梯形与重心例题

1、类型一：梯形中的辅助线仙1、（ 2010 北京）已知：如图，在梯形abcd 中，ad/bc , ab=dc=ad=2 , bc=4。求/ b 的度数及 ac 的长。 翕思路点拨：平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形。解法一：过a 点作 ae / dc 交bc 于点 e. ?/ ad / bc, ?四边形 aecd 是平行四边形 . ad=ec , ae=dc .ab=dc=ad=2 , bc=4 ,ae=be=ec=ab .可证 bac 是直角三角形， abe 是等边三角形 . / bac=90 。，/ b=60 ?/ fc=3 , 由勾股定理，得/ b=60 总结升华：在用平移线段的方

2、法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角在 rt abc 中,曲二尿2?/ b=60 解法二：分别作af 丄 bc, dg 丄 bc , f、g 是垂足 , ?/ afb= / dgc=90 .?/ ad / bc, ?四边形 afgd 是矩形 . ?af=dg .?/ ab=dc .?rt afb 也 rt dgc .?bf=cg .?/ ad=2 , bc=4 ,?bf=1 .在 rt afb 中，?/ 2bf=ab ,?/ b=60 .x _ dbf=1 ,线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决; 举一反三：【变式 1】（平移对角线）已知梯形abcd 的面积是

3、32, 两底与高的和为16, 如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_ 【答案】梯形abcd 中，ad / bc , bd 丄 bc . 设 ad=x , bc=y , db=z , 由题得：x+y+z=16 ,abcd ：_ （x + y）?j 列2, （熟记梯形面积公式）解得 x+y=8 , z=8 ,过 d 作 de / ac 交 bc 的延长线于 e. ?四边形 adec 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）? de=ac , ad=ce . （将“上底 +下底”转化到一条线段上）在 rt dbe 中，/ dbe=90 , be=bc+ce=x+y=8 , bd=8

4、,?/ ac=de ,【变式 2】（过顶点作高）已知 ab=bc , ab / cd, / d=90 , ae 丄 bc . 求证： cd=ce . 分析：这是一个直角梯形，通过作cf 丄 ab，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明cd=ce 的目的 . 证明：如图，连结ac , 过 c 作 cf 丄 ab 于 f. 在厶 cfb 和厶 aeb 中，（这是直角梯形中常见的辅助线）zcfb-zaeb = 90z ：e娜應宜bcd? a 、d 两点到 bc 的距离相等 . 即_- 中 bc 边上的高与dbc中 bc 边上的高相等-_n-u_. （等底等高）说明

5、 本题中，我们也可以用丄二 和】一丄的面积相等，推出laob和kcod的面 积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用【变式 2】如图 , 已知： ad 是的平分线，（1） 求证：四边形adce 是等腰梯形 .（2）若 lk 的周长为 乂： 处，求四边形 adce 的周长 .b证明: （1）：ab ii ed（已知），?_-1-（两直线平行，内错角相等）又? lbad二acad（角平分线定义），（等角对等边）?二一（已知）丄丿丄即丄 j ?_上 j 上 （等边对等角）（对顶角相等）?_工一匸?一 i 上 （内错角相等，两直线平行）而一：二?四边形 adce 是梯形又?

6、- . j f-二.二? 一二丄（全等三角形的对应边相等）.?四边形 adce 是等腰梯形解：（2）：四边形adce 是等腰梯形?亠 二，?梯形 adce 的周长ad+ec+ae+dc=ad+ce+6 而 j 的周长ad+dc+ac = 16 ? 一 一二二?/ 丄1二 . ? .1.： .1：二梯形 adce 的周长1- 一说明等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决. 类型三：有关梯形的作图问题爲3. ( 2010 江苏连云

7、港 ) 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线. 女口，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线. 商(1) 三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 _ ?(2) 如图 1, 梯形 abcd 中，ab/ dc, 如果延长dc 到 e，使 ce = ab, 连接 ae, 那 么有飞炷匸 7 】请你给出这个结论成立的理由，并过点a 作出梯形 abcd 的面积等分线(不写作法，保留作图痕迹 )；(3) 如图，四边形abcd 中，ab 与 cd 不平行 , 边形 abcd 的面积等分线？若能

8、，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由. 思路点拨：注意梯形的辅助线中，连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，可以构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换。【答案】：(1)中线所在的直线(2)法一：连接be，因为 ab / ce,ab=ce ，所以四边形abec 为平行四边形所以 be / ac 所以 abc 和厶 aec 的公共边 ac 上的高也相等嗨觀曲d =込mcd+ “c*=心tmd+応遊=応在戲法二：设ae 与 bc 相交于点 f因为ab / ce,所以-ecfr/.baf = /.cef 又因为 ab=ce 所以一二 _】过点 a 的梯形 abcd 的面积等分线的画法如图

9、1 所示 ag 为 aed 的中线，过点 a 能否作出四所以能?连接 ac,过点 b 作 be / ac 交 dc 的延长线于点e,连接 ae. 因为 be / ac,所以 abc 和厶 aec 的公共边ac 上的高也相等所以有 -亠丄嗨觀曲d 込在血+辽遊二e在曲d +诅込在霊b因为 所以面积等分线必与cd 相交，取 de 中点 f则直线 af 即为要求作的四边形abcd 的面积等分线作图如图 2 所示总结升华：总结把四边形转化成与它面积相等的三角形的方法。举一反三：【变式 1】已知：如图， abc 中， acabbc . 在 bc 边上确定点p 的位置，使 / apc= / c . 请画出

10、图形，不写画法；(2)在图中画出一条直线, 使得直线 ?分别与 ab、bc 边交于点 m、n , 并且沿直线 ?将 abc 剪开后可拼成一个等腰梯形 ?请画出直线 .及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法. 说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图. 【答案】：(1)简案见图 4 (任选一种即可 ). (2)答案见图 5. 剪拼方法：取ab 的中点 m, 过点 m 作 ap 的平行线 ?，与 bc 交于点 n，过点 a 作所以a aecbc 的平行线，与 ?交于点 h，将 bmn 绕点 m 顺时针旋转 180 到厶 amh ，则四边形 acnh为拼接后的等腰梯形. 【变式 2】如图，梯形纸片abcd 中，ad / bc , ab丰dc . 设 ad=a , bc=b . 过 ad 中点和 bc 的中点的直线可将梯形纸片abcd 面积分成面积相等的两部分. 请你再设计一种方法：只须用剪刀剪一次将梯形纸片abcd 分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法. 她二姑 +占)【答案】：方法1 : 取_ ，连结 am . am 把梯形 abcd 分成面积相等的两部分 . 如下图。方法 2 : (1)取 dc 的中点 g, 作 g 作 ef / ab，