必修五数列考点情况总结分析

1、必修五数列考点情况总结分析 必修五 数列 知识梳理 1. 数列的前 n 项和与通项的公式 n na a a s ? ? ? ? ?2 1； ? ?) 2 () 1 (11n s sn san nn. 例 1. 以下数列 ? ?na 的前 n 项和ns ，分别求它们的通项公式na . n n s n 3 22? ? ； 1 3 ? ?nns . 设数列 ? ?na 满足2 1 *1 2 33 3 . 3 , .3nnna a a a n n? ? ? ? ? ? ，那么na ? 数列 ? ?na 中， ) (23 2 1 ? ? ? ? n n n a a a an? ，求5 3a a ? 的值

2、. 数列 ? ?na 的首项112a ? ，其前 n 项和 ? ?21n ns n a n ? ? 求数列 ? ?na 的通项公式 设ns 、nt 分别是等差数列 ? ?na 、 ? ?nb 的前 n 项和，32 7?nntsnn，那么 ?55ba . 2. 数列的单调性 递增数列:对于任何?n n ,均有n na a ?1. 递减数列:对于任何?n n ,均有n na a ?1. xx- -1 xx 海淀区高三年级期中 数列 na 满足：1 2 3, ( 1,2,3, )n na a a a n a n ? ? ? ? ? ? ? （i）求1 2 3, , a a a 的值； （）求证：数列

3、 1na ? 是等比数列； （）令 (2 )( 1)n nb n a ? ? ? （ 1,2,3. n ? ），如果对任意*n n ? ，都有214nb t t ? ? ，求实数 t 的取值范围. 2. 等差数列知识点 通项公式与前 n 项和公式 通项公式 d n a a n ) 1 (1? ? ? ，1a 为首项， d 为公差. 前 n 项和公式2) (1 nna a ns? 或 d n n na s n ) 1 (211? ? ? . 等差中项: :如果 b a a , , 成等差数列，那么 a 叫做 a 与 b 的等差中项. 即： a 是 a 与 b 的等差中项 ? b a a ? ?

4、2 ? a ， a ， b 成等差数列. 等差数列的判定方法 定义法： d a an n? ?1（? n n ， d 是常数） ? ? ?na 是等差数列； 中项法：2 12? ? ?n n na a a (? n n ) ? ? ?na 是等差数列. ( )na an b ? ? 一次 ) ? ? ?na 是等差数列 2( )ns an bn ? ? 数项为 常 0的二次 ? ? ?na 是等差数列 等差数列的常用性质 数列 ? ?na 是等差数列，那么数列 ? ? p a n ? 、 ? ?npa （ p 是常数）都是等差数列； 等差数列 ? ?na 中，等距离取出假设干项也构成一个等差数

5、列，即 ? , , , ,3 2 k n k n k n na a a a? ? ?为等差数列，公差为 kd . d m n a am n) ( ? ? ? ； 假设 ) , , , (? ? ? ? n q p n m q p n m ，那么q p n ma a a a ? ? ? ； 假设等差数列 ? ?na 的前 n 项和ns ，那么?ns n是等差数列； 例 2.ns 为等差数列 ? ?na 的前 n 项和， ) (? ? n nnsbnn.求证：数列 ? ?nb 是等差数列. 等差数列的前 n 项和ns 的最值问题 假设ns d a , 0 , 01? ? 有最大值，可由不等式组?0

6、01 nnaa来确定 n ； 假设ns d a , 0 , 01? ? 有最小值，可由不等式组?001 nnaa来确定 n . 例 2.ns 为数列 ? ?na 的前 n 项和， 31? a ， ) 2 ( 21? ?n a s sn n n. 求数列 ? ?na 的通项公式； 数列 ? ?na 中是否存在正整数 k ，使得不等式1 ?k ka a 对任意不小于 k 的正整数都成立？假设存在，求最小的正整数 k ，假设不存在，说明理由. 3.等比数列知识点 通项公式与前 n 项和公式 通项公式：11?nnq a a ，1a 为首项， q 为公比 . 前 n 项和公式： 当 1 ? q 时，1n

