(完整word版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值

1、第二节 函数的单调性与最值1函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义2函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义知识点一 函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1， x2当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么 就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的当 x1<x2 时，都有 f(x1 )>f(x2)，那么就说函数 f( x) 在区间 A 上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数 yf

2、(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间易误提醒 求函数单调区间的两个注意点：(1) 单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“ 定义域优先 ” 的原则(2) 单调区间只能用区间表示， 不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写， 不能用并集符号 “ ”联结，也不能用 “或”联结必记结论1单调函数的定义有以下若干等价形式：设 x1， x2a， b ，那么f x1 f x2B3， 2D (， 0)>0? f(x)在 a， b上是增函数；x1x2f x1 f x2<0? f(x) 在a， b上是减函数 x1x2 (x1 x2) f(x1) f(x2 )&

3、gt;0 ? f(x)在a， b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0? f(x)在a，b上是减函数2复合函数 y f g(x)的单调性规律是 “同则增，异则减 ”，即 y f(u)与 u g(x)若具有相同的单调性，则 y fg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数 自测练习 1 下列函数中，在区间 (0， )上单调递减的是 ( )12 Af(x)xBf(x) (x 1)2Cf(x)exD f(x) ln( x 1)2函数 f(x) log5(2x1)的单调增区间是 x2 ax 5， x 1 ，3已知函数 f(x) a 在 R 上为增函数， 则 a 的取

4、值范围是 ( ) ，x>1xA3,0)C( ， 2 知识点二 函数的最值前提设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件对于任意 x I ，都有 f(x) M 存在 x0 I ，使得 f( x0) M对于任意 x I，都有 f(x) M 存在 x0 I，使得 f(x0) M结论M 为最大值M 为最小值易误提醒 在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性必备方法 求函数最值的五个常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3) 换元法： 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用

5、相应的方法求最值(4) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等 ” 的条件后用基本不等式求出最值(5) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 自测练习 14函数 f(x) 1x2(xR)的值域是 ( )A (0,1)B (0,1C0,1)D 0,15已知函数 f(x)x Cf(x) x12x(2x1且xZ)，则 f(x)的值域是 ( )A 0,3B 1,3C0,1,3D 1,0,3考点一 函数单调性的判断 |1下列四个函数中，在 (0， )上为增函数的是 ( )Af(x)3xB f(x) x2 3xDf(x) |x|给出解析式函数单调性的两种判定

6、方法1定义法 (基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)2导数法 (基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)考点二 函数的单调区间的求法 |求下列函数的单调区间：(1) y x2 2|x| 1；(2) y log2(x23x2)函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3) 图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性 写出它的单调区间(4) 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间函数 y|x|(1 x)在区间 A上是增函数，那么区间 A 是()1A

7、(， 0)B. 0， 21C0 ， )D. 2，考点三 函数单调性的应用 |函数单调性的应用比较广泛， 是每年高考的重点和热点内容 归纳起来， 常见的命题探 究角度有：1求函数的值域或最值2比较两个函数值或两个自变量的大小3解函数不等式4求参数的取值范围或值 探究一 求函数的值域或最值2x 3，x1，1(2015 高·考浙江卷 )已知函数 f(x)x则 f(f(3)， f(x)lg x21 ， x<1，的最小值是探究二 比较两个函数值或两自变量的大小12已知函数 f(x) log 2x，若1 xx1(1,2) ，x2(2， )，则 ()Af(x1)<0，f(x2)<

8、0Bf(x1)<0，f( x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0Df(x1)>0，f(x2)>0探究三 解函数不等式3(2015 西·安一模 )已知函数范围是 ()A(，1)(2 ， )B(，2) (1， )C(1,2)D(2,1)f(x)x3，x0，ln x 1 ， x>0，若 f(2x2)>f(x)，则实数 x 的取值探究四 利用单调性求参数的取值范围4 (2015 江·西新余期末质检 )已知 f(x)2a x 1 x<1 ，ax x1满足对任意 x1 x2，都有fxx11fx2x2>0成立，那么 a的取值

9、范围是 (B. 1， 32A. 32， 2C(1,2)D (1， )函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函 数的单调性解决(2) 解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3) 利用单调性求参数 视参数为已知数， 依据函数的图象或单调性定义， 确定函数的单调区间， 与已知单调 区间比较求参数； 需注意若函数在区间 a，b 上是单调的， 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4) 利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单

10、调性求出最值1. 确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式【典例】 (12 分)函数 f(x)对任意 a，bR，都有 f(ab)f(a)f(b)1，且当 x>0 时， 有 f(x)>1.(1)求证： f(x) 是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式 f(2t1) f(1t)<2.思路点拨 (1) 用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2) 结合题意，将含 “f”的不等式 f(2t1)f(1t)<2 转化为 f( m)< f(n)的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解模板形成 A 组 考点能力演练1 (2015 ·吉林二模 )下列函数中，定

