第三章北航材料力学全部课件习题答案

1、第三章轴向拉压变形32 一外径D=60mm.内径d=20mm的空心El截面杆，杆长l = 400mim 两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模最E = 80GPa,泊松比“=0 30。试计算该杆外径的改变最AD及体枳改变最的。解：1.计算如 由于F£= 9EAADc EA1#AT> “ /FD 4/fD4x0.3 0x200x1 03x0.060AD=£D=_=_= =_5= mEA ETi(D-d-) 80xl09x7tx(0.06(T-0.02(r)=一1 79x10"5 m=-0.0179nun2.计算AV变形后该杆的体积为V, = rA =

2、 G + d)(D+£D)2-(d + e,d)2=Al(l + )(l + )2 uV(l+f+2£)故有80xl09AV =Vf-V =V(e + 2c) = -(1-2)= 200°3400m3(l-2x 0.3)Ecc *" c= 4.00xl0"7m3 = 400inm33"4 图示螺栓，拧紧时产生Al =0 10mm的轴向变形。己知：di = 8 0mm, d： = 6 8mm» d3 = 7 Omni: li=6 0min, 12=29min, 13=8mm: E = 21 OGPa, a =5 OOMPa。试

3、求 预紧力 F,并校 核螺栓的强度。/i A b#解：1求预紧力F并段轴力数值上均等于F ,因此,#由此得#F = 4("171EAI1770.00820.006820.0072 丿二校核螺栓的强度此值虽然超过O,但超过的百分数仅为2 6%,在5%以内，故仍符合强度要求。35 图示桁架，在节点A处承受我荷F作用，从试验中测得杆1与杆2的纵向正应 变分别为£1 = 4 0X1，与£2=2 0X12。己知杆1与杆2的横截面面积Ai=A>=200mm2,弹性 模量Ei=E2=200GPao试确定載荷F及其方位角&之值。#题3-5图解：1 .求各杆轴力=耳&

4、#163;14 =200xl09 x4.0xl0* x200xl0_N=lxl04N=16kNFN2 = E22Aj=200x109 X2.0X10-4 x200xl0-6N=8xl03N=8kN2确定F及&之值由节点A的平衡方程工F/0和工片=0得FN2sin3 0° + F sin& FN1siii3 0° = 0FN1cos3(T + FN2cos3 (T - Fcos = 0 化简后，成为FN1 一 FN2 = 2Fsin&#(b)巧(Fni + Fn2)= 2FcoW3#联立求解方程(a)与(b),得taii9 =Fn_Fn2 _ (&qu

5、ot;-BXO3 _o 1925>/3(FN1 + FN2) >/3(16+8)x103'由此得0=10.89° "0.9°F 上寺,6-8)"0 = 2.仏10血21.232sm8 2sinlOS9°36图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。己知板的厚度为5,长度为1,左、右端的宽度分别为bl与"，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。#小=£ EA(x)& = £己岛匕)由图町知，若自左向右取坐标X,则该截面的宽度为b(x) = b + S；0 x代入式(a),于是得Al = f _丁 筑

6、、dx =里一In 邑E 吗(屮竽x朋df) b37 图示杆件，长为1,横截面面积为A,材料密度为Q,弹性模量为E,试求自重 卜杆端截而B的位移。#题3-7图解：自截面3向上取坐标y, y处的轴力为该处徵段dy的轴向变形为于是得截而8的位移为#38图示为打入土中的混凝土地桩.顶端承受载荷F并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f,且彳=妒，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A. 弹性模屋为E,埋入丄中的长度为1。试求地桩的缩短屋5。题3-8图解：1.轴力分析 摩擦力的介力为根据地桩的轴向平衡,由此得Fy訂1砌=£妒蚱牛kl3卫=F33F截面y处的轴力为Fn =

7、J7 Fdy* = Joyky*2dy* =竽2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短杲为枳分得7鹽唸肿如=蛊将式（a）代入上式，于是得“ F14EA39 图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为匕 试求当戦荷F作用时端点B的铅垂位移。题39图ba15#解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图（见图39）。设钢丝绳中的轴力为Fn，其总伸长为A1。#图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程工Ma = O得FN a + FN (a + b) = F (2a + b)由此得由图3-9可以看出,fn=fAy=0 (2a+b)#可见,Al = /片 +

8、 /旳=角 + 8(a +b)= 0(2 a +b)Jy = Al根据k的定义，冇Fn =kAl=kJy于是得3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平与铅垂位移。7(a)解：利用截面法，求得备杆的轴力分别为Fn严FbF （拉力）FN4 = V2F （压力）FN3 = °于是得齐杆的变形分别为EA EA#&3 = 0如图3 10(1)所示，根据变形Ah与Ah确定节点B的新位員B：然后，过该点作长为1+Ah 的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A；此即结构变形后节点盒的新 位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为= Al +

