2010考研数一真题

1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 (1-8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分.) (1)极限2lim()()xxxxa xb= (a)1 (b)e(c)ea b(d)eba(2)设函数( , )zz x y由方程(,)0yzfxx确定 ,其中f为可微函数 ,且20,f则zzxyxy= (a)x(b)z(c)x(d)z (3)设,m n为正整数 ,则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性(a) 仅与m取值有关(b)仅与n取值有关(c)与,m n取值都有关(d) 与,m n取值都无关(4)2211lim()()nnxijnninj= (a)12001(1

2、)(1)xdxdyxy(b)1001(1)(1)xdxdyxy(c)11001(1)(1)dxdyxy(d)112001(1)(1)dxdyxy(5)设a为mn型矩阵,b为n m型矩阵 ,若,abe则(a) 秩(),ma秩( )mb(b)秩(),ma秩()nb(c)秩(),na秩()mb(d) 秩(),na秩( )nb(6)设a为 4阶对称矩阵 ,且20,aa若a的秩为 3,则a相似于(a)1110(b)1110(c)1110(d)1110(7)设随机变量x的分布函数( )f x00101,21e2xxxx则1p x= (a)0 (b)1 (c)11e2(d)11e(8)设1( )fx为标准正

3、态分布的概率密度2,( )fx为 1,3上均匀分布的概率密度, ( )f x12( )( )af xbfx00 xx(0,0)ab为概率密度 ,则,a b应满足(a)234ab(b)324ab(c)1ab(d)2ab二、填空题 (9-14 小题 ,每小题 4 分,共 24 分.) (9)设20e ,ln(1),ttxyudu求220td ydx= . (10)20cosxxdy= . (11)已知曲线l的方程为1 1,1,yx x起点是( 1,0),终点是(1,0),则曲线积分2lxydxx dy= . (12)设22( , , )|1,x y zxyz则的形心的竖坐标z= . (13) 设1

4、23(1,2,1,0) ,(1,1,0,2),(2,1,1,) ,ttt若 由123, 形 成 的 向 量 空 间 的 维 数 是2,则= . (14)设随机变量x概率分布为(0,1,2,),!cp xkkk则2ex= . 三、解答题 (15 23 小题 ,共 94 分 .) (15)(本题满分10 分) 求微分方程322 exyyyx的通解 . (16)(本题满分10 分) 求函数221( )()extf xxtdt的单调区间与极值. (17)(本题满分10 分) (1)比较10lnln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n的大小 ,说明理由 . (2)记10lnln(1)(

5、1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu(18)(本题满分10 分) 求幂级数121( 1)21nnnxn的收敛域及和函数. (19)(本题满分10 分) 设p为椭球面222:1s xyzyz上的动点 ,若s在点p的切平面与xoy面垂直 ,求p点的轨迹,c并计算曲面积分22(3)2,44xyzidsyzyz其中是椭球面s位于曲线c上方的部分 . (20)(本题满分11 分) 设11010 ,1 ,111aab已知线性方程组axb存在两个不同的解. (1)求, .a(2)求方程组axb的通解 . (21)(本题满分11 分) 设二次型123(,)tf x xxaxx在正交变换xyq下的标准形为2212,yy且q的第三列为22(,0,) .22t(1)求.a(2)证明ae为正定矩阵 ,其中e为 3 阶单位矩阵 . (22)(本题满分11 分) 设二维随机变量()xy的概率密度为2222( , )e,xxyyf x yaxy求常数及a条件概率密度|(| ).y xfy x(23)(本题满分11 分) 设总体x的概率分布为x1 2 3 p122其中(0,1