【教育资料】第1章1.2基本不等式学习精品

1、教育资源教育资源1.2 基本不等式1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题. 基础 初探 教材整理基本定理 (重要不等式及基本不等式) 1.定理 1 设 a，br，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 . 2.定理 2 如果 a，b 为正数，则ab2ab，当且仅当 ab 时，等号成立 .这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时，我们称ab2为正数 a，b 的算术平均值，称ab为正数 a，b 的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 3.定理 3 如果 a

2、，b，c 为正数，则abc33abc，当且仅当 abc 时，等号成立 . 4.定理 4 如果 a1，a2，an为 n 个正数，则a1a2 annna1a2an，当且仅当a1a2 an时，等号成立 . 设 0ab，则下列不等式中正确的是() a.ababab2b.a abab2bc.a abbab2d. abaab2b教育资源教育资源【解析】0ab，aab20，即aba，故选 b.【答案】b 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型 利用基本不等式证明不等式已知 a，b，c 都是正数，求证：a2bb2cc2aa

3、bc. 【导学号： 38000004】【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系.【自主解答】a0，b0，c0，a2bb2a2b b2a，同理：b2cc2b，c2aa2c.三式相加得：a2bb2cc2a(bca)2(abc)，a2bb2cc2aabc. 1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等教育资源教育资源式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明. 2.当且仅当 abc 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到. 再练一题 1.设 a0，b0，m0，n0.证明：(m2n4)(m4

4、n2)4m3n3. 【证明】因为 m0，n0，则 m2n42mn2，m4n22m2n，所以(m2n4)(m4n2)4m3n3，当且仅当 mn1 时，取等号 . 利用基本不等式求最值(1)已知 x，yr，且 x2y1，求1x1y的最小值；(2)已知 x0，y0，且 5x7y20，求 xy 的最大值 . 【精彩点拨】根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件.【自主解答】(1)因为 x2y1，所以1x1yx2yxx2yy32yxxy322yxxy32 2，当且仅当2yxxy，x2y1，即x21，y122时，等号成立 .所以当 x21，y122时，1x1y取最小值 32 2.(2)xy135(

5、5x 7y)1355x7y221352022207，教育资源教育资源当且仅当 5x7y10，即 x2，y107时，等号成立，此时xy取最大值207. 在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧， 有时为了便于应用公式， 还用换元法， 多用于分母中有根式的情况. 再练一题 2.若将本例 (1)的条件改为“已知x0，y0，且1x9y1”，试求 xy 的最小值. 【解】x0，y0，且1x9y1，xy(xy)1x9yyx9xy102yx9xy1016.当且仅当yx9xy，即 y3x 时等号成立 .又1x9y1，当 x4，y12 时，(xy)min16. 基本不等式的

6、实际应用某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用m 万元(m0)满足 x3km1(k 为常数 )， 如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1 万件.已知生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用 ). (1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？教育资源教育资源【精彩点拨】(1)可先通过 m0 时，

7、x1 求出常数 k，再根据条件列出y关于 m的函数； (2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.【自主解答】(1)依题意得 m0 时，x1，代入 x3km1，得 k2，即 x32m1.年成本为 816x81632m1(万元)，所以 y(1.51) 81632m1m28m16m1(m0).(2)由(1)得 y29m1 16m1292m1 16m121.当且仅当 m116m1，即 m3 时，厂家的年利润最大，为21 万元. 设出变量 建立数学模型定义域利用均值不等式求最值“”成立的条件结论再练一题 3.某工厂建一底面为矩形 (如图 1-2-1)，面积为 162 m2，且深为 1 m 的无

8、盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m，如果池外围四壁建造单价为400 元/m2，中间两条隔墙建造单价为248 元/m2，池底建造单价为 80 元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低. 图 1-2-1 【解】设污水池的宽为 x m，则长为162xm，则总造价教育资源教育资源f(x)400 2x2162x2482x801621 296x1 296100 x12 9601 296 x100 x12 960.由限制条件，知0 x16，0162x16，得818x16.设 g(x)x100 x818x16 ，因为 g(x)在818，16 上是增函数，所以当 x818时

