数学同步练习题考试题试卷教案高三数学空间向量

1、9.7 空间向量一、明确复习目标1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理. 2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算. 3掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及aba,b的坐标表示；会求平面的法向量 . 4会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角. 二建构知识网络1. 共线向量定理：对空间任意两个向量ba,（0b） ，a b存在实数使ba. 显然cacbba/,/,/则. 若直线l 过点a、b，a是方向向量，则点p 在直线l 上存在实数t，使atoaop， （此式也叫l 的

2、向量方程）点 p 在直线 l 上op=(1t)obtoa. （或 op =xobyoa，x+y=1）2. 共面向量定理：两个向量ba,不共线，则向量p与向量ba,共面的充要条件是存在实数对x，y 使p=byax. 推论：空间一点p 位于平面mab 内的充要条件是存在有序实数对x，y 使得：mbymaxmp，或对空间任意一点o 有：mbymaxomop. 3. 空间向量的基本定理：如果三个向量c，b，a不共面，那么对空间任意一向量p，存在惟一有序实数对x、y、z 使得p=byaxcz. 推论：设o、a、b、 c 是不共面的四点，则对空间任意一点p，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使op=xob

3、yoa+ocz。特别地，当x+y+z=1 时，则必有 p、a、b、c四点共面 . 4. 向量的数量积：cosababab，babab，acos，用于求两个向量的数量积或夹角；aaa2，用于求距离. 0baba，用于证明两个向量的垂直关系；5. 空间向量的直角坐标运算律：123123(,)(,)aa a abb b b若，则112233(,)abab ab ab; 112233(,)abab ab ab123(,)()aaaar1 12233a baba ba b，1122/,abab ab33()abr，坐标对应成比例；1 122330ababa ba b数量积为零. 6. 夹角公式 :cos

4、| |a ba bab1 12233222222123123a ba ba baaabbb7. 模长公式：123(,)aa a a若，222123|aa aaaa则8.111222(,)(,)a x y zb xyz若，, 则212121(,)abxxyyzz距离公式：2|abab222212121()()()xxyyzz，9. 若表示向量a1，a2， an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则 a1a2a3 an=0. 三、双基题目练练手1. 设向量 a、 b、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）a. a+b，ba，a b. a+b，ba， b c. a+b，ba，

5、c d. a+b+c，a+b，c 2. 在平行六面体abcdabcd中，向量ba、da、bd是（）a. 有相同起点的向量b. 等长的向量c. 共面向量d. 不共面向量3. 若 a=（2x，1，3） ，b=（1， 2y，9） ，如果 a 与 b为共线向量，则 ( ) a. x=1，y=1 b.x=61，y=23c. x=21，y=21d. x=61，y=234. 已知向量a=（1，1，0） ，b=（ 1，0，2） ，且kab 与 2ab 互相垂直，则k 值是5. 已知四边形abcd 中，ab=a2c，cd=5a+6b8c，对角线ac、bd 的中点分别为 e、f，则 ef =_. 6. 已知空间三

6、点a（1， 1，1） 、 b（ 1，0，4） 、c（2， 2，3） ，则ab与ca的夹角 的大小是 _. 答案提示：1-3. ccb; 4. k=57. 5.ef=3a+3b5c. 6.1205. 提示 : 设 ad 中点为 g，得efeggf=3a+3b5c. 四、经典例题做一做【例 1】如图 , 在平行六面体1111dcbaabcd中,o是11db的中点 . 求证 : （ 1）cb1面1odc . （2）设 e、f、 g、 h、 k、l 依次是棱ab、bc、cc1、c1d1、d1a1、a1a 的中点，则这六点共面 . 分析 :只需证明1cb与面1odc中的一组基向量共面. 证明（ 1） :

7、 设1,cba cdb ccc因为11bccb为平行四边形 , 1cbac, 又 o 是11db的中点 , 111111(),2c oabodc dc o1()2ba111(),2doddd oabc若存在实数, yx使11cbxc o,( ,)ydo x yr 成立 , 则11()()22acxabyabc1()()22xy axy byc因为向量cba,不共线 , 2022xyxyy,11yx. a b c c1 d1 a1 b1 d o lkhgfeob1c1d1a1ba11,cbc odo所以11,ocodcb是共面向量 , 因为cb1不在1,ocod所确定的平面内, cb1面1odc

8、, 又1bc面1odc, cb1面1odc . （2）11(),()22ghbcgfac不共线，可作为基底，再依次证明ef、fl能用这组基底表示即可，试试如何？【例 2】 在三棱锥 sabc 中，sab=sac= acb=90，ac=2， bc=13， sb=29 . （1）求证： scbc；（2）求 sc 与 ab 所成角的余弦值. （3）若 e、f、g 分别是 ab、ac、sb 的中点，求证：平面efg平面 acg. gfebcas思路 1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法 1： （1）设as=a,ab=b,ac=c，由已