7、a s n ? 当 1 ? q 时，qq a aqq asnnn?1 1) 1 (1 1. 等比中项 如果 b g a , , 成等比数列，那么 g 叫做 a 与 b 的等比中项.即： g 是 a 与 b 的等，中项 ? a ，g ， b 成等差数列 ? b a g ? ?2. 等比数列的判定方法 定义法： qaann?1（? n n ， 0 ? q 是常数） ? ? ?na 是等比数列； 中项法：221 ? ? ?n n na a a (? n n )且 0 ?na ? ? ?na 是等比数列. 等比数列的常用性质 数列 ? ?na 是等比数列，那么数列 ? ?npa 、 ? ?npa （

8、0 ? q 是常数）都是等比数列； 在等比数列 ? ?na 中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即 ? , , , ,3 2 k n k n k n na a a a? ? ?为等比数列，公比为kq . ) , (? ? ? n m n q a am nm n 假设 ) , , , (? ? ? ? n q p n m q p n m ，那么q p n ma a a a ? ? ? ； 假设等比数列 ? ?na 的前 n 项和ns ，那么ks 、k ks s ?2、k ks s2 3? 、k ks s3 4? 是等比数列. 例 3.ns 为等比数列 ? ?na 前 n 项和， 54 ?n

9、s ， 602?ns ，那么 ?ns 3 . 4.数列的通项的求法 利用 观察法求数列的通项. 利用 公式法求数列的通项：? ?) 2 () 111n s sn san nn（； 应用 迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ) (1n f a an n? ?； ). (1n f a an n? 构造等差、等比数列求通项： q pa an n? ?1； nn nq pa a ? ?1； 11nnnaaka b? 例 4.设数列 ? ?na 的前 n 项和为ns ， ) ( 3 ,1 1 ? ? ? ? ? n n s a a ann n，设nn ns b 3 ? ? ， 求数列 ? ?nb 的通项

10、公式 理 （宣武二模理 18 ）设 ? ?na 是正数组成的数列，其前 n 项和为ns ，且对于所有的正整数 n ,有1 2 ? ?n na s (i) 求1a ，2a 的值； (ii) 求数列 ? ?na 的通项公式； （iii）令 11? b ，kk ka b ) 1 (1 2 2? ? ?，kk ka b 32 1 2? ?（ ? ? , 3 , 2 , 1 k ）， 求数列 ? ?nb 的前 1 2 ? n 项和1 2 ? nt 例 5.数列 ? ?na 中， ) 2 ( 1 2 , 21 1? ? ? ? ?n n a a an n，求数列 ? ?na 的通项公式； 设 ? ?na

11、是首项为 1 的正项数列，且 ) ( 0 ) 1 (12 21 ? ? ? ? ? ? ? n n a a na a nn n n n， 那么数列 ? ?na 的通项 ?na . 例 6.数列 ? ?na 中， 232, 11 1? ? ? n na a a ，求数列 ? ?na 的通项公式； 数列 ? ?na 中，nn na a a 3 3 , 11 1? ? ?，求数列 ? ?na 的通项公式. 例 7.数列 ? ?na 中， ) (22, 11 1 ? ? ? n naaa annn，那么 ? ?na 的通项 ?na . 数列 ? ?na 中， ) ( , 11 1 1 ? ? ? ?

12、? ? n n a a a a an n n n，那么 ? ?na 的通项 ?na . 例 8.数列 ? ?na 中， n a a an n? ? ?2 , 11 1，求数列 ? ?na 的通项公式. 5. 数列求和 根本 数列的前 n 项和 等差数列 ? ?na 的前 n 项和：ns? ? ? ?n b n ad n n naa a nn211) 1 (212) ( 等比数列 ? ?na 的前 n 项和ns ： 当 1 ? q 时，1na s n ? ；当 1 ? q 时，qq a aqq asnnn?1 1) 1 (1 1； 数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加

