更高更妙的物理：专题12机械振动二三事汇总

1、专题12机械振动二三事广义地说，振动不仅存在于所有的物理现象中，在化学、生物学、气象学等许多自然科学分支中都会涉及各种各样的振动，各种不同本质的振动会有各自不同的特点，但又具有其共同性一振动是一种往复性的变化。物体位置的往复变化即为机械振动。在这个专题中，我们将探究机械振动中的一些有趣的规律，这些规律中的很多都适用于其他的振动。我们知道，简谐运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动总可以分解成几个简谐 运动，一切振动都是若干个简谐运动合成的结果。弹簧振子、单摆（数学摆）、复摆（物理摆）、扭摆、沉浮子 的小幅振动都是简谐运动。简谐运动发生的动力学原因是受到一个 与位移x大小成正比（线性）而方向

2、相反的回复力：F kx，这是振动系统做谐振的充要 条件。通常我们以此为据认定物体的振动是否属于简谐运动。【例1】质点以角速度，沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P在某直径 上的投影的运动为简谐运动。【分析与解】 如图所示，将质量为m的质点P的运动正交分解为沿水平（x轴）与竖直（y轴）直径的两个分运动，质点P在水平直径上的投影P的运动即质点P在x方向的分运动。显然，质点P沿 圆周运动一个周期，P沿x轴向直径以0为中心往复运动完成一个 全振动。我们将质点做匀速圆周运动的合外力（即向心力Fn）分解为Fx与Fy两个分力，Fx即是P做振动的回复力，它的方向总是指 向平衡位置0而与P对0的位移

3、x相反。以位移方向为正，容易得 到22Fx = -m， Rm x。R均确定，我们令k = m -2，有Fx二-kx，可见，P的运动是简谐运动。从上面的讨论中可知， 一个匀速圆周运动可以正交分解成两个简谐运动，每个简谐运动2二的振幅A=R，周期T=2，圆频率-=。若P点初始位置坐标为（x0，y0），初相位tan *，xo则在图所示坐标中，两个分运动的振动方程为x = Acos( t0)，=Asin( t o) = Acos( t0)。2速度公式为JIAs in ( to)，vy二一A si n( t0-?)。加速度公式为ax_ -2Acos( t0)，兀。这是两个相位差为的完全相同的谐振。反之，

4、任何一个简谐运动，都可以回归于某一个2匀速圆周运动，这个圆叫做简谐运动的参考圆。利用参考圆来描述简谐运动是我们常用的一种方法。【例2】如图所示，密度为的液体注入一弯折细管中， 弯折管 之两段与水平面的交角为 、：，液柱总长为I。若对液体的 平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属vxay_ -2ACOS( -t0_ 孑)简谐运动并求振动周期。毛细管作用及摩擦忽略不计。【分析与解】当液体平衡被破坏而做往复运动时， 整个液柱受到怎样的回复力的作用是解决 问题的关键。只要找到整个液柱往复运动的回复力所遵循的规律，先分析液柱处于平衡状态时的受力。这时，设左臂液柱长 处于平衡，取弯管底部截

5、面积为S的液片为隔离体研究其受力， 小相等，方向相反，故有hgSsin：= H2gSsin：。再假设在振动过程中，液柱沿管有一位移x，使左臂液柱 长变为(h -X)、右臂液柱长则变为(I2+X)，如图，整个 振动系统一质量为ns的液柱所需的回复力是由两管臂中液 柱重力沿管方向的分力来提供的。其中，左臂液体重力的沿管方向分力与位移方向相同， 右臂液体重力的沿管方向分力与位 移方向相反。以位移方向为正，回复力为二F -gS(h -x)sin：- JgSC x)sin：。由、两式可得 F = -?gS(sint sinF；) x。令k二rgS(si n si nJ，可见，弯管中液柱受一与位移大小成正

6、比而方向相反的回复力 的作用，故此振动属简谐运动，且由简谐运动周期公式知T =2口=2二1-。V k g(sina +sin P)我们看到，利用简谐振动的充要条件，在证明回复力大小与位移成正比，得到回复力常数是的同时，也就求得了谐振周期。【例3】如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道， 在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运 动，忽略一切摩擦阻力。 试求小球的最大速度以及小球从A到B所需时间。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L,地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转。【分析与解】 在专题11中，我们介绍了牛顿证明过的一个

