对Vj进行小波分解，将Vj分解为Vj4和Wj；再 对V丄进行小波分解，将Vj分解为Vjd和Wjd，依次类推。而各子空间Wj不再分解，也就是说，每次都是对低频进行再分解，而高 频不再分解！究其原因，便是 y的基向量©(2x -I)至U Vo和Wo基© (x-k)、屮(x-k)有 分解关系(42),而W、的基向量t(2x-l)没有相应的分解关系。事实上，(2X-I) 与'(xk)、-： (x 7)是线性无关的！显然，咼频的时间一频率局部化不是最优的。为了克复这个缺点，必须使 用小波包

28、的分解方法。无论正交小波包还是双正交小波包，与小波的最基本的区别在于它们具有qn =( -i)n P(63)的关系根据这个特殊的正交的两尺度关系，可以定义关于尺度函数叽=的“小波包”：I -2i （x）:二為 Pk 叫（2x _ k）*k（ 64）卩 2i+（x）：=送 qk 出（2x _k）k并且，小波包族/ 具有下属正交性：<5(X 1), ln(X k) > =；-i,k(65)<-2n (x - l )-2n j ( x - k) > = 0(66)因此有分解关系：0 1U j Vj , U j 二Wj(67)小波分解中的关系Vj 4 =Vj 二 Wj（68）现

29、在可以改写作U 04.二U 0 二 U 1（ 69）并且，（69）式可以由 n =0推广到任意一 n ZZ :(70)(71)(72)(73)u ni =u2n =u2n1叫（2 ' 1 x _m） =' Pm/k Jn （2 ' X - k） * Gm/k "2n 八2' X - k）2k这样，对于正交小波的小波分解得到的2 _ _ _ _L（IR）二-W二 W0 二 W4 二对于每个j =1, 2, 3, 可以用小波包再分解：123 Wj =U j =U jA U j44567Wj 二Ujd 二 Ujd 二 Uj/ 二 Ujd2 j *二 u 0

30、二二 u双正交小波包与正交小波包类似，略去。（四）向量分解小波包简介上面介绍了正交小波包与双正交小波包分解，与小波分解的最基本的区别 在于它们具有（63）式Gn = （T）n P j 1因而导出了正交小波包和双正交小波包的分解。正如前面提到的，小波分解与小波包分解的共同点，都是高频空间的基向 量能向低频空间的基向量分解，若不能分解，便进行不下去。如小波分解中，Wj 的基向量 "2jx_l）没有相应的分解关系，所以Wj不能再分解。小波包克服了 这种弊病，得到了各子空间都能适用的基向量分解关系式（71）,才解决了这个问题。我们能不能跳出基向量能分解才能分解的框框呢？即，基向量不能分解时

31、也能分解？答案是肯定的。 这就是向量分解小波包 的理论。现在，让我们从小波重构关系式（47）C：=送 bkC|J+qkid|J 丄,kb,2,3,;Ml出发，导出向量分解小波包的理论。首先，将（47）改写为矩阵的形式：出沌二P L £儿儿：+ Q 1号Hd儿：（74）2 2其中，矩阵P、Q1由两尺度序列 、q冲的数组成。我们把矩阵I.P、Q啲 每一列，看成向量空间的一个向量，把心M!也看成向量空间的一个向量，那么， 就是这些矩阵P】、Q啲列向量的一个线性组合：MM22cM 注=ZckApk +Z dkik（75）k±k4问题是，这些矩阵P I、Ql的列向量是否线性无关？由分

32、解等式（43）和（44） 可知，当GM 1为零向量时，cF“ ,=o , k=1,2,3，M，这就得出了矩2阵P 1、Q啲列向量是线性无关的结论。因此，可以把矩阵中的M个列向量看成M维向量空间的一组基。找到了 M维向量空间的一组基，就可以对任一 M维向量进行分解，找出在 这组基下的坐标。只要认准被分解的对象是 M维向量空间的一个向量，而不是再看做 v或 w中向量的坐标。这样，在小波分解中，不仅得到各频率水平的坐标 心可按原来的步骤和 方法进行分解，而且得到的各频率水平的坐标也可按向量分解的理论进行再分解，并且分解的步骤和方法可以和对坐标 上进行再分解的完全一样。可能有人会产生疑问：前面讲到，v

33、 n w二°,现在w中的向量怎 么又变成V中的向量呢？其实，这里使用了 “移花接木”的技巧。我们现在是对 W中的向量g分 解，这是千真万确的。但，是通过对其坐标的分解来实现的。也就是说，要求的是G等于什么？而不是W中的向量g等于什么？W中的向量g等于g =（76） 既然要求的是Cd等于什么，而不是g等于什么，不妨“移花接木” 一下，把 拿来，虚构V中一向量x ,X = &.d（ 77）不就可以对X进行分解了吗？反正在分解过程中，使用的是 迢?、心，求 的是新的c和记爲而x根本就不出现，管它是什么样子呢！只要保证分解后低 频与高频分离即可。既然£ 分解，低频与高频能分

34、离，那么，小分解，同样低 频与高频可以分离的。其实从（74）式中两个矩阵Ip 、Q 的组成，都是两尺 度序列r ?、g冲的数，仔细分析一下，不难看出，P冲的列相当于低阶振型， Q中的列相当于高阶振型。以后的工作和小波包的分解类似，只不过这里是直 和分解，不是正交分解罢了。前面曾提到，小波分解的第一步，将f（x）投影到匕！上（见公式（48）。由于投影到Vn 上求小波系数要解方程，很费时间，所以，好多书上都说，可 以近似地把原始数据作为小波系数， 误差不大。用向量分解小波包的理论来看， 这并非是近似的，而是精确的！事实上，使用上面“移花接木”的技巧，虚构Vn中一向量xx 二 f（78）/是原始数据组成的向量。那末， 汀怀就是Vn中的向量x的坐标心吗？只要 对它进行分解与重构就得了，而且，重构后，也用不着通过（ 78）式求x，重 构得到的，就是原始数据组成的向量:f ?，两头省！当然，我并非反对投影，而且在捕捉突变奇异信号时，最灵敏的方法是利 用导数确定，投影到Vn 上先求出作为的Vn中的向量（fn?的坐标能得到快速 的求导方法。但这是另外的问题了。有了向量分解小波包新理论，可以在分解过程中，把各种小波组合到一起， 例如，求 fN时，可以用三次样条小波，