上海同济大学高等数学知识点归纳

1、第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( )naf n; *1()nnaf a(2)初等函数 : (3)分段函数 : *0102( )( ),( )xxf xf xxxfx; *00( )( ),xxf xf xxxa;* (4)复合 (含f)函数 : ( ),( )yf uux(5)隐式 (方程 ): ( , )0f x y(6)参式 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)变限积分函数 : ( )( , )xaf xf x t dt(8)级数和函数 (数一 ,三): 0( ),nnns xa xx2. 特征 (几何 ): (1)单调性与有界

2、性(判别 ); ( )f x单调000, ()( )()xxxf xf x定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类型 : *limnna; *lim( )xf x(含x); *0lim( )xxf x(含0 xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,04. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 11nn, 1(0)1naa, 1()max( , , )nnnnabca b c, 00!naan1(0 )xx, 0

3、lim1xxx, lim0nxxxe, lnlim0nxxx, 0l i ml n0nxxx, 0,xxex四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, s i n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 211cos ( )( )2u xux; ()1( )u xeu x; ln(1( )( )u xu x; (1( )1( )u xu x; ar c si n()(u xu x; arctan ( )( )u xu x2. 泰勒公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo x; (3)341sin()3!xxxo

4、 x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常规方法 : 前提 : (1)准确判断0,1 ,0m(其它如 :00, 0,0 ,); (2)变量代换 (如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积(m) (注:1sin1,xx) 3. 1处理 (其它如 :000 ,) 4. 左右极限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex; 1(0)xex; (3)分段函数 : x, x, max( )f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则(1)先” 处理 ” ,后法

5、则 (00最后方法 ); (注意对比 : 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2)幂指型处理 : ( )( )ln( )( )v xv xu xu xe(如: 1111111(1)xxxxxeeee) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( )lim( , )nf xf x n(分段函数 ) 六. 非常手段1. 收敛准则 : (1)( )lim( )nxaf nf x(2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnb ca(3)单边挤 : 1()nnaf a*21?aa*?nam*( )0?fx2.

6、 导数定义 (洛必达 ?): 00lim()xffxx3. 积分和 : 10112lim()()()( )nnffff x dxnnnn, 4. 中值定理 : lim ()( )lim( )xxfxaf xaf5. 级数和 (数一三 ): (1)1nna收敛lim0nna, (如2!limnnnnn) (2)121lim()nnnnaaaa, (3)na与11()nnnaa同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffa( )()!nnnaaf xxxxnn(2)00( )xxnf t d

7、tkt dt2. 渐近线 (含斜 ): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )f xaxb(2)( )f xaxb,(10 x) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质1. 连通性 : ( , ),fa bm m(注 :01, “ 平均 ” 值 :0( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理 : ( )( )0f a f b0()0f x(根的个数 ); (2)( )0( )0 xaf xf x dx.

8、第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : ( )fx0()( )limxfxxf xx; 0()fx000( )()limxxf xf xxx(1)0( )(0)(0)limxf xffx(注:0( )lim(xf xa fx连续 )(0)0,(0)ffa) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0 x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导 ; (2)比较,f df与0的大小比较 (图示 ); 二. 求导准备

9、: 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( )f x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数1dxdyy三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( )xafx; (2)分段函数左右导; (3)0()()limhf xhfxhh(注: 00( )( ),xxf xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)( )uf g x, 求:0()u x(图形题 ); (2)( )( )xaf xf t dt, 求:( )fx(注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaa

10、f x t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx(待定系数 ) 3. 隐式 ( , )0f x y)导 : 22,dyd ydxdx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx5. 高阶导( )( )nfx公式 : ( )()axnnaxea e; ()11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn; ( )(cos)cos()2nnaxaa

11、xn()()1(1 )2(2 )()nnnnnnuvuvc uvc uv注: ( )(0)nf与泰勒展式 : 2012( )nnf xaa xa xa x( )(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : ( )yf x上点0m和过点0m的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23( )( 1 ( )fxfx(曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点0()0fx): (1) ( )0( )f

12、xf x; ( )0( )fxf x; (2)分段函数的单调性(3)( )0fx零点唯一 ; ( )0fx驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 ( )fx变号 ); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1)f与,ff的匹配 (f图形中包含的信息); (2)实例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点 “0 xx” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别

13、 : * 单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax? (2)类型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b*0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如: max( )( )f xmfxm) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. y表格 ; (0()0fx) 2. 应用 : (1)泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸 . 七. 罗尔定理与辅助函数: (注 : 最值点必为驻点) 1. 结论 : ( )( )( )( )0f bf aff2.