11、义域是 R 且为增函数的是 ( ) A y e xB y xCyln xDy |x|2 (2015 ·河南信阳期末调研 )下列四个函数：1y3x； yx21； x x 0 ， yx22x10； y1x x>0 .其中值域为 R 的函数有 ( )A1个 B2个 C3 个 D4个3若函数 f(x) x2 2ax 与函数 g(x)xa 1在区间 1,2上都是减函数，则实数 a的取 x 1值范围为 ( )A(0,1)(0,1)B(0,1)(0,1C(0,1)D(0,14已知函数f(x)x24x3，x0， x2 2x3， x>0，则不等式 f(a2 4)>f(3a)的解集为

12、()A(2,6)B(1,4)C(1,4)D(3,5)5(2016 ·浦东一模 )如果函数 y f(x)在区间 I上是增函数， 且函数 y在区间 I 上是减函数，那么称函数 y f(x)是区间 I 上的“缓增函数”，I 叫作“缓增区间”13若函数 f(x)12x2x32是区间 I 上的“缓增函数”，缓增区间” I 为 (A 1， )C0,1B 0， 3D 1， 3f x2 f x16已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 若对任意的 x1，x2 0， )(x1x2)，有 x x x2 x1<0，则 f(3) ，f(2)，f(1)的大小关系为1，x>0，7设函数 f(x)

13、0，x0，g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是 1， x<0 ，8(2015 ·长春二模 )已知函数 f(x)|xa|在(， 1)上是单调函数，则 a 的取值范围 是x 9已知 f(x)(xa) xa(1)若 a 2，试证 f(x)在(， 2)上单调递增；(2)若 a>0 且 f(x)在(1， )上单调递减，求 a的取值范围B 组 高考题型专练1 （2014 高·考北京卷 ）下列函数中，在区间 （0， ）上为增函数的是 （ ）Ay x1By（x 1）2Cy2 xDy log0.5（x1）2 （2013 高·考安徽卷 ）“ a0”是“函

14、数 f（x） |（ax 1）x|在区间 （0， ）内单调递增” 的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 x 6， x 2，3（2015 ·高考福建卷 ）若函数 f（x）（a>0，且 a1）的值域是 4， ），3 logax， x>2则实数 a 的取值范围是 4（2015 高·考湖北卷 ）a 为实数，函数 f（x）|x2ax|在区间 0,1 上的最大值记为 g（a）当 a 时， g（a）的值最小1.解析：2.解析：上的增函数，1根据函数的图象知，函数 f(x)x在(0，)上单调递减，故选 A.答案： A1要使 y log 5(

15、2x 1)有意义，则 2x 1>0 ，即 x>2，而 ylog5u 为(0， )当 x>当 x(0 ， )时， f(x)为增函数；x1当 x(0 ， )时， f(x) |x|为减函数故选 C.答案： C2x2判断函数 g(x)在 (1， )上的单调性x 12. 解： 法一：定义法 任取 x1，x2(1， )，且 x1<x2，2时，u2x1也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 21， .1答案： 12，3. 解析： 要使函数在 R 上是增函数，a21，则有 a<0 ，1a5a，解得 3 a 2，即 a的取值范围是 3，2答案： B14. 解析： 因为 1x2

16、1,0< 1 1，所以函数值域是 (0,1 ，选 B.答案： B 1x25. 解析： 依题意， f(2)f(0)0，f(1) 1，f(1)3，因此 f(x)的值域是 1,0,3 ， 选 D. 答案： D1. 解析： 当 x>0 时， f(x) 3 x 为减函数；3当 x0，2 时， f(x) x2 3x 为减函数，32当 x2， 时，f(x)x23x 为增函数； 2x1 2x22 x1 x2则 g(x1) g(x2) x11 x2 1 x11 x21因为 1<x1< x2 ，所以 x1 x2<0，（ x1 1）（x2 1）>0， 因此 g（x1） g（ x2

17、）<0 ，即 g（x1）<g（x2） 故 g（x）在（1， ）上是增函数 法二：导数法g(x)x1x12>0， 2 x 1 2x1y log 2u与 u x2 3x2的复合函数g（x）在 （1， ）上是增函数1. 解 （1）由于x ylog2（x23x 2）的单调递减区间为 （2， ），单调递增区间为 （，1）2x1，x0， y2x22x1，x<0， x 1 22， x 0， 即 y x 1 22， x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为 （， 1和0,1 ，单调递减区间为 1,0和1， ）2. （2）令 u x2 3x 2，则原函数可以看作 令 ux23x