9、 此时162x16 ，g(x)有最小值，即 f(x)有最小值， f(x)min1 2968188008112 96038 882(元).所以当长为 16 m，宽为818m 时，总造价最低，为 38 882元. 探究共研型 基本不等式的特点探究 1在基本不等式ab2ab中，为什么要求 a0，b0? 【提示】对于不等式ab2ab，如果 a，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b 都为负数时，不等式不成立；当a，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义. 教育资源教育资源探究 2你能给出基本不等式的几何解释吗？【提示】如图，以ab 为直径的圆中，dcab，且dc

10、ab.因为 cd 为圆的半弦， od 为圆的半径，长为ab2，根据半弦长不大于半径，得不等式abab2.显然，上述不等式当且仅当点c 与圆心重合，即当 ab 时，等号成立 .因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高. 探究 3利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？【提示】利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式 )可以求函数的最大值、最小值 .(1)已知 x，y(0，)，如果积 xy 是定值 p，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p.(2)已知 x，y(0，)，如果和 xy 是定值 s，那么当 xy 时，积 xy 有最大值14

11、s2.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小.条件满足： “一正、二定、三相等 ”.求下列函数的值域 . (1)yx212x；(2)y2xx21. 【精彩点拨】把函数转化为yaxbx或 y1axbx的形式，再利用基本不等式求解 .教育资源教育资源【自主解答】(1)yx212x12x1x，当 x0 时，x1x2，y1；当 x0 时，x0，x1x2，x1x2，y1，综上函数 yx212x的值域为 y|y1 或 y1.(2)当 x0 时，y2xx212x1x.因为 x1x2，所以 01x1x12，所以 0y1，当且仅当 x1 时，等号成立；当 x0 时，x1x2，所以 01

12、x1x12，所以 1y0，当且仅当 x1 时，等号成立；当 x0 时，y0.综上，函数 y2xx21的值域为 y|1y1. 形如 ycx2exfaxb型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为ytptc(p，c 为常数 )型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t 的取值范围 . 再练一题 4.求函数 yx28x1(x1)的最小值 . 【导学号： 38000005】【解】因为 x1，所以 x10.教育资源教育资源所以 yx28x1x122x7x1x122 x1 9x1(x1)9x122x1 9x128，当且仅当 x19x1，即 x4 时，等号成立 .所以当 x4 时，ymin8. 构建

13、体系 1. 函数 y1x3x(x3)的最小值是 () a.5b.4c.3d.2 【解析】原式变形为 y1x3x33.x3，x30，1x30，y2x3 1x335，当且仅当 x31x3，即 x4 时等号成立 .【答案】a 2.下列函数中最小值为4 的是() a.yx4xb.ysin x4sin x(0 x)c.y3x43-xd.ylg x4logx10 教育资源教育资源【解析】a 项，当 x0 时，yx4x0，故 a 项错误； b 项，当 0 x 时，sin x0，ysin x4sin x2sin x4sin x4，当且仅当 sin x4sin x，即sin x2 时取等号，但 sin x1，b

14、 项错误；c 项，由指数函数的性质可得3x0，所以 y3x4 3x2 44，当且仅当 3x2，即 xlog32 时取得最小值 4，故c 项正确； d 项，当 0 x1 时，lg x0，logx100，所以 ylg x4logx100，故 d 项错误 .【答案】c 3.若 a，br，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是() 【导学号： 38000006】a.a2b22abb.ab2abc.1a1b2abd.baab2 【解析】a 选项中，当 ab 时，a2b22ab，则排除 a；当 a0，b0时，ab02 ab，1a1b00，ab0，得baab2 baab2，当且仅当 ab 时取“”，所以选 d.【答案】d 4.不等式baab2 成立的充要条件是 _. 【解析】由baab2，知ba0，即