7、结论：对于一 个质量均匀半径为R的实心球，在距球心r(:R)处质点只受半径为r的球内质量的万有 引力，而r以外球壳(即R为外径r为内径的球壳)则对质点无引力的作用。若均匀球质量 为M，则距球心r处所置质点受到的引力大小-G啤r,R3与r成正比。这里，我们将证明，小球在隧道AB中的运动是简谐运动， 这只须证明小球在隧道中受 线性回复力。如图所示，设地心到隧道的距离为d，取隧道中点为坐标原点0，当小球的位置矢量为x时，所受引力大小为-GMP。此力沿隧道方向的分力为Fx=七啤7x7G导R3Jx2+d2R3可见小球在隧道中受到大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，谐运动，回复力常数，振幅A二丄，圆频

8、率=R2由于小球的运动方式为谐振，从A点由静止出发穿越隧道到达即可认定液柱的振动性质。l1，右臂液柱长l2。由于液体两臂液柱对该液片的压力大mg x。R它使小球在隧道中做简B点历时恰为半个周期,O关注一下这个结论可以发现，穿越地球隧道的时间是一个定值，与隧道长度并无关系，而这个时间又是近地卫星绕地球半周所需时间：第一宇宙速度y二ZgR ,t = ：R。V1V g这个有趣的巧合并非偶然，而正说明近地卫星的匀速圆周运动与小球沿隧道的简谐运动的相 关性。小球的最大速度出现在过0点时R-用Ir-虫丨RT1，一T1。现取质点对O有一小位移x，此时A、B对质点的斥力大小分别为”尸；R RXFB2（1）；考

9、虑到小幅振动，x远小于R、r，运用牛顿二项式展开(1 -)与(1-仝)，舍去高阶Rr小量而取前两项得和-2；)；和1 2：)。那么，质点所受合力注意到-K-R2=国A =L2若以谐振的平衡位置0为零势能位置，小球振动的总能量12 212m A kA。2 2Vmax12E=?mvmax本题中，当小球运动到隧道两端时，在EpJP2【例4】力心A、B相距丨，一质量为离平方成反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的0点，若将质点稍稍偏离其原平衡位置， 情况。【分析与解】如图所示，设力心kK点时的受力满足己2,式中R、r0点处的动能全部转化为势能，大小为mg L2mgL2()R 2 8Rm的质点受与距昭.

10、厂 J O试确定其运动-OBB所施平方反比力之比例系数为K、k，则质点在0r为O点到力心A、B的距离r 汀A-FB*（I-2R）（I2：“Rk-4-2（R 4）x，r R roo可见质点受一线性回复力作用，故而做简谐运动，因回复力常数为 周期为单摆在做小幅振动、回复力可视为F =-奧x时，亦为谐振，其周期T=玄 一。iYg式中，I即摆长，g是重力加速度。一个形式复杂的摆动实体，如若它的动力学描述及运动 基本形态类同于单摆，我们便可以通过适当的变换，使它与某一理想单摆等效而成为一个等通常寻求单摆等效的途径有三条：考察提供回复力的是重力的哪一部分，或还有其他何种力参与提供回复力，以确定单摆周期公式

11、中g的等效值一寻求等效的gO考察摆球运动围绕哪个中心，即等效的悬点何在，以确定摆长 的I。考察等效摆振动的圆频率co，由于2=，便可确定等效的/丄一寻求等效的。IYg下面，我们对每种情况给出示例，展示这三种等效过程的特色与操作方法。确定等效的重力加速度g。【例5】如图，摆线长为I的单摆悬于架上，架固定于小车。使小 车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振动 的周期。【分析与解】摆球在线绳拉力及重力作用下，同时做沿斜面方向、 加速度为a的匀加速运动和对悬点O的摆动。 以加速下滑的小车 为参考系， 在振动的平衡位置时，小球受到重力mg、绳拉力FT、 及惯性力R=ma，如图。由三力平衡，