14、辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaf xf t dt(2)( ) ( )( )( )0( )( )( )fgfgf xfx g x(3)( )( ) ( )( )( )0( )( )f xfgfgf xg x(4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxf xef x; 3. ( )( )0( )nff x有1n个零点(1)( )nfx有2个零点4. 特例 : 证明( )( )nfa的常规方法 :令( )( )( )nf xf xp x有1n个零点 ( )np x待定 ) 5. 注: 含12,时,分家 !(柯西定理 ) 6. 附(达布定理 ): ( )f x在 , a

15、 b可导 ,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论 : ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计 : ( )ffx九. 泰勒公式 (连接,fff之间的桥梁 ) 1. 结论 : 2300000011( )()()()()()( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 应用 : 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义 ): 注:有定积分 (不含变限 )条件时使用 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数( )f x: (1)( )( )f

16、xf x; (2)( )( )f x dxdf x; (3)( )( )f x dxf xc注(1)( )( )xaf xf t dt(连续不一定可导); (2)() ( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x( )f x连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxfx dx(2)( )( )fx dxf xc; ( )( )df xf xc二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212()() )()()k fxk gxd xkfx d xkg x d x3. 凑微法 (基础

17、): 要求巧 ,简,活 (221sincosxx) 如: 211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)( ln)1xdxdxx dxd xxx4. 变量代换 : (1)常用 (三角代换 ,根式代换 ,倒代换 ): 1sin ,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸 (化简 ): 21xxt5. 分部积分 (巧用 ): (1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,( )xaxxf t dt); (2)“ 反对幂三指 ” : ,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别 : ( )xf x dx(*已知( )f x的原函数为( )f x; *已

18、知( )( )fxf x) 6. 特例 : (1)11sincossincosaxbxdxaxbx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法 ; (3)( )( )nv xdxux三. 定积分 : 1. 概念性质 : (1)积分和式 (可积的必要条件:有界 , 充分条件 :连续 ) (2)几何意义 (面积 ,对称性 ,周期性 ,积分中值 ) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx(3)附: ( )()baf x dxm ba, ( ) ( )( )bbaaf x g x dxmg x dx) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧

19、重2: 变限积分( )( )xaxf t dt的处理 (重点 ) (1)f可积连续 , f连续可导(2)( )xaf t dt( )f x; ()( )( )xxaaxt f t dtf t dt; ( )()( )xaf x dtxa f x(3)由函数( )( )xaf xf t dt参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 (方程 )问题3. nl公式 : ( )( )( )baf x dxf bf a( )f x在 , a b上必须连续 !) 注: (1)分段积分 , 对称性 (奇偶 ), 周期性(2)有理式 , 三角式 , 根式(3)含( )baf t dt的方程 . 4. 变量代换

20、 : ( )( ( ) ( )baf x dxf u t u t dt(1)00( )()()aaf x dxf ax dx xat, (2)0( )()()( )()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx(如:4411sindxx) (3)2201sinnnnnixdxin, (4)2200(sin)(cos )fx dxfx dx; 200(sin)2(sin)fx dxfx dx, (5)00(sin)(sin)2xfx dxfx dx, 5. 分部积分(1)准备时 “ 凑常数 ”(2)已知( )fx或( )xaf x时, 求( )baf x dx6. 附: 三角函数系的

21、正交性: 222000si nc o ssi nc o s0n x d xnx d xn xmx d x2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四. 反常积分 : 1. 类型 : (1)( ),( ),( )aaf x dxf x dxf x dx( )f x连续 ) (2)( )baf x dx: ( )fx在,()xaxbxc acb处为无穷间断 ) 2. 敛散 ; 3. 计算 : 积分法nl公式极限 (可换元与分部) 4. 特例 : (1)11pdxx; (2)101pdxx五. 应用 : (柱体侧面积除外) 1. 面积

22、 , (1)( )( );basf xg x dx(2)1( )dcsfy dy; (3)21( )2srd; (4)侧面积 :22( ) 1 ( )basf xfx dx2. 体积 : (1)22( )( )bxavfxgx dx; (2)12( )2( )dbycavfydyxf x dx(3)0 xxv与0yyv3. 弧长 : 22()()dsdxdy(1)( ), , yf xxa b21 ()basfx d x(2)12( ), ,( )xx ttt tyy t2122 ( ) ( )ttsxtyt dt(3)( ),rr: 22( ) ( )srrd4. 物理 (数一 ,二)功,引

