【教育资料】河北省廊坊市廊坊四中2018年八年级下学期菱形的性质和判定讲义(含知识点、例题、练习题和答案

1、教育资源教育资源菱形讲义菱形知识精讲一菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形二菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：1菱形的四条边都相等；2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线三菱形的判定1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3四条边都相等的四边形是菱形四面积问题如下图：12abcdsac bd菱形三点剖析一考点 ：1菱形的性质；2菱形的判定；3面积问题二重难点 ：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定三易错点 ：矩形和菱形性质的区别例题讲解

2、一：性质例 1.1.1 如图，在菱形abcd 中， e 是 ab边上一点，且a=edf=60 ，有下列结论：ae=bf ；def是等边三角形；bef是等腰三角形；ade= bef ，其中结论正确的个数是_a3b4c1d2【答案】 d 【解析】连接 bd，四边形abcd 是菱形，ad=ab ， adb=12adc ， abcd， a=60 ， adc=120 ， adb=60 ，同理： dbf=60 ，即 a= dbf ， abd 是等边三角形，ad=bd ， ade+ bde=60 ， bde+ bdf= edf=60 ，教育资源教育资源 ade= bdf ，在 ade 和 bdf 中， ad

3、e bdf （asa ），de=df ， edf=60 ， edf 是等边三角形，正确； def=60 ， aed+ bef=120 ， aed+ ade=180 -a=120 ， ade= bef；故正确 ade= bdf ，同理： bde= cdf，但 ade 不一定等于 bde ，ae 不一定等于be，故错误； ade bdf ，ae=bf ，同理： be=cf，但 be 不一定等于bf故错误故选 d例 1.1.2 如图，在菱形abcd中， bad=80 ， ab的垂直平分线交对角线ac于点 f，垂足为e，连接 df ，则 cdf等于（）a50b60c70d80【答案】 b 【解析】如图

4、，连接bf，在菱形 abcd 中， bac=12bad=12 80 =40 ， bcf= dcf ，bc=cd ， bad=80 ， abc=180 -bad=180 -80 =100 ，ef 是线段 ab 的垂直平分线，af=bf ， abf= bac=40 ， cbf= abc- abf=100 -40 =60 ，在 bcf 和dcf 中，教育资源教育资源 bcf dcf（sas）， cdf= cbf=60 故选 b例 1.1.3 已知四边形abcd 是边长为2 的菱形， bad=60 ，对角线ac与 bd交于点 o，过点 o的直线 ef交 ad于点 e，交 bc于点 f（1）求证： ao

5、e cof ；（2）若 eod=30 ，求 ce的长【答案】（ 1）见解析（ 2）212【解析】（1）证明：四边形abcd 是菱形，ao=co ，ad bc， oae= ocf，在aoe 和cof 中，oaeocfaocoaoecof， aoe cof（ asa）；（2） bad=60 ， dao=12bad=12 60 =30 ， eod=30 ， aoe=90 -30 =60 ， aef=180 -dao- aoe=180 -30 -60 =90 ，菱形的边长为2， dao=30 ，od=12ad=12 2=1，ao=22adod=2221=3，ae=cf=332=32，菱形的边长为2，

6、bad=60 ，教育资源教育资源高 ef=2 32=3，在 rtcef 中， ce=22efcf=223()( 3)2=212二：判定例 1.2.1 如图，在 ?abcd中，添加下列条件不能判定?abcd是菱形的是（）aab=bcbac bdcbd平分 abcdac=bd【答案】 d 【解析】四边形abcd 是平行四边形，a、当 ab=bc 时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?abcd 是菱形，故本选项正确；b、当acbd 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得?abcd是菱形，故本选项正确；c、当bd平分 abc时，易证得ab=ad ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形