9、 >/2Al4 + AIT =令唱+张2("昙A/f二0图 3-10(b)解：显然，杆1与杆2的轴力分别为FN1=F （拉力）于是由图3-10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为血=4=旦EA#31 1 图示桁架ABC.在节点B承受集中載荷F作用。杆1与杆2的弹性模屋均为E,横截面面积分别为Ai=320mm2与A=2 580mm2o试问在节点B和C的位置保持不变的条件下, 为使节点B的铅垂位移最小，&应取何值(即确定节点A的最佳位員)。题311图#解：1求齐杆轴力 由图3-lla得FN2 = FctaiB9图 3-112.求变形和位移由图3-llb得恥啦=2珂，

10、从_F=珂2ER EAsin20 - EA> EA>细=ctaiiA>M Al2 Fl2(24=(sin tail9 E Jsin2sin3求&的故佳值-2 (2cos2sin& + cossin2&) 2ctan9csc，0A sin32siii2A>由此得2 2凶_ A. (1 - 3co询=0将A与A的己知数据代入并化简.得cos3+12.0937S:os-4.03125=0解此三次方程，舍去增根.co& = 0564967由此得&的故佳值为久沪55.6。3-12 图示桁架，承受載荷F作用。设齐杆的长度为1,横截面面积均为A

11、,材料的 应力应变关系为其中n 'JB为由试验测定的己知常数。试求节点C的铅垂位移。解：两杆的轴力均为轴向变形则均为于是得节点c的铅垂位移为F2cosa4：y =Al _ Fnlcosa 2n AnBcosn+1 a3-13 图示结构，梁ED为刚体，杆1、杆2与杆3的横截而面积与材料均相同。在题3J3图梁的中点C承受集中戟荷F作用。已知我荷F = 20kN各杆的横截面面枳均为glOOmnN 弹性模量E = 200GPa梁长l = 1 000mmo试计算该点的水平与铅垂位移。解：1 求各杆轴力 由工Fx = O,得由工Fy = O,得FFNi=FN3 = y=10kN2.求各杆变形Air

12、 = 010xl03xl.000200x109x100x10'6m= 5.0x1 O'4 m=0.5 0mm= Al33-求中点C的位移 由图3-13易知，图 3-1313#4 = Al】=0.5Omni (>) ,% = Al】=0.5Omni(>L)3-14 图a所示桁架，承受裁荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试求节 点B与C间的相对位移处。（b）题3-14图解：1内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1 = FN2 = FN3 = FN4 =（拉力）Fn5 = F (圧力)于是得各杆得变形分别为#Al = Air = Al3 = Al4

13、= 7E(伸 K)V2EAF V21EAV2F1EA（缩坷#2位移分析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线并分别与节点C的铅垂线相交于e 与h,然后，在de与gh延长线取线段&3与Ah，并在菇端点m与n分别作垂线，得交点CS 即为节点C的新位宣。可以看出,(2 + >/l)Fl-EA#3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA.试用能最法求载荷作用点 沿载荷作用方向的位移。Fnl 乎 F,用厂-乎F, FN3 = |F#该桁架的应变能为V冷甕=点（押争2 +沖=Fl(2运 + 1 2EA1 4-(a)图 3-15(b)#依据能屋守恒定律,最后得J_ 2 F2!

14、 (2yfl+l = (2血+1)F1 _ F 2EA( 4)4EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如卜:1hF話1F1F2120103F1F214F1f2i5-近F履2V2F21S(3+2V2)F2l于是,f 琮1,(3 + 2>/1)内h 2EA 2EA依据能量守恒定律,可得<_(3 + 2>/I)FlEA153-16 图示桁架.承受我荷F作用。设各杆孑敎而的拉压刚度均为EA.试用能量法求节点B打C间的相对位移皿。#解：依据题意，列表计算如下:#1FmF話1V2F/21F2l/22V2F/21F2l/23V2F/21F2l/24V2F/21F2l/25-F履V2F21X

15、(2 + V2)F 21由表中结果可得丫_导琮1,_(2 +迈)于1，台 2EA 2EA依据W=；得,(2 + V2)Fl /、细 C = 口 a(-T)EA3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为5长度为1,左、右端的宽度分别为5与“，弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。#题3-17图解：对丁变截面拉压板件，应变能的表达式为f 玮 &=_dxh2EA(x) 2Edb(x)由图町知，若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为b(x) = b1 + b2blx将上式代入式(a),并考偲到Fn=F,于是得F2!2EJ(b2-b1)设板的轴向变形为Ab则根据能量守恒定律可