23、力 ,水压力 ,质心 , 5. 平均值 (中值定理 ): (1)1 , ( )baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t dtfx, (f以t为周期 :0( )tf t dtft) 第四讲 : 微分方程一. 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程 : (1)令( )xx tydy(如欧拉方程 ) (2)令( ,)( , )uu x yyy x uy(如伯努利方程) 3. 建立方程 (应用题 )的能力二. 一阶方程 : 1. 形式 : (1)( ,)yf x y; (2)( , )( , )0mx y dxn x y

24、 dy; (3)( )y ab2. 变量分离型 : ( ) ( )yf x g y(1)解法 : ( )( )( )( )dyf x dxg yf xcg y(2)“ 偏” 微分方程 : ( , )zf x yx; 3. 一阶线性 (重点 ): ( )( )yp x yq x(1)解法 (积分因子法 ): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxm xeym x q x dxym x(2)变化 : ( )( )xp y xq y; (3)推广 : 伯努利 (数一 ) ( )( )yp x yq x y4. 齐次方程 : ()yyx(1)解法 : ( ),( )ydudxuu

25、xuuxuux(2)特例 : 111222a xb ycdydxa xb yc5. 全微分方程 (数一 ): ( , )( , )0m x y dxn x y dy且nmxydumdxndyuc6. 一阶差分方程(数三 ): 1*0( )( )xxxxxnxxycayayb p xyx q x b三. 二阶降阶方程1. ( )yf x: 12( )yf xc xc2. ( ,)yf x y: 令( )( ,)dpyp xyf x pdx3. ( ,)yf y y: 令( )( ,)dpyp yypfy pdy四. 高阶线性方程: ( ) ( )( )( )a x yb x yc x yf x1

26、. 通解结构 : (1)齐次解 : 01122( )( )( )yxc y xc yx(2)非齐次特解 : 1122( )( )( )*()y xc y xc yxyx2. 常系数方程 : ( )aybycyf x(1)特征方程与特征根: 20abc(2)非齐次特解形式确定: 待定系数 ; (附: ( )axf xke的算子法 ) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程 (数一 ): 2( )ax ybxycyf x, 令2(1) ,txex yd dy xydy五. 应用 (注意初始条件): 1. 几何应用 (斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ); 注: 切线和法线的截距2.

27、积分等式变方程(含变限积分 ); 可设( )( ),( )0 xaf x dxf x f a3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f xy的方程4. 变化率 (速度 ) 5. 22dvd xfmadtdt6. 路径无关得方程(数一 ): qpxy7. 级数与方程 : (1)幂级数求和 ; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay8. 弹性问题 (数三 ) 第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 (必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)xyff xx

28、 yyff xx yff xyy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22, lim()()xyfdffxfydfxy(判别可微性 ) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyfxffyfffxy2. 特例 : (1)22(0,0)( , )0,(0,0)xyxyf x y: (0,0)点处可导不连续; (2)22(0,0)( , )0,(0,0)xyf x yxy: (0,0)点处连续可导不可微; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一 ,二阶偏导 : ( , )zf x y

29、注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导 (重点 ): ( , ),( , )zf u x yv x y熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用3. 隐函数 (由方程或方程组确定): (1)形式 : *( , , )0f x y z; *( , , )0( , , )0f x y zg x y z(存在定理 ) (2)微分法 (熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0 xyzf dxf dyf dz(要求 : 二阶导 ) (3)注: 00(,)xy与0z的及时代入(4)会变换方程 . 三. 二元极值 (定义 ?); 1. 二元极值 (

30、显式或隐式 ): (1)必要条件 (驻点 ); (2)充分条件 (判别 ) 2. 条件极值 (拉格朗日乘数法) (注: 应用 ) (1)目标函数与约束条件: ( ,)( ,)0zf x yx y, (或: 多条件 ) (2)求解步骤 : ( , ,)( , )( ,)l x yf x yx y, 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值(重点 ). (1)( , )( , )( , )0zf x ymdx yx y(2)实例 : 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质 (“ 积” 前工作 ): (1)dd, (2)对称性 (熟练掌握 ): *d域轴对称 ; *f奇偶对称 ; *字母轮换对称;