7、，可得?abcd 是菱形，故本选项正确；由排除法可得d 选项错误故选 d例 1.2.2 如图，在四边形abcd 中， efgh、分别是abbdcdac、的中点，要使四边形efgh 是菱形，则四边形abcd 只需要满足一个条件，是（）a四边形abcd 是梯形b四边形abcd 是菱形c对角线acbdd adbc【答案】 d 【解析】在四边形abcd 中， efgh、分别是 abbdcdac、的中点，同理，he gf，四边形 efgh 是平行四边形；a、若四边形abcd 是梯形时，adcd ，则 ghfe ，这与平行四边形efgh 的对边 ghfe相矛盾；故本选项错误；b、若四边形abcd 是菱形时

8、，点efgh 四点共线；故本选项错误；c、若对角线acbd 时，四边形abcd 可能是等腰梯形，证明同a选项；故本选项错误；d、当 adbc 时， ghgf ；所以平行四边形efgh 是菱形；故本选项正确故答案为d选项例 1.2.3 如图在 abc中， acb=90 ， cd ab于 d，ae平分 bac ，分别于bc 、cd交于 e、f，eh ab于 h连接 fh，求证：四边形cfhe是菱形【答案】见解析【解析】证明： acb=90 ，ae 平分 bac ，ehab ，ce=eh ，在 rtace 和 rtahe 中， ae=ae ，ce=eh ，由勾股定理得：ac=ah ，ae 平分 ca

9、b ，教育资源教育资源 caf= haf ，在caf 和haf 中 caf haf （sas）， acd= ahf ，cdab ， acb=90 ， cda= acb=90 ， b+ cab=90 ， cab+ acd=90 ， acd= b=ahf ，fhce，cdab ，eh ab，cfeh，四边形cfhe 是平行四边形，ce=eh ，四边形cfhe 是菱形例 1.2.4 已知：如图，在?abcd中， e， f 分别是边ad， bc 上的点，且ae=cf ，直线ef 分别交ba的延长线、dc的延长线于点g， h，交 bd于点 0（ 1）求证：abe cdf ；（ 2）连接dg ，若 dg=

10、bg ，则四边形bedf是什幺特殊四边形？请说明理由【答案】（1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 菱 形【解析】（1） 证 明 ： 四 边 形 abcd 是 平 行 四 边 形 ， ab=cd， bae= dcf ，在 abe和 cdf 中 ， abe cdf （ sas ） ；（ 2） 解 ： 四 边 形 bedf是 菱 形 ； 理 由 如 下 ： 如 图 所 示 ：四 边 形 abcd是 平 行 四 边 形 ， ad bc ， ad=bc， ae=cf， de=bf，四 边 形 bedf是 平 行 四 边 形 ， ob=od， dg=bg， ef bd ，四 边 形 bedf是 菱 形

11、 三：面积问题例 1.3.1 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4 3，则这个菱形的面积是（）a12cm2b24cm2c48cm2d96cm2【答案】 b 【解析】该题考查的是菱形的性质教育资源教育资源四边形abcd 是菱形四边形abcd 四边长相等，且对角线互相垂直且平分，该菱形周长为20cm 它的每个边长为5cm 两条对角线的比是4:3由勾股定理，算出3oacm，4obcm ，两平分线长度分别为6cm，8cm；菱形面积2168242scm 故本题答案为b例 1.3.2 如图，在菱形abcd中， ab=5，对角线ac=6若过点a 作 aebc，垂足为e，则 ae的长为_ a4

12、b125c245d5 【答案】 c 【解析】连接bd，交 ac于 o 点， ab=bc=cd=ad=5 ， ac bd，ao=12ac，bd=2bo， aob=90 ， ac=6， ao=3， b0=259=4， db=8，菱形abcd 的面积是12 ac?db=12 6 8=24， bc?ae=24 ，ae=245随堂练习1.1 如图，菱形abcd的对角线ac、bd 相交于点o，ac=8，bd=6，过点 o 作 ohab，垂足为h，则点 o 到边 ab 的距离 oh等于（）a2 bcd【答案】 d 【解析】四边形abcd是菱形， ac=8，bd=6，bo=3，ao=4 ，ao bo，5cm3