12、得Ig2a2_2agsin容易得到，若小车加速度沿斜面向上，则由上，确定等效的g的操作方法是1确定摆球振动的平衡位置；2确定摆在此位置时摆线上的力FT；FT。2，则谐振#Kkl3T =2:2GKm：k)4丄k)22m2Kk。Kki3效单摆，这时等效单摆的周期可运用公式T = 2求得。FT与理想摆相比较,=m g2a2_2ag cos(9O0_ ) =m . g2a2_2agsin:。m, g2a2-2ag sin的切向分力来此单摆摆动过程中的回复力就是由提供的，等效的g g2a2-2agsin，于是该摆周期为I的等效值一寻求等效T =2二I2a22ag sin等效的重力加速度g确定等效悬点及摆

13、长I 。【例6】如图，光滑的细杆组成夹角为:-的人字架。一根长度为I的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期。【分析与解】在图所示位置时，重球在重力及两边线拉，力作、用下平衡，显然，重力及两线拉力的合力作用线过人字架顶点0，故推测0点可等效为悬点，而0C为等效的摆长。摆球在人字架平面内的小幅振动是在重力与两线拉力作用下发生的，其动力学机制与单摆相同，本题难点在确定重球摆动.中与o点的距离始终等于0C。首先，应注意到根据题给条件，不管摆球在什么位置，套在光滑杆上的“ 两边线与杆所成的角总相等，如图所示。因为两边线上等大力的合力必垂 直于杆，否则线

14、不可能平衡。考察球在初始位置C时，取C关于两杆对称位置G、C2，如图所示。 由于前述两线与杆所成角度相同，G、C2与线、杆相套点A、B在一直 线，且C1C2=1，.一GOC2= 2二I，0C = 0G = 0C2。二C1OC2是顶角 为2、底边长丨的等腰三角形。当摆球处于振动中任一位置C，同样地，取C关于两杆的对称位置C；、C2，如图，C；、C2连线也必过此时线、杆相套点A、B，且CCI， C；0C22，0C = 0C? =0C2，C10C2仍是顶角为2、底边长i的等腰三角形，与C10C2全等，可见0C =0C，即摆球在摆动过程中，到0点的距离是确定的，始终等于0C，则0点等效为悬点，而0C等

15、效为摆长的推测成立。由图可知，等效摆长即C10C2腰长，故i，于是我们求得重球做小振幅振2sin a动时的周期T =2丨。2g sina【例7】如图，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳的固定点B高b，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是li和丨2，并且l I2 =a2b2。试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期。（人的大小与上述长度相比可忽略不计）【分析与解】秋千振动时，人与两绳构成的面绕过A、B的轴摆动，像这类关于固定轴的小幅振动，事实上可以用一系列相互等效的单摆来等效替代。如图所示，这些单摆的等效悬点可以取轴上的任意一点，；因为摆球的振动是对固定轴上所有点发生的，这些单摆的等效摆长也 就相

16、应地取等效悬点到摆球球心的距离，显然，其长度在振动过程中 不会变。当我们把固定轴上某一点视作等效悬点时，尚须等效变换重/Jrng力加速度g:将重力在竖直面内沿平行于转轴方向及等效摆线（悬点到摆球的平衡位置C）的方向分解，前者不影响振动，后者的切向分力提供该悬点、摆长 下振动的回复力。在所有可行的等效悬点中，0点是一个特殊的点：重力就在0C方向上,当我们取0为等效悬点、0C为等效摆长时，重力加速度g无须作等效变换，只要确定等 效摆长，即可确定摆的周期。这当然是最妙的等效操作法了。回到秋千。如图，取秋千处于平衡位置C，连接秋千绳的两个固定点A、B，将秋千所受重力作用线反向延长与AB交于0点，取0点

17、为秋千摆的等效悬点，0点到秋千平衡位置C的距离OC为等效单摆摆长l，由几何关系得C到AB的距离为x =,丨丄二比，则秋千小幅摆动的b2cos：a周期T =2二在有多个可等效的悬点、摆长时，首选等效悬点及摆长的操作是1连接两悬点的直线为转轴；2摆球所受重力作用线反向延长与转轴的交点为首选等效悬点;3取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长l。即该摆等效于圆频率为img的理想单摆，则周期为Y(M +m)lT乜辱匝o mg【例9】一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端质量为m的重物组成，做小振幅的自由振动。如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆， 其振动周期最多改变百分之几

