微分几何试题库

1、微 分 几 何、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ V）2、二阶微分方程 A（u,v）du2 2B（u,v）dudv - B（u,v）dv2 =0总表示曲面上两族曲 线（：）3、若r（t）和s（t）均在a,b连续，贝U他们的和也在该区间连续（ V ）4、 向量函数認具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，TTs（t）的微商与s（t）平行（X ）5、等距变换一定是保角变换（：）6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的.（：）7、常向量的微商不等于零（X ）8 螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（1, 0, 0）的切线为 X=Y=Z （ X ）9、 对于曲

2、线s=s（t）上一点（t=t。），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（X ）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ V ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（V ）12、单位切向量的模是1 （ V ）13、 每一个保角变换一定是等距变换（X ）14、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（：）15、 坐标曲线网是正交网的充要条件是F = 0，这里F是第一基本量.（：）、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t，在点(1, 0, 0)的法平面是y+z=0,“b18设给出c1类曲线：r =r(t) ,a Q兰b.则其弧长可表示为fjr

3、t) dt斗兀119、已知 r =cos3 x,sin3x,cos2x, 0 ： x ： ，贝U 3o$,4x25sin x,cos x,0,14cos x, -4sin x, -3,6 8,-=-25sin 2x25sin 2x20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进 曲线。21、 旋转面r= ®(t)cos日,®(t)sin日，即(t),他的坐标网是否为正交的 是 傾“是”或“不是”).22、 过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的法线线.23. 任何两个向量p,q的数量积p q = p qcos(pq)24、 保持曲面上任意曲线的长度不

4、便的变称为等距(保长)变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”).26若曲线(c)用自然参数表示r二r(t),则曲线(c)在P(s。)点的密切平面的方程是27. 曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28. 杜邦指标线的方程为Lx2 2Mxy Ny2二1 29、已知曲面r =ucosv, usinv,6v , u 0 , 0乞v ,则它的第一基本形式2d Ui (3 6 )d2v,第二基本形式为12 dudv ,高斯曲率.u2 36,平均曲率H =0,点(1,Q0)处沿方向du:dv = 2的法曲率孟后,点 (1,0,0)处的两个主曲率分别为6

5、 6，一37 3730、（ Coh n-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33. 求曲线x=tsint,y =tcost,z =tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：r =tsin t,tcost,tet,在原点处t =0在原点处切平面的方程为：即 X Y - Z =0法平面的方程为：即Y Z = 0切线方程为34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。解设 r =u,v, u3 -v34422r r122则 ru=1,0

6、,3u , 5=0,1,3v , n3u2,3v2,1|ru rv|- 9u4 9v41ruu 二0,0,6 u , "0, 5 =0,0, -6v因渐近曲线的微分方程为N-6v.9u4 9v41即 udu2 二 vdv2或udu 士 “vdv 二 033_33二 渐近曲线为u2 +G或（-口尸+C235求双曲抛物面r二a（u，v）,b（u - v）,2uv的第一基本形式2 2 2 2 2E =ru ru =a b 4v ,F 二 1% rv 二 a -b 4uv,36. 计算球面 r = (Rcoscos, Rcossin :, Rsinv)的第二基本形式解：由此得到=cos co

7、s ,cousin ,sin T,又由于 所以因而得到37. 如果曲面的第一基本形式 ds22dv2 2 ,计算第二类克力斯托费尔符(u2 +v2 +c)2号.解:因为F =0,1222(u2v2c)21E 222，(u2 v2c)2所以所以Ev2E2vu2 v2 c,-122G-2uu2 v2 c2u2Eu2v2cGv .2v2Gu2 v2 c38、已知曲面的第一基本形式为I = v(du2 dv2)，v 0，求坐标曲线的测地曲率。解 E 二G 二 v， F =0， Gu =0，Ev =1u-线的测地曲率_ E. = _1_2E，G 2v . vv-线的测地曲率gv39、问曲面上曲线:的切向

