高中数学组卷-解三角形

1、高中数学组卷解三角形一.解答题(共10小题)21. aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知aabc的面积为 一.3sma(1) 求 sinbsinc；(2) 若 6cosbcosc=l, a=3,求aabc 的周长.2. 在aabc 中，za=60°, c二丄a.7(1) 求sinc的值；(2) 若a二7,求aabc的面积.3. aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知sin (a+c) =8sin2-2(1) 求 cosb；(2) 若a+c=6, aabc的面积为2,求b4. 在aabc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且满足

2、互屯二竺也.a cosa(i )求角a的大小；(ii )若3=25，求aabc面积的最大值.5. 在aabc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且色兰£仝旦.p3a cosa(1) 求角a的值；(2) 若zb=, bc边上屮线am二听，求aabc的面积.66. 已知a, b, c分别为aabc三个内角a, b, c的对边，acosc+v3asinc - b -c二0(1) 求角a；(2) 若a=2, aabc的面积为頁，求b, c.7. 在aabc中，三个内角的对边分别为a, b, c, cosa二乜迈，asina+bsinb -10csinc二'代asinb5(

3、1) 求b的值；(2) 设b=10,求aabc的面积s& 在ziabc中，角a, b, c所对的边分别为a, b, c,且2acoscc二2b(i )求角a的大小；(ii )若c=v2，角b的平分线bd二価，求a9. 已知aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c, a若 c二2兀，c=14, 求 saabc310. 已知在aabc中，角a, b, c所对的边分别是a, b, c,且a、b、c成等比 数列，c=/3bsinc - ccosb.(i )求b的大小；(ii)若b=2v3，求aabc的周长和面积. - ab - 2b2=0(1) 若 b二，求 c；6高中数学组卷解

4、三角形参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1. (2017*新课标i ) aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知aabc2的面积为石£3sina()求 sinbsinc；(2)若 6cosbcosc=l, a=3,求aabc 的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，(2)根据两角余弦公式可得cosa=l,即可求出a=a,再根据正弦定理可得bc=8, 23根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.1 2【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得smbc二丄acsinb计一，23sinai 3csi nbsina 二 2a,由正弦定理可得3s

5、incsinbsina=2sina,tsinaho,o/.sinbsin c=；3(2) v6cosbcosc=l,cosbcosc 二丄，6i cosbcosc - sinbsinc=-=-丄，632/. cos (b+c)=-,2/. cosa=,2v0<a<n,aa=,3.2 r 二幺二 2 v3,sina sinb sinc 7 3asinbsi nc=b . c _ be _bc_ 22r示一 （2妬）厂立丐/ bc=8,va2=b2+c2 - 2bccosa,a b2+c2 - bc=9,(b+c) $二9+3cb二9+24=33,/. b+c=v33周长a+b+c=3

6、 * v33【点评】木题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定 理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题.2. (2017*北京)在aabc 中，za二60°, c二丄a.7(1) 求sinc的值；(2) 若a=7,求aabc的而积.【分析】(1)根据正弦定理即可求出答案，(2)根据同角的三角函数的关系求出cosc,再根据两角和正弦公式求出sinb, 根据面积公式计算即可.【解答】解:(1) za=60°, ca,7由正弦定理可得sinc二丄sina二9x逅二翌i,77214(2) a=7,则 c=3,ac<a,由(1)可得 cosc=,14s

7、inb=sin (a+c)二sinacosc+cosasinc二><空+丄x 3乜二 4忑,214 2147.saabc=丄 acsinb 二 2x7 x3x _=6妊227【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础 题3. (2017*新课标ii ) aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知sin (a+c) =8sin22(1) 求cosb；(2) 若a+c=6, aabc的面积为2,求b.【分析】(1)利用三角形的内角和定理可知a+cw - b,再利用诱导公式化简sin(a+c),利用降幕公式化简8sin2,结合sin2b+co

8、s2b=l,求出cosb,2(2)由(1)可知sinb二旦，利用勾面积公式求出ac,再利用余弦定理即可求出17b.【解答】解：(1) sin (a+c) =8sin2a,2/.sinb=4 (1 - cosb),vsin2b+cos2b=l,a16 (1 - cosb ) 2+cos2b=1,(17cosb 15) (cosb - 1) =0,；cosb=；17(2)由(1)可知sinb二旦，17t s.mbc 二丄 a c si n b二2,2 ac=,2b2=a2+c2 - 2accosb=a2+c2 - 2x x 217=a2+c2 - 15= (a+c) 2 - 2ac - 15=36

9、 - 17 - 15=4,/. b=2.【点评】木题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同 角的三角函数的关系，属于中档题4. (2017*晋屮二模)在厶abc屮，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且满足 2c b cosba cosa(i)求角a的大小;(ii)若a二2砲，求aabc而积的最大值.【分析】(i)把条件屮所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的 形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果.(ii)利用余弦定理写成关于角a的表示式，整理出两个边的积的范围，表示岀 三角形的面积，得到面积的最大值.【解答】解：(i ) 3二

10、cwb ,a cosa所以(2c-b) cosa=a«cosb由正弦定理,得(2sinc - sinb) cosa=sina*cosb.整理得 2sinc*cosa - sinb*cosa=sina*cosb.：2sinccosa二sin (a+b)二sinc.在aabc 中，sincho.1/ 兀 cosa=y,2 2 2(ii)由余弦定理cosa二旷+一才 丄，击2晶2bc 2a b2+c2 - 20二bc22bc - 20bcw20,当且仅当b=c时取二二角形的面积 s="bcsina=c三角形面积的最大值为5妊.【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角