18、？【分析与解】本题中摆的周期也须通过寻求等效的圆频率来确定。设未加另一质量亦为m的重物时，单摆圆频率为,振幅为A,最大偏角为二，以l表 示杆长，应有12mgl(1 -cos71) m( A)。【例8】如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为丨。m与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振 动周期To【分析与解】本题中，加上一个凹形滑块后，振动系统欲等效为某理想摆，即要考虑等效g值，又要考虑等效摆长，故我们可循第三条途径一寻求其圆 频率与理想单摆圆频率的关系以期求解。未放凹形滑块的单摆，是以圆频率=jg振动的，设振幅(即参考圆半径)为A, 最大偏角为0(A=l日)

19、,由系统振动能量守恒，有12mgl(l-cos) m( -A)。 2现设想带有凹形滑块的异形摆以同样的振幅做圆频率为的振动，则有12mgl(l-cos)(m M )( A)。2比较、两式，可得(M m)，2二m2,mg(M m)l2设复摆以同样的振幅做圆频率为的振动，另一重物位置在杆悬挂端下x处，其振幅应为11xmgl(1-cosv) mgx(1-cosv)m( A)2m(A)2。l比较、两式，得又由动能守恒，得mvj二m (vx2v2 22m cos解得Vv。M +m此后根据平板开始在竖直方向做简谐运动，机械能守恒，当速度为零时，板有最大位移有L _I2x2T一1 l(l x)现在来求的最值

20、I2+x2l(l x)I +x2该式当x 2I千12(l x) -2lxl(l x)Z l(l+x)石=q i2+x2。厂x2l(l x)I x 2x 21 - 21 l x 2l c 2，ll xl l x的最大值为Tx=c、2-i)i时有最小值2(辽-1),故1 - .20.2 -1) 0.0898，即异形复摆振动周期最多改变约9%。归纳以上两例，当一个振动系统的动力学原因和表观均较单摆有变异、确定等效的g值或l值时，可以通过对圆频率这个表征单摆运动的重要参量，利用参考圆,因而难以单独地利用谐振中能量守恒来寻求等效，从而解决单摆振动周期公式中关于复摆的更多内容，我们将在专题14中进行研究。

21、以下我们讨论振动的动力学问题【例10】如图，质量为M的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射角 二方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞。忽略一切摩擦，求 碰撞后小平板的振动方程。【分析与解】为了得到小平板的振动方程，我们需要确定平板做简谐运动的振幅、圆频率与；由于碰撞发生在板的平衡位置，可知其振动的初相位为一；根据小球与平板所发生的完全弹性碰撞的规律，2再由能量守恒关系，求出平板下降的最大高度即其振幅 球对板的入射速度为v0，方向与竖直成 二角，可以求出平板开始振动的初速度,变为v，平板获得速度为V，球离开板的速度大小为 射定律，亦与竖直成

22、 图所示，由图得A。设球与板碰后速度v，方向遵守反v 角，根据弹性碰撞规律，各速度矢量间关系如Vx二vsi，Vy =v0cos)-V。y2)1MV2121 .212m(v0si n)m(v0cos：-V)MV。2 2 2M这个因子的取值。初相位。平板振动的圆频率即丄M(W2 M mVo)22mv）cosr、M则振幅为A =（-）一（M +m 5 k于是可得平板振动方程为2mv0cos）Mk二x - cosUt + ）。M +m V k M 2【例111如图所示，小车质量M =4kg，由静止开始沿倾角,=30的斜面自h =5m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由 振动，然后又冲上斜面。若缓冲器弹簧

23、的劲度系数k=100N/m。 求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间。【分析与解】小车从5m高处滑下，以v =、2gh =10m/s的速度与缓冲器相碰，继而压缩弹簧到最低点， 而后被弹簧重新推上斜面，将车与弹簧接触过程视作自由振动，这个振动的圆频率为，k，若小车在平衡位置时弹簧压缩量为X），则Mg sin :x。以平衡位置为零势能位置，能量关系满足k121212Mv2kx（）MV2。22 2式中V为过平衡位置时小车具有的最大速度，由此式解得、，,Mg2sin2。丄“ “ ，V2gh:10.05m/s。若设振幅为A，则由V二A，可得Mg2sin2A2gh2m/s弹簧的最大压缩量x = XoA