13、k4kboacd教育资源教育资源ab=5ohab ，ao ?bo=ab ?oh，oh=，故选 d1.2 如图，菱形abcd 中，60dab，dfab于点 e，且dfdc，连接 fc，则acf的度数为_度 .【答案】 15 【解析】dfab，1302adfadb，1203090cdf，dfdc cdf是等腰直角三角形，45dcf，453015acf1.3 如图，在菱形abcd中， m ，n 分别在ab ，cd上，且 am=cn ，mn与 ac交于点 o ，连接 bo 若dac=28 ，则 obc的度数为（）a28b52c62d72【答案】 c 【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质

14、，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质根据菱形的性质以及am=cn ，利用 asa 可得 amo cno，可得 ao=co ，然后可得boac ，继而可求得 obc 的度数四边形abcd 为菱形，ab cd，ab=bc ， mao= nco， amo= cno，在 amo 和 cno 中， amo cno（asa），ao=co ，acbdeof教育资源教育资源ab=bc ，boac ， boc=90 ， dac=28 ， bca= dac=28 ， obc=90 -28 =62 故选： c1.4 已知：如图，四边形abcd 是菱形，过ab的中点 e作 ac的垂线 ef，交 ad于点 m

15、 ，交 cd的延长线于点 f（1）求证： am=dm；（2）若 df=2 ，求菱形abcd 的周长【答案】（ 1）见解析（ 2）16【解析】（1）证明：四边形abcd 是菱形， bac= dac 又 efac ，ac 是 em 的垂直平分线，ae=am ，ae=am=12ab=12ad ，am=dm （2）解： ab cd， aem= f又 fmd= ame ， ame= aem ， fmd= f， dfm 是等腰三角形，df=dm=12ad ad=4 菱形 abcd 的周长是161.5 如图，矩形abcd的对角线相交于点o，de ac ，ce bd 求证：四边形oced 是菱形【答案】见解析

16、【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形oced 是平行四边形，再根据矩形的性质可得oc=od ，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论证明： deac ，cebd，教育资源教育资源四边形oced 是平行四边形，四边形abcd 是矩形，oc=od ，四边形oced 是菱形1.6 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是_a矩形b等腰梯形c对角线相等的四边形d对角线互相垂直的四边形

17、【答案】 c 【解析】如图，根据题意得：四边形efgh 是菱形，点e，f，g，h 分别是边ad ，ab， bc，cd 的中点，ef=fg=ch=eh ，bd=2ef， ac=2fg ，bd=ac 原四边形一定是对角线相等的四边形故选： c1.7 如图，在矩形abcd中，对角线bd的垂直平分线mn与 ad相交于点m ，与 bd相交于点n，连接bm ， dn （1）求证：四边形bmdn 是菱形；（2）若 ab=4 ，ad=8 ，求 md的长【答案】（ 1）见解析（ 2）5【解析】（1）证明：四边形abcd 是矩形，ad bc， a=90 ， mdo= nbo， dmo= bno ，在 dmo 和b

18、no 中 dmo bno （aas），om=on ，ob=od ，四边形bmdn 是平行四边形，mn bd ，教育资源教育资源平行四边形bmdn 是菱形（2）四边形bmdn 是菱形，mb=md ，设 md 长为 x，则 mb=dm=x ，在 rtamb 中， bm2=am2+ab2即 x2=（8-x）2+42，解得： x=5，答： md 长为 51.8 如图，在菱形abcd中，已知ab=10 ， ac=16 ，那么菱形abcd 的面积为（）a 48b 96c 80d 192【答案】 b 【解析】四边形abcd 是菱形，ac bd ，oa=12ac ，在 rtaob 中， bo=22aboa=6，则 bd=2bo=12 ，故 s菱形abcd=12acb