16、知111b由此得AqF'aar3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均 为EA.试求支反力与最大轴力。/IB 一 1/,aUa(a)(b)题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(l)所示，平衡方程为工Fx=O, F + F-FFfO一个平衡方程，两个未知支反力故为一度静不定。#图 3-19aAC, CD与DB段的轴力分别为Fn1=F小尸“2=尸&-巧尸”3 =臨-2尸由于杆的总长不变，故补充方程为&丑+(陰+(心如=0EA EAEA得#由此得#FBx=2F-FAc=F杆的轴力图如3-19a(2)所示，最人轴力为FN.m«

17、; = F(b)解：杆的受力如图3-19b(l)所示，平衡方程为 工Fx = O, qa-FAx-FHb=0 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。(|>AC 4cb段的轴力分别为Fni=Fe FN2 = F/x-qx由于杆的总长不变，故补充方程为4詈唸飢臨-qxMx=o1EA=0由此得Fat = qa-FAx=4杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为叽晋3-20 图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E.梁BC为刚体, 载荷F=20kN,许用拉应力a=160MPa,许用压应力a=110MPa,试确定各杆的横截面面枳。解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1

18、缩短，且轴向变形相同，故Fn?为拉力,Fni为压力，且大小相同，即FN2 = FN1以刚性梁BC为研究对象，铁支点为矩心，由平衡方程工M = 0, FNn -a +Fni <* -F -2a = 0由上述二方程，解得FN2=FN1=F根据强度条件，=fiu_= 20xl0N =1818xl0-4m2<rc 110xl06Pa20xl0；N =125xl0-4m2-at 160x106Pa取A = A? = 182mm'3-21 图示桁架，承受铅垂我荷F作用。设各杆各截面的拉斥刚度相同，试求各杆轴1123题#（G解：此为一度静不定桁架。设Fn,ab以压为正，其余各段轴力以拉力

19、为正。先取杆AB为研究对象，由工Fy = O,得Fn.bc +Fn.ab =F后取节点A为研究对彖，FhFx-0和工:尸厂0依次得到N,AD =N,AG2Fn,adCos45° = Fn>ab在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向卞）(d)（拉）山氏一 "ab =小竺=、行山2cos4y物理关系为将式（e）代入式（d）化简后得联解方程（c）和（,FN,bc=F （拉），Fn>ab=F （压），Fn>ad=Fn> =（b）解：此为一度静不定问题。考虑小轮A的平衡，由工Fy = O,得FN1sin45°-F = 0由此得Fn1 = >/2

20、F在F作用下，小轮A沿刚性墙面向卜有一微小位移，在小变形条件下，A1. 故有FN2 = °fn1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为bjNOMPa, a2 =60MPa, a3 =120MPa,弹性模量分别为 Ei=160GPa, Ei=l OOGPa, 17E尸ZOOGPaoi /商F=160kN» Ai= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面枳解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。由图a町得平衡方程山2工玖=0, FN1=FN2工Fy = 0, |fn2

21、+ FN3 = F由图b得变形协调方程为AljCtaiB 0* + 弘。= AI3 siii3 0°根据胡克定律，有Al】=Fmh =卫uhEiA 2E 内Al. =51= fi211 , Al3 = =E2A, V3E24E3 內 V3E34将式(d)代入式(c)化简后得补充方程为15FN1+32FN2=8FN3（C1）联解方程(a), (b)和(&)并代入数据，得FN1=22.6kN （压几 FN2=26.1kN （拉人 FN3=146.9kN （拉）根据强度要求，计算各杆横截而而枳如下:心壽二參磐吐曲1皿=435朋A >Sil = 146.9 xlO3 _ 1 2

22、24x10_3m2 = 1224imr a3 12OxlO6根据题意要求，最后取A = A? =2% >245Qimi33-23 图a所示支架，由刚体ABC并经由较链A、杆1与杆？固定在墙上，刚体在C 点处承受铅垂裁荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同,分别为1=100 mm, A=100 mm2, E=200 GPa»设由分表测得C点的铅垂位移§=0075mn】，试确定载荷F 与各杆轴力。解：1.求解静不定在載荷F作用卜，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的 变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程Ma

23、 = 0,得(a)(b)(C)為+字-F = 0fh变形图中可以看出.变形协调条件为Al】 =2A12根据胡克定律，小产如，从=宝EA EA 将上述关系式代入式（b）,得补充方程为Fni=2Fn2联立求解平衡方程（a）与匕述补充方程，得F"罟，Fb#（d）2.由位移茅确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C9C-丄AC）（图b）,且直线AC与AB具有相冋的角位移8, |人|此,C点的总位移为J = CC* =又由于rh此得1 = "将式(c)与(d)的第一式代入上式，于是得F =血阿=SQOOxlHPQOOxlOqfXO.CnSxloTm) =1 875xl04N414(1

