第四节幂级数46071

1、第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的基本性质三、幂级数的基本性质 幂级数 四、泰勒级数及其应用四、泰勒级数及其应用一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设设 121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间为定义在区间 i 上的上的函数项级数函数项级数 .对对,i0 x若常数项级数若常数项级数 10)(nnxu敛点敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数 10)(nnxu为定义在区间为定义在区间 i 上的函数上的函数, 称称收敛收敛,发散发散 ,所有所有0 x称称为其

2、为其收收 0 x称称为其为其发散点发散点, ),2,1()( nxun发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 ,)(xs称它称它为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成)()(1xuxsnn 若用若用)(xsn表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即)()(1xuxsnkkn 则在收敛域上有则在收敛域上有,)()(limxsxsnn 例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是它的收敛域是,)1,1( ,11,(）， 及 nnnxxxx201xxnn 110它的发散域是它的发散域是或写作

3、或写作.1 x又如又如, 级数级数,)0(02 xnxxnnn,)(lim xunn级数发散级数发散 ;所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为.1 x,)1,1(时时当当 x有和函数有和函数 ,1时收敛时收敛当当 x,10时时但当但当 x二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如形如 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列),1 , 0( nan下面着重讨论下面着重讨论00 x 0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 幂级数幂级数1,110 xxxnn为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形

4、即是此种情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0称称 定理定理 8.9 ( abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数 0nnnxa,0点收敛点收敛在在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 , 则对满足不等式则对满足不等式幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的区间中心的区间. 用用r 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收

5、敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则r = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;r = 时时,0 r幂级数在幂级数在 (r , r ) 收敛收敛 ;(r , r ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.r 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在r , r 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .rx外发散外发散; 在在(r , r ) 称为称为收敛区间收敛区间.ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散xaaxaxannnnnnnn 111limlim定理定理8.10 若若 0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1 nnnaa;1 r; r.0 r证

6、证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1 x 原级数收敛原级数收敛;当当,1 x 原级数发散原级数发散.x 即即 1 x时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,即即时时,则则 1 x2) 若若, 0 则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,; r绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若, 则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,.0 r对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1 r 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1lim nnnaa

7、r对端点对端点 x =1, 1lim nnnaar nxxxxnn 132)1(32的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11 nn11 对端点对端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数,1)1(11nnn 收敛收敛; 级数为级数为,11 nn发散发散 . . 1,1( 故收敛域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 lim n 例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1) limlim1 nnnnaar!1n)1(lim nn 所以收敛域为所以收敛域为.),( (2) limlim1 nnnnaar!n!)1

8、( n11lim nn0 所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1! )1(1 n例例3.nnnx2021 求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比较判别法求收敛半径比较判别法求收敛半径. lim)()(lim1 nnnnxuxu121 nn21221limxn 221x 1212 x当当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .2 r2 x即即1212 x当当2 x即即)1(2 nxnx2故直接由故直接由 11121 nx时，原幂级数化为时，原幂

9、级数化为又当又当)2,2( 因因此此，收收敛敛区区间间为为发散发散例例4. 12)1(nnnnx求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn 121 nnnnaarlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11 nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,)1(1 nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,22 t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212 x即即.31 x三、幂级数的基本性质三、幂级数的基本性质定理定理 8.1

10、1.xna,xnaxannnnnnnnn敛敛区区间间有有相相同同的的收收敛敛半半径径和和收收与与幂幂级级数数 011101定理定理8.12 若幂级数若幂级数nnnxa 0的收敛半径的收敛半径,0 r)(xs数数 nnnxaxs0)(,11 nnnxan),(rrx xxaxxsnxnnxdd)(000 ,110 nnnxna),(rrx 则其和函则其和函在在收敛域上连续收敛域上连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.例例5

11、. 1nnxn求幂级数求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发,)1,1(时时故当故当 x 1)(nnxnxs 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xs 11nnxnx 1nnxx散散,的的和和的的和和函函数数，并并求求级级数数求求幂幂级级数数例例 1111)1()1( 6kknnnkxn(-1,1)x ,)1(x11 1 nnnx由由解解(-1,1)x (-1,1)x , )1ln()1( 11 nnnxxn即有即有 11)1(1xnnn，于于是是有有时时，得得收收敛敛的的交交错错级级数数当当 )1ln( x知

12、知 xdxx011 00)1(nxnndxx 011)1(nnnxn , )1(11 nnnxn 11)1(nnn2ln)1(111 xnnnxn例例7. 求级数求级数 01nnnx的和函数的和函数.)(xs解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数时级数且且1 x 01)(nnnxxs xnnxxx00d1 xxxx0d111)1ln(1xx ) 10( x1 x及及收敛收敛 , 有有时时则当则当,0 x 0111nnnxx xnnxxx00d1)1,0()0,1 x因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得: )(xs而而)0(s,1)1(lnlim0 xx

