如何巧解初中数学竞赛题

1、- 1 -如何巧解初中数学竞赛题我们知道，数学竞赛题，对于初中生来说，是非常困难的。由于数学竞赛题的难度大、题型新，知识面比较广，解法巧妙，所以，广大初中学生在看见试题时，心里一下就慌忙起来，不知如何下手，对竞赛题，视之为猛兽。下面我根据竞赛题的特点，探讨一些做竞赛题的方法，供大家参考。首先，要精心审题，弄清题意，抓住其基本环节。细心审题是能否解题的关键之一。我们在审题时，做到以下几点：一要通读全题，充分理解题意，不要片面。二要抓住题目中的关键字词，仔细、认真地研究，不要粗心大意。三要弄清已知条件和结论之间的关系，不要将已知和结论孤立起来。四是努力联系所学知识，把握准关键。这里所说的“基本”，

2、指的是我们要从基本题做起，研究并掌握其基本方法和技巧，记住一点基本要领。例1证明：任意五个连续自然数的平方和一定不是一个完全平方数。分析：设五个连续自然数分别为n2，n1，n，n1，n2，平方和 s （n2）2 （n1）2 n2 （n1）2 （n2）25（ n22） ，s中有 5 个这个因数。如果s 为完全平方数，则n2 一定是 5 的倍数，即 n2的未位数只能是3 或 8，但自然数的平方的末位数字只能是0、1、4、5、6、9 中的一个，不能是3 和 8，发2生了矛盾，故s不能是完全平方数。证明：略。点评：分析时，必须抓住完全平方数和自然数的平方的末位数字之间的本质特征，此本质物征是完成此题的

3、关键。例 2、设abcd1。 求证：11111ddadabdccdcdacbbcbcdbaababca分析：由于四个分式的分母是异分母，因此，必须化它们为同分母，才能相加。结合已知条件，不妨将后三个分式的分子、分母分别乘以 a 、a b 、a b c 后，可得同分母，即：原式11111111aababcaababcaababcabcdaababcabcaababcabaababcaabcabcdabcdaabcdababcdababcbcdaaabcdabcaababcabcdabaababca证明：略。点评：本题的关键是化异分母为同分母，最后的分式的分子、分母相同约分得1。联系已知条件，抓住

4、同分母这个本质特征，找到变化规律，是本题的“基本”之所在。然后、要仔细观察题目的特点，全面进行分析，找到入手点和突破点。例 3、设13)(21yxyx，求 x 和 y 的值。3分析：本题是一个方程，两个未知数，要求x 与 y 应联想到化此方程为两个非负数的和为零的形式，利用非负数的性质，得到两个方程构成的方程组， 从而求出 x 、 y。 首先方程两边乘以2 得：x y 23x21y、要化成平方形式。按照完全平方式的特点，构成：, 01121132322yyxx即0111322yx，得011013yx有04yx. 解：略。点评：本题应紧紧地抓住一个方程求两个未知数方法：必须化一个方程为两个非负数

5、的和，这是入手点；利用非负数的特点，构造方程组求值，这是突破点知道了这些，此类题目不难求得。例 4、已知、 x22 y21、求 2 x5 y2的极大值与极小值。分析：要求出 2 x5 y2的极值，就必须弄清 x 与 y的取值范围：由题目已知x1222y，有 x12122y，得 11x。又由题目 x22y21，有 y22121212x，得2222y。令 w2x5y2，则 w2x22)52(252)1(5xx1029。由函数的性质知w 的抛物线开口向下，在自变量11x的范围内，当x52时，y102，w最大1029。当 x 1 时，代入 x22y21 中, 4有 y 0 ，w最小 2(1)502 2

6、 解：略点评：本题是求式子2x5 y2的极值，于是联想到函数的知识，求出 x、y 的取值范围，结合已知条件，就不难求出2x5 y2的极值了。研究题目已知条件是入手点，结合函数知识是突破点。其次，抓住难点，反复推敲。竞赛题的难度大，这是大家的共识。难在什么地方呢？这又要因人，因题而异，但是抓住难点，反复思考，是可以求出的。例5a表示不大于 a的最大整数。如 2 1,22, 那么方程21213xx的所有根的和为多少？分析：令 t3x1 按a的规定，有03 x 1t1 ,原方程为 t2x21，即：x21t41代入上面的不等式有014723tt，解得2327t，t2,或 3，则 x 434121t或

7、45， 2)45(43。点评：本题难在引入了一种新的运算，我们必须适应这个新概念，充分利用这个概念，是完成此题的关键。例 6：对任意实数 x、y,定义运算 xyaxbycxy，其中a、b、c 为常数。等式右端中的运算是通常的实数的加法，乘法运算。现已知123、234，并且有一个非零实数d，5使任意实数 x 都有 xdx，则 d 为多少？分析：根据题设有a2b2c3,2a3b6c4, axbdcdxx, 在中因为 d0 故取 x0，则 b0，取 x1，有acd1，再根据有a5， c1,所以 d4。点评：本题的难点是引入了新运算，它实质告诉了x yaxbycxy 的两个方程，、，并且题设中对任意实

8、数x,在 d0时都有 xdx 的理解，是告诉方程，并取特殊值x0，x1，求出方程 acd 1 这个隐含条件，从而得a、 、b、 c、 d 的值。最后，要思维严密，注意推理。由于初中生的推理能力薄弱，综合能力较差，所以学生在做此类题时，难度很大，不少的竞赛题都在考察逻辑思维能力，根本没有什么现成的公式可以引导，所以，要求学生在运用所学知识的同时，必须注意思维的严密，不要漏掉些关键的环节。例 7、有一长、宽、高分别地正整数m、n、r 、 （m n1）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1 的正方体，已知不带红色的正方体的个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得2005。求 m、

9、n、r 的值。分析：由于、 m、 n、 r 都是正整数，所以在正整数的范围内讨论 m、 n、 r 的值 。（1） 当 m1 时，不带红色的和一面带红色的正方体的个数均为 0，两面带红色的正方体个数为(n2) (r2) ，于是， (n2) (r2)20055407，6于是2005212rn401252rn，所以200731rnm40371rnm（2）当 m2 时，不带红色的正方体的个数是0，一面带红色的正方体个数为2（m2） （r2） ，两面带红色的正方体的个数为4(m2)4(r2)。所以， 4(n2)4(r2)2(n2)(r2)2005，此方程没有整数解。（2）当 m2 时，不带红色的正方体个

10、数为(m2)(n2)(r2)，一面带红色的正方体的个数为2(m2) (n2) 2（n2） （r2）2（m2） （r2） ，两面带红色的正方体的个数为：4(m2)4(n2) 4(r2)。所以， 4(n2) 4(r2) （n2） （r2）2005 此方程没有整数解。（3）当 m3 时，不带红色的正方体个数为(m2)（n2） （r2） ，一面带红色的正方体的个数为2 (m2) (n2) 2(n2)(r2)2(m2) (r2)，两面带红色的正方体的个数为：4 （m2）4（n2）4（r2） ，所以(m2) (n2) (r2)4(m2) (n2)(r2)2(m2) (n2) (n2) (r2) (r2) (m2)2005. 即：(m2)2(n2)2(r2)282005. 7(m4)(n4)(r4)199711997. 由199741414rnm199741414rnm得200133rnm200155rnm所以，符合题意的m、n、r 共有 4 组。点评：本题应抓住m、n、r 均是正整数这个条件，在此条件下，分类讨论，找出所有符合条件的情况，在做到不重不漏，同时，在推理过程中，必须使思想清晰，理解所切