24、00x10_3m)' x并从而得Fn1=1.5x104N, FV2 = 7.5x13-24 图示钢杆，横截面面积/ZSOOmm2 ,弹性模量E=210GPa,轴向载荷F=200kNo 试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a) 间隙5=0 6 mm；(b) I'uj 隙 5=0 3 mm。图 3-24#图 3-24#题3-24图解:(200xl03N)(1.5m)当杆右端不存在约束时，在戦荷F作用2杆右端截面的轴向位移为=ypv 八八_= 0.57mmEA (210x109 Pa)(2 5 00x10“nT )当间隙5=0 6 mm时»由于务仅在杆C端存左支反力，其值

25、则为图 3-24#图 3-24#Fx = F=200kN由于耳杆两端将存在支反力，杆的受力如图324所示。a=l5m“一 l5m图 3-24#图 3-24#杆的半衡方程为图 3-24#25补充方程为由此得.F 逐A"T""2TF-F&-FCx = OFa F&daEA EA-= 47.5 kN200x1()3“(0000応)(210)<109卩机2§00><109()2 _ 2(1 皿) 而C端的支反力则为Fx = F-FBx=200kN-47.5kN=1525kN3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为1。在非均匀

26、加热的条件下，距A端X 处的温度增量为AT = IF/卩，式中的忌为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨 胀系数分别为E与勺。试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在X处的杆微段dx就会因温升而有一 个微伸长d(Alt) = a1ATdx = dx全杆伸长为fia1ATBx2dx=a1Aiy1 Jo p32.求约束反力设固定端的约束反力为F,杆件因F作用而引起的缩短量为A1 =壘=11f EA EA由变形协调条件Alr = Alt町得F _ EA 內临 _ EAflig 1333.求杆件横截面上的应力_ Fn _ F

27、 _ Eoi| ATg o=A A 33-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为4。如使杆端B与节点G强制地连接在一起.试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉床刚度均为EAo#解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向卞将各杆编号15。由强制装配容易判断, 杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。C #根据平衡条件,由图a可得(a)由图b町得FN3 = 2FN4cos30° = V3FN4变形协调关系为(参看原题图)cos60° cos30°依据胡克定律，有(d)6=1-5)将式(d)代入式(c),得补充方程/=如+如

28、迴+宝EA TJea EA联立求解补充方程仏）、平衡方程（a）与（b）,最后得（压）FN.bc = Fn,gd = Fn.ge = &-讐叫 (拉)%=亦=气旦/3-27 图a所示钢螺栓，其外套一长度为1的套管。已知螺栓与套管的横截面面枳分 别为傀与A，弹性模量分别为氏与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与 套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。臺) 几bT jjl(a)(b)27题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽1处旋转1/5圈，即旋进®）/5的距离。然 后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套骨的长度，故套合后的螺栓将受拉，而

29、套管则受压。设螺栓所受拉力为Fnb，伸长为Alb，套管所受压力为Fn“缩短为Alt，则由图b与c可知, 平衡方程为而变形协调方程则为利用胡克定律，得补允方程为Fnb -尸血=0Alb + Alt = JAA入瓦一(a)(b)#厳后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b）得螺栓与套管所受Z力即预紧力为FN0 =FNb= FNt =1 (1+k)#式中,293-28 图示组介杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管 组成，二者由两个直径为10mm的挪钉连接在一起。伽接后，温度升高40°C，试计算钏钉剪 切面上的切应力。钢与铜的弹性模最分别为200GPa与Ec=1

30、00GPa,线膨胀系数分别为 Gs=125X 10C"与 alc=16X#解：设温度升高AT时钢杆和铜管自由伸长量分别为忌和,由于二者被挪钉连在-起, 变形要一致，即变形协调条件为升5 + 汕=一 M或写成Al： + Alc =3氏-先这里，伸长量Al,和缩短量Al。均设为正值。引入物理关系，得E5A EcA= (ak -ah)lAT#将静力平衡条件Fn, = FNc = F代入上式，得e5a+eca(afc-ab)AT#注意到每个挪钉有两个剪切面.故其切应力为r_Fs_F _EAEcA(aic-aiJATA2A 2A(E5A+EcA)由此得=200X109 xO.0302 乂10中1()9(0.05出x40NIxO.OlpOOxlO xO.0302 +1OOx1O9(O.O5O2 -0.03(T)m2= 5.93xl07Pa=59.3NIPa3-29 图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁BD为刚体，试在卜列两种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为&C)若杆1的温度升高材料的热膨胀系数为m。31#题3-29图(1)解:如图3-29(1)3所示,当杆2未与刚性杆BD连接时，卜端点位于DJ即DDF。 当杆2与刚性杆