31、 * 重心坐标 ; (3)“ 分块 ” 积分 : *12ddd; *( , )f x y分片定义 ; *( , )f x y奇偶2. 计算 (化二次积分 ): (1)直角坐标与极坐标选择(转换 ): 以“d” 为主 ; (2)交换积分次序 (熟练掌握 ). 3. 极坐标使用 (转换 ): 22()f xy附: 222:()()dxaybr; 2222:1xydab; 双纽线222222()()xyaxy:1dxy4. 特例 : (1)单变量 : ( )f x或( )fy(2)利用 重心 求积分 : 要求 : 题型12()dk xk y dxdy, 且已知d的面积ds与重心( ,)x y5. 无

32、界域上的反常二重积分(数三 ) 五: 一类积分的应用():;f m ddl): 1. “ 尺寸 ” : (1)ddds; (2)曲面面积 (除柱体侧面 ); 2. 质量 , 重心 (形心 ), 转动惯量 ; 3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备. 第六讲 : 无穷级数 (数一 ,三) 一. 级数概念1. 定义 : (1)na, (2)12nnsaaa; (3)limnns(如1(1)!nnn) 注: (1)limnna; (2)nq(或1na); (3)“ 伸缩 ” 级数 :1()nnaa收敛na收敛 . 2. 性质 : (1)收敛的必要条件: lim0nna; (2)加括号后发

33、散 , 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0nnnnss assss; 二. 正项级数1. 正项级数 : (1)定义 : 0na; (2)特征 : ns; (3)收敛nsm(有界 ) 2. 标准级数 : (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn3. 审敛方法 : (注:222abab,lnlnbaab) (1)比较法 (原理 ):npkan(估计 ), 如10( )nf x dx; ( )( )p nq n(2)比值与根值 : *1limnnnuu*limnnnu(应用 : 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数 (含一般项 ): 1( 1)nna(0na) 1.

34、“ 审” 前考察 : (1)0?na(2)0?na; (3)绝对 (条件 )收敛 ? 注: 若1lim1nnnaa,则nu发散2. 标准级数 : (1)11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn3. 莱布尼兹审敛法(收敛 ?) (1)前提 : na发散 ; (2)条件 : ,0nnaa; (3)结论 : 1( 1)nna条件收敛 . 4. 补充方法 : (1)加括号后发散 , 则原级数必发散; (2)221,0nnnnss assss. 5. 注意事项 : 对比na; ( 1)nna; na; 2na之间的敛散关系四. 幂级数 : 1. 常见形式 : (1)n

35、na x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx2. 阿贝尔定理 : (1)结论 : *xx敛*0rxx; *xx散*0rxx(2)注: 当*xx条件收敛时*rxx3. 收敛半径 ,区间 ,收敛域 (求和前的准备 ) 注(1),nnnnana xxn与nna x同收敛半径(2)nna x与20()nnaxx之间的转换4. 幂级数展开法: (1)前提 : 熟记公式 (双向 ,标明敛域 ) 23111,2!3!xexxxr24111()1,22!4!xxeexxr35111(),23!5!xxeexxxr3511sin,3!5!xxxxr2411cos1,2!4!xxxr; 211,

36、(1,1 )1xxxx; 211,( 1,1)1xxxx2311ln(1),( 1,123xxxxx2311ln(1), 1,1)23xxxxx3511arctan, 1,135xxxxx(2)分解 : ( )( )( )f xg xh x(注:中心移动 ) (特别 : 021, xxaxbxc) (3)考察导函数 : ( )( )g xfx0( )( )(0)xf xg x dxf(4)考察原函数 : 0( )( )xg xf x dx( )( )f xgx5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域 , * 变量替换 ): (1)( ),s x(2)( )s x,(注意首项变化 ) (3)( )

37、()s x, (4)( )( )s xs x的微分方程(5)应用 :( )(1)nnnnaa xs xas. 6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 (数三 ): (1)复利 : (1)nap; (2)现值 : (1)nap五. 傅里叶级数 (数一 ): (2t) 1. 傅氏级数 (三角级数 ): 01( )cossin2nnnas xanxbnx2. dirichlet充分条件 (收敛定理 ): (1)由( )( )f xs x(和函数 ) (2)1( )()()2s xf xf x3. 系数公式 : 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnaf xnxdxaf x dxnbf

38、xnxdx4. 题型 : (注: ( )( ),?f xs xx) (1)2t且( ),(,f xx(分段表示 ) (2)(,x或0, 2 x(3)0,x正弦或余弦*(4)0,x(t) *5. 2tl6. 附产品 : ( )f x01( )cossin2nnnas xanxbnx00001()cossin2nnnas xanxbnx001()()2f xf x第七讲 : 向量 ,偏导应用与方向导(数一 ) 一. 向量基本运算1. 12k ak b; (平行ba) 2. a; (单位向量 (方向余弦 ) 01( c o s, c o s, c o s)aaa) 3. a b; (投影 :( )a