24、 = 2.2m。缓冲时间也就是小车简谐运动历时。这里要注意，小车与弹簧 从相碰到分离并不是一个整周期，我们利用参考圆来分析，如图， 以沿斜面向上为x轴正方向，小车刚碰着弹簧开始振动的位置距坐 标原点 （平衡位置） 为x0， 相位为0，0= arccos0二arccos丄。A10M于是可求出缓冲过程总共历时兀-%t02振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动， 阻尼振动也就是能量减少的振动。 能量减少的0.7s。方式通常为摩擦阻力的存在使振动能量转变为热以及振动能量以波的形式向四周辐射。摩擦阻力中一般以粘滞阻力最重要。在速度不大时，振动物体受到的粘滞阻力与速度成正比：f V， 称为阻力系数，由介质的性

25、质和振动物体的形状所决定。在有阻力的情况下， 物体振动所受力为在线性力kx上增加一个力f，相应地振动圆频率将由固有圆频率灼。=匹变为，国与0有2=国；_（）2的关系，式中一称做阻尼因数3。阻尼Y m2m2m振动的振幅随时间逐渐减小，相隔一个周期T的两个相继振幅的比值为e：T，T称做对数【例12】用如图所示的实验装置可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂 薄板A，测定它在空气中的周期To，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体中， 令其振动，测定周期T。已知薄板质量为m，表面积为S，液体的粘滞阻力f 2S v,v为运动速度。确定液体的粘滞系数。【分析与解】粘滞阻力f =2S v，则薄板在液体中减幅振动的

26、阻尼因数3、长度为L的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为是的弹簧上，杆 上有一质量为m的重物，如图所示。试确定铁杆做小振动的周期与重物在杆上的位置之关 系。减缩。阻尼振动的周期保持定值，只是较无阻尼时长阮-（笋22m及To二-0To-0阮-（孚）22m由此可得T2T22二m订2-T。2STTo1、如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为 丨，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止。现使之 做小振幅的摆动，它的周期是 _。甲乙2、三根长度均为I = 2.00m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上， 整

27、个框架可绕转轴转动， 杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示，现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动, 什么样的运动并作描述。试论证松鼠的运动是一种2S2m，由周期公式,4、如图所示，质量为m的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上。设轮与木板间 摩擦因数为 ，两轮间距离丨，平衡时长木板重心在 丄处。若将木板稍稍拉过一小段后放手,2则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期。5、如图所示，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为I，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为J，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动。用一劲度系数为是的弹簧将板连接

28、在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来。问动摩擦因数 为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多 少？6、某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上。电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同。试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？7、轻硬杆的一端带有重物，另一端用铰链固定在墙上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示。一根长度为I的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置。使 重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期T。8、如图是一种记录地震的仪器一倾斜摆

29、的示意图。摆球m固定在边长为丨、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕AB杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为。求摆球做微小摆动 的周期。9、在天花板下用两根长度同为 丨的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图所示。开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期。10、数学摆是由长度为I的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成。现在，在杆上 套一粒同铅球质量相等的小球，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示。试求这种摆小振动的周期，摩擦不计。11、如图所示，质量为M、长为L的均匀细刚性杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动。质量为m的小虫

30、相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行。开始时，杆静止3并与竖直线成一个小角度-0，小虫位于杆上端悬点处。释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求小虫沿杆爬行/距离时，杆振动的圆频率；小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的叮，求杆的摆动幅度千。12、一质量为m、半径为r的圆板用三根长均为丨的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分 圆板的圆周，如图所示。若圆板绕过其中心0的铅直轴做微小转动，试求其周期。13、细轴环用铰链固定于A点，开始这样放置轴环，使它的质心位于A点正上方，如图所示。此后轴环自由下落， 经时间=0.5s,轴环的质心处于最低位置。有一摆是小重球B固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下，试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置。9B14、