第七章多自由度系统的复模态理论基础

1、第七章 多自由度系统的复模态理论基础§7.1概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且 满足下列条件之一：MCK二KCMCMtK =KMaC( 7- 1)MKtC =CKjM则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全 解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时， 可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程 进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解 耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析

2、，就必须采用 所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的 复模态理论。§72复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：mx cx kx =0(7-2)设其解为：x WJe't(7-3)代入方程(7- 2)得到：( 2mr c kj)f HD( )jf =0(7-4)矩阵D()称为系统的特征矩阵。方程(7-4)是一个“二次特征值”问题，要(7-4)式有非零解的充要条件为：|D(k) =h2mfc +k|=0(7-5)上方程是一个关于'的2n次代数方程，有2n个特征根i (i =1,2,2n)，通常i都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且

3、由于质量矩阵、刚度矩阵、阻 尼矩阵都是实数矩阵， i 一定具有负的实部，且共轭成对出现。与复特征值对 应的特征矢量也都是共轭复数形式。每一对共轭复数特征根，都对应着系统中 具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为：x（t）r =-re" （r =1,2, 2n）（ 7-6）系统的2n个复模态一一复特征矢量- r，可以构成一个在系统位形空间的n 2n阶的矩阵，称为复模态矩阵：=-1 '订2f 2n（7- 7）由于系统在位形空间中的物理坐标只有n个，而复模态却有2n个，所以不能用（7-7）的复模态矩阵对（71）中的x进行坐标变换，来

4、对方程（7-1）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（7 1）式转换到状态空间:其中:MyK y二F(t)y二x：M訂°】叫jm c_K0 Jf(t)01kL y称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为:MyKy二0设其特征解为：y（t） We，代入方程（7-11），得到：LM K）? =0(7-8)(7-9)(7-10)(7- 11)(7-12)(7-13)%M K| =0(7-14)%M K| =0(7-14)其特征方程为:%M K| =0(7-14)将M,K的定义式代入:即:+ -m010kJ-m叫m甲m_mc卩mPc+k=0(715):m护 2m +田 c+k =0(

5、716)由于m正定，所以有:42m +円 c+k =0与(7 4)比较可知：(7仃)(718)故（712）式可以写为:又因为:所以有:(719)(7 20)(7 21)即在状态空间中，对应于复特征根打的特征向量为:(7 22)sMffs Kffs -0(7 24)sMffs Kffs -0(7 24)它被定义为系统在状态空间中的第r阶复模态。§73复模态的正交性及其归一化对应于复特征对（'r，?r），（ 's，Js），系统的特征方程分别为:rM?r K?r 二(7 23)sMffs Kffs -0(7 24)(7-25)用?；左乘（7-23）式，并用?：左乘（7- 2

6、4）式并转置得到:上两式相减得到:UTM?r VTK?r =0(r - s)J ；“? =0由此得到复模态?对M和K的加权正交关系如下:5"0 当S当、二s时，则有:且有而：m$rVTr；cm J=2貿- ： ' ：©' 令：5：皿'心=1并将（7-31）式做为复模态的归一化条件，?n为第r阶归然，对于K阵有：frNTKf - r§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵:巴十 J?J(7-26)(7-27)(7-28)(7-29)(7-30)(7-31)(7-32)化复模态。显(7-33)(7-

7、34)(7 35)对状态向量y进行模态坐标变换;y W z将（7 35）代入（7 8）,并前乘国T得到2n个完全解耦的方程:其中，或写成:因为：diag(：fr)z diag()z =(t)diagRI J 二卩TM diagKr *TK怦tF(t) *TF(t)二忆 乙=(t) (r =1,2,2n)(7 36)(7 37)(7 38)所以:而:r(t)(0=找打(切=卅：:打詈 = Mf(t)在零初始条件下，（7 40）的解为:r：（）阳川一以因为:"“：卜* z(t)=' LC z(t)(7 39)(7 40)(7 41)(7 42)(7 43)其中,Hdiag所以:2n(7 44)X八'rZr -12n1 t八 V r(十 0'- Tf(t)e'r(tJd.)VMr 0；专r 0f(t)e'r()d.r 4 M r当激励力为