39、a bba; 垂直 :0aba b; 夹角 :( , )a ba ba b) 4. a b; (法向 :,na ba b; 面积 :sab) 二. 平面与直线1.平面(1)特征 (基本量 ): 0000(,)( ,)mxyzna b c(2)方程 (点法式 ): 000:()()()00a xxb yyc zzaxbyczd(3)其它 : * 截距式1xyzabc; *三点式2.直线l(1)特征 (基本量 ): 0000(,)( , ,)mxyzsm n p(2)方程 (点向式 ): 000:xxyyzzlmnp(3)一般方程 (交面式 ): 1111222200a xb yc zda xb

40、yc zd(4)其它 : * 二点式 ; *参数式 ;(附: 线段ab的参数表示 :121121121()() ,0,1()xaaa tybbb t tzccc t) 3. 实用方法 : (1)平面束方程 : 11112222:()0axb yc zda xb yc zd(2)距离公式 : 如点000(,)mxy到平面的距离000222axbyczddabc(3)对称问题 ; (4)投影问题 . 三. 曲面与空间曲线(准备 ) 1. 曲面(1)形式: ( , , )0f x y z或( ,)zf x y; (注 : 柱面( , )0fx y) (2)法向(,)(cos ,cos,cos )xy

41、znf ff(或(,1)xynzz) 2. 曲线(1)形式( ):( )( )xx tyy tzz t, 或( , , )0( , , )0f x y zg x y z; (2)切向 : ( ),( ),( )sx ty tz t(或12snn) 3. 应用(1)交线 , 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算 . 四. 常用二次曲面1. 圆柱面 : 222xyr2. 球面 : 2222xyzr变形 : 2222xyrz, 222()zrxy, 2222xyzaz, 2222000()()()xxyyzzr3. 锥面 : 22zxy变形 : 222x

42、yz, 22zaxy4. 抛物面 : 22zxy, 变形 : 22xyz, 22()zaxy5. 双曲面 : 2221xyz6. 马鞍面 : 22zxy, 或zxy五. 偏导几何应用1. 曲面(1)法向 : ( , , )0(,)xyzf x y znff f, 注: ( , )(,1)xyzf x ynff(2)切平面与法线 : 2. 曲线(1)切向 : ( ),( ),( )( , )xx tyy tzz tsxyz(2)切线与法平面3. 综合 : :00fg, 12snn六. 方向导与梯度(重点 ) 1. 方向导 (l方向斜率 ): (1)定义 (条件 ): (, ,)(cos,cos,

43、cos)lm n p(2)计算 (充分条件 :可微 ): coscoscosxyzuuuul附: 0( , ),cos , sin zf x ylcossinxyzffl(3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyffffl2. 梯度 (取得最大斜率值的方向) g: (1)计算 : ()(,)(,)xya zf x yggradzff; ()(,)(,xyzb ufx y zgg r a d uuuu(2)结论( )aul0g l; ( )b取lg为最大变化率方向; ( )c0()g m为最大方向导数值. 第八讲 : 三重积分与线面积分(数一 ) 一. 三重积分 (fdv) 1.

44、 域的特征 (不涉及复杂空间域): (1)对称性 (重点 ): 含: 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2)投影法 : 22212(, )( , )( , )xydx y xyrz x yzzx y(3)截面法 : 222( )(, )( )d zx y xyrzazb(4)其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. f的特征 : (1)单变量( )f z, (2)22()f xy, (3)222()f xyz, (4)faxbyczd3. 选择最适合方法: (1)“ 积” 前 : *dv; *利用对称性 (重点 ) (2)截面法 (旋转体 ): ( )bad zidzfdxdy(细腰或中空 , ( )f z, 22()f xy) (3)投影法 (直柱体 ): 21( , )( ,)xyzx yzx ydidxdyfdz(4)球坐标 (球或锥体 ): 22000sin()riddfd, (5)重心法 (faxbyczd): ()iaxbyczd v4. 应用问题 : (1)同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2)gauss公式二. 第一类线积分(lfds) 1. “ 积” 前准备 : (1)ldsl; (2)对称性 ; (3)代入 “l” 表达式2. 计算公