18、 2>0，则 x<1 或 x>2.1函数ylog2（x23x2）的定义域为 （，1）（2， ）3又 ux23x 2 的对称轴 x2，且开口向上ux23x2在（，1）上是单调减函数，在 （2， ）上是单调增函数1而 ylog2u在（0， ）上是单调减函数，x 1x x0 ，x2x x 0 ，x 1x x<0x2x x<0x 21 214 x0x12 214 x<0画出函数的草图，如图1由图易知原函数在 0， 2 上单调递增答案： B1.解析： 由题知， f(3)1，f(1)0，即 f(f(3)0.又 f(x)在( ，0)上单调递减，在 (0,1)上单调递增，

19、在(1， 2)上单调递减， 在( 2，)上单调递增， 所以 f(x)min min f(0)， f( 2) 2 23.答案： 0 2 2 312. 解析： 函数f(x)log2x在(1， )上为增函数，且 f(2) 0，1x当x1(1,2)时， f(x1)<f(2)0，当 x2(2，)时， f(x2)>f(2)0，即 f(x1)<0， f(x2)>0.答案： B3. 解析： 当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲 线当x 0时，函数 f(x)x3为增函数， 当 x>0 时，f(x)ln(x1)也是增函数， 且当 x1<0， x2

20、>0时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)是定义在 R 上的增函数因此，不等式 f(2x2)>f(x)等价于 2 x2>x，即 x2 x 2<0，解得 2<x<1，故选 D.答案： D2a>0，34. 解析： 依题意， f(x)是在 R 上的增函数，于是有 a>1，解得 2a<2，2a ×1 1 a1.故选 A.答案： A规范解答 （1）证明： 设 x1， x2 R 且 x1<x2， 则 x2x1>0， f（x2x1）>1.（2 分）根据条件等式有f（x2）f（x1）f（x2 x1x1）f（x1）f（x2

21、x1）f（x1）1f（x1）f（x2x1）1>0， f（x1）<f（x2）， f（x）是 R 上的增函数 （6 分）（2）由 f（ab） f（a） f（b）1， 得 f（ab）f（a）f（b）1， f（2t1）f（1t）f（t2）1，（8分）f（2t1）f（1t）<2，即 f（t 2）1<2，f（t2）<3.又 f（22） f（2）f（2）15，f（2）3， f（t2）<3f（2）（10 分） f（x）是 R 上的增函数 ，t2<2，t<4，故不等式的解集为 （，4）（12 分）1.解析： 因为定义域是 R，排除 C，又是增函数，排除 A 、D，

22、所以选 B. 答案： B x x 0 ，2.解析： 依题意，注意到 y3x 与函数 y1 的值域均是 R，函数 yx x>04)>f(3a)，可得 a24<3a，整理得 a23a4<0，即 (a1)( a4)<0，解得 1<a<4，所以不 等式的解集为 ( 1,4)答案： B135. 解析： 因为函数 f(x)2x2x2的对称轴为 x 1，所以函数 yf(x)在区间 1， )x23 2x2 ，由 gf x 1 3 1 3 1 3 上是增函数，又当 x1 时， x 2x12x，令 g(x) 2x12x(x1)，则 g (x) 22x2f x 1 3(x)

23、0 得 1x 3，即函数 x 2x 12x在区间 1， 3上单调递减，故缓增区间 ” I 为 1， 3答案： Df x2 x16. 解析： 由 x1，x2(0， )时，<0，x2x1f(x)在(0， )上为减函数又 f( 2)f(2)，1<2<3，f(1)> f( 2)> f(3) 即 f(1)> f(2)> f(3)如图所示， 其递减区间是 0,1)答案： f(1)> f(2)> f(3)x2，x>1，7. 解析：g(x) 0， x1， x2， x<1.答案： 0,1)8. 解析： 因为函数 f(x)在 (， a)上是单调函数

24、，所以 a1，解得 a1.答案： (， 19. 解： (1)证明：任设 x1<x2< 2，则 f(x1) f(x2)x1 2 x2 22 x1 x2x1 2 x2 2(x1 2)( x2 2)>0 ， x1 x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(， 2)上单调递增x(2)f(x)xaxaa1x ax a当 a>0 时， f(x)在(，a)，(a， )上是减函数，又 f(x)在(1， )上单调递减，0<a1，故实数 a 的取值范围为 (0,1 1x 110. 解：(1)f(x)g(x) ·h(x)( x1) ，x3 x 3x1f(x) ， x0， a(a>0) x31(2)函数 f(x)的定义域为 0， 4 ，3令 x 1t，则 x(t 1)2， t1，2 ，f(x)F(t)tt22t4t4t2t4t时， t±2? 1，32 ，又 t1，32 时， t4t单调递减， F(t)单调递增，16F(t)3， 13 .16即函数 f(x)的值域为 3， 13 .11.解析： y (x 1)2仅在1 ， )上为增函数， 排除 B；y2x 12 x为减函数，排除 C； 因为 y log0.5t 为减函数， tx1 为增函数，所以 ylog0.5(x1)为减函数，