空间向量知识点归纳总结归纳

1、空间向量知识点归纳总结知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样, umr uuu uuu r v uuu uuu OB OA AB a b ； BA OA空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图uuu r r uuurOB a b； OP 6R运算律：加法交换律：abba 加法结合律：a b c a b c数乘分配律:3. 共线向量。(a b) a b1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

2、么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a/b。当我们说向量a、b共线或a/ b 时，表示a、b的有向线段所在的直线可能 是同一直线，也可能是平行直线。2共线向量定理：空间任意两个向量a、b b工0 , a/ b存在实数入，使a = X b。4. 共面向量1定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。2 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在 实数x, y使p xa yb。5. 空间向量根本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在 一个唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb z

3、c。假设三向量a,b,c不共面，我们把a,b,&叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,代B,C是不共面的四点，那么对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序uuu uuu uuuiuu实数 x,y,z，使 OP xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组x, y,z, 使OA xi yi zk，有序实数组x, y, z叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标， 记作Ax, y,z , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标

4、。2假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1 ,这个基底叫单位正交基 底，用i, j,k表示。3空间向量的直角坐标运算律：rrr r假设a耳耳彳,b心心，那么a b bna2 bzGQ,a b (a1 r ra ba.|b|(和 a2, a3)(R),ba b2,a3 b3),b3(R),a/b ar ra b aibi a2b2 a3d 0假设 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，那么 AB 区 为小乙)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减 去起点的坐标。rr(4)模长公式：假设 a (c,a2,a3)， b (34,3)，贝S |a

5、|.a a - ai11 ,a2b2 ,a3uuu2 2 2 ra2a3 , |b| .b b(5)夹角公式：cos： a b a b,bi2b2ba2abi玄2匕2玄3鸟2 2a2|a| |b|.a, a?2 a321 b； b?2 bs(6)两点间的距离公式：假设 A(Xi,yi, Z|) , B(X2,y2,Z2), r r UUU 那么 | AB I,AB?.(X2Xi)2(y2yi)2(Z2Zi)2,或 dA,B 、(屜 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2a2b2 a3b3 ,7空间向量的数量积。(1) 空间向量的夹角及其表示：两非零向量 a,b，在空间任取一点o,作 OA

6、 a,OB b，贝y AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ;且规定0 oi,b ，显 然有a,b b,a ；假设a,b，那么称a与b互相垂直，记作：a b。2(2) 向量的模：设oa a，那么有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作： 心。rrrr(3) 向量的数量积：向量a,b，贝y |a | |b | cos a, b叫做a,b的数量积，记作 a b，即 a b |a| |b| cos a,b。(4) 空间向量数量积的性质： a e | a | cos a,e 。 a b ab 0。 | a 12 a a。(5) 空间向量数量积运算律：(a>b (a b) a( b)。ab

7、 ba (交换律)。a (b c) a b a c (分配律)。【典型例题】例i.平行六面体ABC® ABCD，化简以下向量表达式，标出化简结果的向 量。I uu UUU /、UUU UUU LULT(1) AB BC ;(2) AB AD AA ;UUU UUU i UUUDi UUU UUU UUU AB AD -CC ；4)(AB AD AA )。23例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：UUU UUU UUU UUUOP XOA yOB ZOC (其中x y z i )的四点P,A,B,C是否共面？例3.空间四边形OABC，其对角线OB,AC , M,N

8、分别是对边OA,BC的中点，点UUU UUU UUUUUUG在线段MN上，且MG 2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG。例 4.如图，在空间四边形 OABC中，OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5 , OAC 45o, OAB 60°，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，女口OA, Ac 135° 易错写成 OA, Ac45°，切记！例5.长方体ABCD ABQQ中，AB BC 4，E为A&与BQ的交点，F为BQ与BQ 的交点，又AF BE，求长方体的高BB!。【模拟试题】1. 空间四边形ABCD，连结AC,BD

9、，设M,G分别是BC,CD的中点，化简以下各 表达式，并标出化简结果向量：1AB BC CD ；u 1 uuuruuruuiri uujruur2 AB BDBC ；3 AGABAC。2 22. 平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量。uuu uuuuur uuruur uuu unr uurOE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD。1求证：四点E,F,G,H共面；2平面AC /平面EG。3. 如图正方体ABCD ABCP中，B1E1 DF 1AB1，求BE1与DF1所成角的余弦。44. 空间三点 A0, 2，3，B -2, 1, 6, C 1, 1, 5。求以向量Ab,ac

10、为一组邻边的平行四边形的面积 S；假设向量a分别与向量Ab, AC垂直，且I = .3，求向量a的坐标。5. 平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD90° ,BAA DAA 60°，求 AC 的长。参考答案1. 解:如图,(1)UUU AB(2)UUU ABUULTUULLLABBM(3)UULTAGUUU UUUUUUTBC CD ACUUUCDUULTAD ;1 UUUT -(BD2UUUUUUUTUUU1 UULT -BC21 UULTBD2BC)ABUULTMGAG ；1 UUUUUUTUULTUUUUUUUU(AB2AC)AGA

11、MMG。2.解：(1)证明：T四边形ABCD是平行四边形, uur uur uuu/ EG OG OE ,UULTACUU UULTAB AD ,E,F,G,H 共面；UUUUUUTUUU UUUUUUUUUULT(2) 解：T EFOFOEk(OBOA)k AB，又 T EGUUTk AC , EF /AB,EG/AC。所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为3 巳(1,打),41UUUL-,1) , DF1 4那么 B(1,1,0),UUU.BE1(0,UUUUUULUBE1DF1UULU UUUUBE1 DF1UJUD UUU cos BE1,DF1J74(4 4)15J6 _17 17UJU4.分析：Q AB建立空间直角坐标系1D(0,0,0) ,Fg ,1),41,xyz1(。,和),15。17UU2, 1,3),AC/ BAC= 60设 解得一5.解：|AC|2 (AB 所以，|AC