13、x,)1ln(1xx ,10 x,1 )(rr)rr)r(s201(r 420111(11111522 万元万元知知由例由例?521(, 8钱钱入银行多少入银行多少问老板应在签约当天存问老板应在签约当天存的年复利的方式计息的年复利的方式计息以以假定银行存款假定银行存款万元万元年末支付给明星或后代年末支付给明星或后代在第在第合同规定俱乐部合同规定俱乐部部签订一项合同部签订一项合同某足球明星与一个俱乐某足球明星与一个俱乐例例,%),nnn 总数为总数为则应在银行存入的本金则应在银行存入的本金万元万元年支付年支付若规定第若规定第为年复利率为年复利率设设解解),1,2,(nnn,5%r nnn)r(n

14、)r(r)r(n11211121考虑如下的幂级数考虑如下的幂级数和和为求出这一数项级数的为求出这一数项级数的, nnnnxxxnx212),x(snx).,(r),nn的和函数的和函数幂级数幂级数若求出若求出因此因此时时当当该幂级数的收敛域为该幂级数的收敛域为 1,1111,201r11(,)r(s和和即为所求的数项级数的即为所求的数项级数的则则 11四、泰勒级数及其应用四、泰勒级数及其应用求下列幂级数的和函数得求下列幂级数的和函数得)x()xln(nx)(nnn111111 nnn)xx(a)x(f00 就是说函数就是说函数 f (x) 在其收敛域内能展开成幂级数在其收敛域内能展开成幂级数.

15、 .问题问题: :3.3.展开式是否唯一展开式是否唯一? ?1.1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? ?是什么？是什么？数数如果函数能展开成幂级如果函数能展开成幂级na,.2等式反过来写即为等式反过来写即为 )(0 xf )(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f (x) 的的泰勒级数泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在在由定理由定理1 1知，若函数知，若函数f(xf(x) )能展成

16、幂级数，则其幂级数展开式必为能展成幂级数，则其幂级数展开式必为泰勒级数泰勒级数定义定义1 1例例1 1 求的求的xe)x(f 麦克劳林级数麦克劳林级数 n2x!n1x21x1 麦克劳林级数为麦克劳林级数为解解定理定理8.13.)()()(,)(0时极限为零时极限为零当当的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项必要条件是必要条件是级数的充分级数的充分在该邻域内能展成泰勒在该邻域内能展成泰勒则则阶导数阶导数的某邻域内具有任意的某邻域内具有任意在点在点设函数设函数 nxrxfxfxxfn)48(.)()(,)()(000 nnnxxaxfxxxf即即的幂级数的幂级数能展开成能展开成如果函数如果函数.)(

17、!10)(且展开式是唯一的且展开式是唯一的则其系数为则其系数为xfnann 即即内收敛于内收敛于在在因为因为),()()(000 xfxuxxannn ,)()()(0010 nnxxaxxaaxf )()!1(!)(01)(xxananxfnnn 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次, ,得得即得即得令令,0 xx )58(), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的, ,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的所以所以xf12221215312 212 12115131 mmmmmx)!m()mxsin()x

18、(r)x(rx)!m()(x!x!xxsin 其中余项其中余项阶阶的的麦麦克克劳劳林林公公式式的的求求函函数数例例m2nxsin)x(f 2),n)nxsin()x(f)n(210( 2 由于由于解解),k)()(f),k)(fk)()(210( 10 321( 00 12k2k 所以所以阶阶的的麦麦克克劳劳林林公公式式为为的的于于是是函函数数mnxsin)x(f2 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步展开成幂级数的步函数函数)(xf第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值处的值

19、;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 r ; 第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(r, r) 内内)(limxrnn 是否为是否为骤如下骤如下 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式0. 的函数展开的函数展开例例3. 将函数将函数xexf)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: ,)()(xnexf ),1,0(1)0()( nfn1其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 )( xrn e! )1(

20、n1 nxxe ! )1(1 nxn故故,!1!31!21132 nxxnxxxe nrlim!1n! )1(1 n n0),( x( 在在0与与x 之间之间)x 2!21x 3!31x nxn!1故得级数故得级数 例例4. 将将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: )()(xfn )0()(nf得级数得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为其收敛半径为 , r对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 )( xrn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3!31x 5!51x 12! )12(11)1(nn

21、nx),( xxsin n0kn2 ,)1(k ,0 12! )12(115!513!31)1(nnnxxxx nnxnxxx2142! )2(1)1(!41!211cos),( x2. 间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例5. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为 nnxxx)1(12)11( x把把 x 换成换成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 间接展开法：间接展开法： 根据唯一性根据唯一性, ,

22、 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过通过变量代换、变量代换、 四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、 逐项求导、逐项求导、 逐逐项积分等方法，求展开式项积分等方法，求展开式. .例例6. 将函数将函数)1ln()(xxf 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分, 得得xxxxnnnd)1()1ln(00 ,1)1(01 nnnxn定义且连续定义且连续, 区间为区间为.11 x11x11 x上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,有有在在而而1)1ln( xx所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛例例7.arctan的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数xx解解),(x,x)(xxxnn1111112422 因为因为,x,xn)(xarctannnn11121012 则有则有处收敛处收敛在在且且,112)1(012 xxnnnn,1arctan点连续点连续在在由于由于 xx)1,1(,12)1(51311253 xxnxxxnn xttx021darctan例例8. 将函数将函数)2)(1(1)(xxxf展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.2111)(xxxfxx211102111nnxxxx)1,1( x0)2(2121121nnxx012