8、量沿曲线:本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线】是测地线吗？为什么?答：曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的 - 1du 呻 du:石r2-ds ds曲线是测地线.1 du 2 du2记 a, a ：dsds事实上，设一：u' =u'(s) (i =1,2)，贝匸的切向量为Da1 二 da1 亠二 a'duj， Da2 二 da2 二（a'dUi,ji,j则曲线-的切向量沿丨平行移动=D- =0 = Da1二0, Da2二040. 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为r =u cosv,u sin v, bv,由于L

9、二N =0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是这是螺旋线，另一族渐近线是 这是直线.41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定 角证设丨：r=r(s)，：；(s)，则由叫I,知"=，从而n晶=0，小=0，d(”出)皿蔦+应0小=0dsds constant，即 cos'：；,： .C这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是证明必要性 设r(t)(t)e(e为常单位向量)则所以r(t) r (t)二 0充分性：r(t)(t)e(t)

10、 (e(t)为单位向量函数)则r(t)二(t)e(t)(t)e(t),因为r(t) = 0,于是(t) = 0,当r (t) r (t)三0 ,从而有即e(t)/e(t),因为e(t) _e (t)(根据e(t) =1),因此e (t) =0即e(t)为常向量，所以有固定方向43、给出曲面上一条曲率线】，设】上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角求证丨是一条平面曲线证 设Z : r = r (u,v)，】：u二u(s),v =v(s)，其中s是】的自然参数，记v - .r ,n,贝u r n =cosr，两边求导，得40-由】为曲率线知dn/dr，即迎匕，因此.蔦竺=0dsdsd s

11、d s若.=0，则】为平面曲线；若n =0，则因-为曲面匕上的一条曲率线，故d；八nd；.而4-nTro=Tn即n为常向量.于是丨为平面曲线.44、求圆柱螺线R( t) =acost,asin t, bt在t处的切线方程。3r(t)二acost,asint,bt, r (t) = -asin t, a cost, b,I”3 at 时，有 r(a,-,b.3322所以切线的方程为如果用坐标表示，则得切线方程为45、求双曲螺线r二acosht,asinh t,at从t=0起计算的弧长。r= acosht, as in h t,at,解：r =as in ht, a cosht, a从t=0起计算

12、的弧长为=jla2 sinh2 t+a2 cosh21 + adt=0 Ja2(sinh21 +1) +a2 cosh2tdt=0、a2 cosh21 a2 cosh2tdt=2as in ht.46、 求球面 r =Rcos cos，Rcossin :, Rs in 二的第一基本形式。r = R cos v cos , R cos vs in , Rs in 旺 可得出解：由 r =-Rcos)sin , Rcos)cos ,0,j - Rsin cos ,-Rsin sin ,Rcos,由此得到曲面的第一类基本量 因而47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和

13、最小值 证明 设心：:k2(如果心K2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知于是 因此 同样又可以得到由此即这就是说，主曲率k2,k!是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为I =E(u)du2 G (u )dv 2。求证：（1） u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线，当且仅当Gu（u）=O证明：u -曲线的方程为dv=O由得到所以代入刘维尔公式得因此得到u -曲线是测地线。（2）若u -曲线为测地线，由得= 0,则有2 dsc c丄c丄1 剖nG 0=00sin，1 E 却即49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为（1）空间两个合同变换的组合还是一

14、个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；（3）恒同变换I :=X|（i =1,2,3）与空间任何合同变换T的组合I T二T I =T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（u1,u2,则）所以51、 设曲线（C）:r =r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成 自然参数，则它的周期是L= f|f（t）|dt, L的闭曲线的周长.t 弋J /证明s（t +国）=r （t ） dt=【° r（t）dtr 的 dt,因为r t ，二 r t ,所以我们得到t /s（t + ）=L + |r （t）|dt = L + s（t）,所以有r s L 二rst L 二rst =rst 二rs.I正交.52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向 证明 取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是 因而单位切向量为as 二 xs,ys,zs根据微积分中值定理，存在s' °，L i使得z L Az 0 = L - 0 z g0，但是所以即a