13、法. 例.等差数列 ? ?na ，公差21? d ，且 6099 5 3 1? ? ? ? ? a a a a ? ，那么 ? ? ? ? ?100 3 2 1a a a a ? . 拆项分组法求 和 求数列 ? ? ， ， ， ， ， )21(813412211nn ? 的前 n 项和ns . 裂项相消法求 和 数列 ? ,) 1 ( 4 3 21, ,4 3 21,3 21,21? ? ? ? ? ? ? ? k的前 n 项和 ?ns 求和：) 2 (15 314 213 11? ? n n? ； 求和：n n ? ? ? 113 412 311 21? . 倒序相加法求 和 北京市宣武区

14、 2 20 009xx 学年度第一学期期末质量检测 函数5 55) (?xx f ， m 为正整数 （）求 ) 0 ( ) 1 ( f f ? 和 ) 1 ( ) ( x f x f ? ? 的值； （）假设数列 na 的通项公式为 ) (mnf a n ? （ m n , , 2 , 1 ? ? ），求数列 na 的前 m 项和ms ； （）设数列 nb 满足：211? b ，n n nb b b ? ?21，设1111112 1? ?nnb b bt ? ，假设（）中的ms 满足对任意不小于 3 的正整数 n， 5 777 4 ? ?n mt s 恒成立，试求 m 的最大值. 例 9.设n

15、s 是数列 ? ?na 的前 n 项和， 11? a ， ) 2 (212? ? n s a sn n n. 求 ? ?na 的通项； 设1 2 ?nsbnn，求数列 ? ?nb 的前 n 项和nt . 错位相减法求 和 假设数列 ? ?na 的通项nnn a 3 ) 1 2 ( ? ? ? ，求此数列的前 n 项和ns . 【解析】 ?nnn s 3 ) 1 2 ( 3 5 3 3 3 13 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ?1 4 3 23 ) 1 2 ( 3 5 3 3 3 1 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nnn s ? -，得 1 4 3 23 ) 1 2

16、 ( 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n nnn s ? 1 4 3 23 ) 1 2 ( ) 3 3 3 3 ( 2 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n nn ? 6 3 ) 2 2 (1? ? ? ? nn . ?ns 3 3 ) 1 (1? ? ? ? nn . 例 10.ns 为数列 ? ?na 的前 n 项和， 11? a ，s n+1 =4a n +2. 设数列 ? ?nb 中，n n na a b 21 ?，求证： ? ?nb 是等比数列； 设数列 ? ?nc 中，nnnac2? ，求证： ? ?nc

17、 是等差数列； 求数列 ? ?na 的通项公式及前 n 项和. 例 11.设函数 ) (x f 的定义域为 r ，当 0 ? x 时， 1 ) ( ? x f ，且对任意的实数 r y x ? , ，有) ( ) ( ) ( y f x f y x f ? ? 求 ) 0 ( f ，判断并证明函数 ) (x f 的单调性； 数列 ? ?na 满足 ) 0 (1f a ? ,且 ) () 2 (1) (*1n na fa fnn? ? 求 ? ?na 通项公式； 北京市宣武区 xxxx 学年度第一学期期末质量检测 解：（）5 155 55) 0 ( ) 1 (? ? f f =1； ) 1 (

18、) ( x f x f ? ? =5 555 551?x x=xxx5 5 55 55 55? ?=1；分 （）由（）得 ) 1 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ? ? ? ? ? ? m kmkfmkf ,即 , 1 1 ) ( ) ( ? ? ? ?k m ka a , mk mfmkf 由m 1 m 3 2 1 ma a a a a s ? ? ? ? ? ? , 得 , a a a a a sm 1 3 m 2 m 1 m m? ? ? ? ? ? ? ? 由, 得 , 2 1 ) 1 ( 2m ma m s ? ? ? ? 45 521) 1 ( ) 1 (21) 1 (? ? ? ? ? ? ? ? m f m s m ，10 分 （） ,211? b ) 1 b ( b b b bn n n2n 1 n? ? ? ?,对任意的 0 *, ? ?nb n n . ,1 b1b1) 1 b ( b1b1n n n n 1 n? ?即1 n n nb1b11 b1? ?. 1 1 1 1 3 2 2 1121 1)1 1( )1 1( )1 1(? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n n n nnb b b