11、和边的灵活互化, 两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用.5. (2017*广西模拟)在aabc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且_cosccosa(1) 求角a的值；(2) 若zb=, bc边上中线am二祈，求aabc的而积.6【分析】(1)利用正弦定理化边为角可求得cosa二逅，从而可得a；2(2)易求角c,可知aabc为等腰三角形，在aamc中利用余弦定理可求b,再由三角形面积公式可求结果;【解答】解：(1) v2b/3c_coscv3 a cosa由正弦定理，得力二cosc ,v3sinacosa(2) vzb=,c=h - a -63可知aabc为等腰三角形，在

12、 amc 中，由余弦定理，得 am2=ac2+mc2 - 2ac<mccosl20° ,即7=b2 + (y) 2-2xbxyx cosl20解得b=2,aabc的面积s二丄b'sinc二丄x ?2 x=v32 2 2【点评】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相 关公式并灵活运用是解题关键.6. (2017*郴州二模)已知a, b, c分别为aabc三个内角a, b, c的对边, acosc+73asinc - b - c=0.(1) 求角a；(2) 若a=2, aabc的面积为眉，求b, c.【分析】(1)根据条件，由正弦定理可得sinaco

13、sc+v3sinasinc=sinb+sinc=sin(a+c) +sinc,化简可得sin (a-30°)二丄，由此求得a的值.2(2)若a二2,由zxabc的面积馅，求得bc=4；再利用余弦定理可得b+c二4, 结合求得b和c的值.【解答】解：(1) aabc 中，vacosc+v3asinc - b - c=0,利用正弦定理可得 sinacosc+v3sinasinc二sinb+sinc二sin (a+c) +sinc, 化简可得v3sina - cosa=l, asin (a - 30°)二丄，2a a - 30°=30°, aa=60°

14、; (2)若 a=2, aabc 的而积为丄be sina=-bc=v3bc=4 .24再利用余弦定理可得 a2=4=b2+c2 - 2bc*cosa= (b+c) 2 - 2bc - bc= (b+c) 2 - 3*4,b+c二4.结合求得b=c=2.【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学 牛的计算能力，属于中档题.7. （2017潮南区模拟）在ziabc中，三个内角的对边分别为a, b, c, cosa&ih（1）求b的值；（2）设b=10,求aabc的面积s【分析】（1）利用正弦定理把己知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得 cosc的值，进而求

15、得c,进而求得sina和sinc,利用余弦的两角和公式求得答案.（2）根据正弦定理求得c,进而利用而积公式求得答案.2 . , 22 2忑 a +b -c =_-又ta、b、c是aabc的内角,又ta、b、c是aabc的内角,.0va+c5(2) abc 的面积 s=-bcsina二z 、兀b=7l-(a+c)p x 10 x 4a/10 x 二60【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.注意对这两个公式的灵活 运用来解决三角形问题.8. （2017银川二模）在aabc中，角a, b, c所对的边分别为a, b, c,且2acosc -c=2b（i）求角a的大小；（ii ）若c二伍，角

16、b的平分线bd=v3求a.【分析】（i ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求岀cosa的值, 由a的范围和特殊角的三角函数值求出角a的值；（ii）由条件和正弦定理求岀sinzadb,由条件求出zadb,由内角和定理分别 求出zabc、zacb,结合条件和余弦定理求出边a的值.【解答】解：（i ） ±1 2acosc - c=2b及正弦定理得，2sinacosc - sinc=2sinb, . （2 分）2sinacosc - sinc二2sin （a+c） =2sinacosc+2cosasinc,：-sinc=2cosasinc, vsincho,cosa=丄，2又aw

17、 （0, n）,a二竺；.（6分）3（ii ）在aabd中，c二範，角b的平分线bd=v3, 由正弦定理得一丿,sinzadb sina.sinzadb=a&sina=2_二坐，.（8 分）bd v3 2由 a=-2l得zadb二匹，azabc=2 （兀）=,34346a zacb=兀 -,ac=ab=v2366由余弦定理得，a2=bc2=ab2+ac2 - 2abaccosa 二2十2 - 2x血x （今）=&/. a=v6. （12 分）【点评】木题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力.9. (2017>惠州模拟

18、)已知aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c, a2 - ab -2b2=0.(1) 若 b二，求 c；6(2) 若 c二?兀，c=14, 求 saabc3【分析(1)由已知结合正弦定理得：2sin2a - sina - 1=0,解得sina的值,结合 范围0<avti,可求a的值，利用三角形内角和定理可求c的值.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,由(1) a2 - ab - 2b2=0,可求a二2b, 进而解得a, b的值，利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：(1)由已知b，a2 - ab - 2b2=0,6结合正弦定理得：2sin2a - s

19、ina - 1=0,于是sina=l或sina二丄(舍)乙因为0va<n,所以，亠cjla 2 j 3(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,由(1) a2 - ab - 2b2=0,得(a+b) (a - 2b) =0,即 a=2b,联立解得b二2朗,n二4听.所以，saabc =yabsi nc=l 43*【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积 公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.10. (2017>内蒙古模拟)已知在aabc中,角a, b, c所对的边分别是a, b, c, 且 a、b、c 成等比数列，c=v3bsinc - ccosb.(i )求b的大小；(ii )