9、知得：0,0,()0a ca bccb，,scca bccb()()sc bccb ca()0cbca ca bscbc. （2）29134,sc2 3,17saab,cos,|2217()17171717 44 174 17scabsc absc abca bc b所以 sc与 ab 所成的角为arccos1717. （3）11(),22efcbega1()0,2ac efa cb c102ac ega c,acefgacacgacgefg平面又平面平面平面思路 2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究 . 解法 2：如下图， 取 a 为原

10、点， ad、ac、as 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系） ，则由ac=2，bc=13，sb=29 ，得c（0，2， 0） ，b（13，2，0） 、s（0， 0，23） 。sc = （0，2， 23） ，bc=（ 13 ，0，0）. （1）sc bc=0， scbc. （2）设 sc 与 ab 所成的角为，ab=（13， 2，0） ，scab=4，| sc | ab|=417， cos=1717，即为所求 . （3）13(,1,0),(0,1,0),2ef_ yzxgfebcas1(0, 2,0),2acefbc13(,0,0),(0,0,3),2eg0,0ac efa

11、c eg, acefacegac从而,efgacacg平面又平面acgefg平面平面思悟提练1. 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题 . 2用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式. 【例 3】 已知ab=（ 2，2，1） ，ac=（ 4，5，3） ，求平面abc 的单位法向量. 解：设面 abc的法向量 n=（x，y，1） ，则 nab且 nac，即 nab=0，且 nac=0，即12210,245301,xyxxyyn=（21，1，1） ，单位法向量 n0=|n|n=（31，32，32）. 思悟提练求法向量一般用

12、待定系数法. 常把 n 的某个坐标设为1， 再求另两个坐标. 平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个. 单位法向量只需将法向量再除以它的模. 五提炼总结以为师1在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时, 用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法. 2要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法. 同步练习 9.7空间向量【选择题】1.平行六面体 abcda1b1c1d1中， m 为 ac 和 bd 的交点， 若11ba=a，11da=b，aa1=c，则下列式子中与mb1相等的是（）a.

13、21a+ 21b+cb. 21a+ 21b+caabbccdd1111mc. 21a21b+c d.21a21b+c2.在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点p（ x， y， z） ， 下 列 叙 述 中 正 确 的 个 数 是（）点 p 关于 x 轴对称点的坐标是p1（ x， y，z）点 p 关于 yoz 平面对称点的坐标是p2（x， y， z）点 p 关于 y 轴对称点的坐标是p3（ x， y，z）点 p 关于原点对称的点的坐标是p4（ x， y， z）a.3 b.2 c.1 d.0 3下列命题中不正确的命题个数是若a、b、c、d 是空间任意四点，则有ab+bc+cd+da=0

14、|a| |b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件若 a、b 共线，则a 与 b所在直线平行对空间任意点o 与不共线的三点a、b、c，若op=xoa+yob+zoc（其中 x、y、zr） ，则 p、a、b、c 四点共面（）a.1 b.2 c.3 d.4 【填空题】4.已知点a（1，2，1） 、 b（ 1，3，4） 、d（1，1，1） ，若2appb，则 |pd|的值是 _. 5. 设点c（2a+1，a+1， 2）在点p（2，0，0） 、a（ 1， 3，2） 、 b（8， 1，4）确定的平面上，a 的值等于 ;6 a 是 bcd 所在平面外一点，m、n 分别是 abc 和 acd 的重心，若b

15、d=4，则 mn 的长为. 答案 : 1-3, acc; 4.377; 5. a=166.【解答题】7设 a、b、c 及 a1、b1、c1分别是异面直线l1、l2上的三点，而m、 n、 p、q 分别是线段 aa1、ba1、bb1、cc1的中点 .求证： m、n、 p、q 四点共面 . jqpnml2b1c1l1a1cba证明：，a、b、 c 及 a1、b1、c1分别共线，、m、n、p、q四点共面 . 8. 已知空间四边形中,且分 别 是的 中 点 ,是中 点 . 求证:证明 : 连结由线段中点公式得: 且, 9在棱长为1 的正方体abcda1b1c1d1中，bd1交平面 acb1于点 e，求证

16、： （1）bd1平面 acb1；（2）be=ed1. aaddbbcc1111e m证明：（1），建立空间直角坐标系，则a(1,0,0), b(1,1,0), c(0,1,0), d1(0,0,1), b1(1,1,1) （2）设设，10在正三棱柱abc a1b1c1中， (1)已知 ab1bc1，求证： ab1a1；(2)当 ab=2，aa1=4 时，求异面直线bc1与 a1c 所成角的余弦值解 ： (1) 设=a ，=b ，=c ， 则=a+c，=b a+c，=b c， (a+c) (b a+c)=0，即 c2a2+a b=0又设=x，=h，则h2x2+x2=0， x2=2h2=(a+c) (b c)=a b c2=x2h2=h2h2=0(2)=，=(b a+c) (b c)=b2c2a b=14 设异面直线bc1与 a1c 所成的角为，则cos =|cos|=即异面直线bc1与 a1c 所成角的余弦值为【探索题】 如下图， 直棱柱 abca1b1c1的底面 abc 中，ca=cb=1，bca=90，棱 aa1=2，m、