--数整除题库教师版

1、本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题 型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有 整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个 难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也 是一个不小的挑战。一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；一个数的末两位能被 4 或 25 整除，

2、这个数就能被 4 或 25 整除；一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被 9 整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被 11 整除4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果

3、 c| a, cIb， 那么 cI(a 5).5-2 数的整除性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除.即如果 bIa,clb，那么 cIa.用同样的方法，我们还可以得出：性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除.即如果 bcIa，那么 bIa,cIa.性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b与 c 的乘积整除.即如果 bIa, cIa，且(b, c)=1，那么 bcIa.例如：如果 3I12 , 4I12，且(3, 4)=1，那

4、么(3X4)I12 .性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除.如果 b | a，那么 bm | am (m 为非 0 整 数)；性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除.如果 b | a ,且 d | c，那么 bd | ac;例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】 已知道六位数 20 279 是 13 的倍数，求中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用 13 的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】六位数 2 吐 08 能被 99 整除，匚二是多少？【解析】方法一：200008 被 99 除

5、商 2020 余 28 ,所以 00 28 能被 99 整除，商 72 时，99 72= 71 2,末两位是 28,所以二为 71 ;方法二：99=9 11 , 2 山_08 能被 99 整除，所以各位数字之和为9 的倍数，所以方框中数字的和只能为 8 或 17 ;又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为6 或 5，可得匚二是 71.【巩固】六位数 20口 08 能被 49 整除，中的数是多少？【解析】详解类似上题，从略。填入05【例 2】173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填人3 个数字，所得到的3 个四位数，依次可被 9、11、6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数

6、字的和是多少？【解析】用 1730 试除，1730 弋=1922 , 1730 +11=1573, 1730 弋=2882.所以依次添上(9-2=）7、（11-3=）8、（6-2=）4 后得到的 1737、1738、1734 依次能被 9、11、6 整除.所以，这三 种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19 .【巩固】某个七位数 1993口能够同时被 2, 3, 4, 5, 6,乙 8, 9 整除，那么它的最后三位数字依 次是多少？【解【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7 位数能够同时被 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 , 9

7、整除，只要让七位数是 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 最 小公倍数的倍数即可。【2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9】=2520.用 1993000 试除，1993000 十2520=7902200 ,余 2200 可以看成不足 2520-2200=320 ,所以在末三位的方格内填入320即可.【巩固】如果六位数 1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？【解【解析】因为 105 =3 7 5,所以这个六位数同时满足能被3、7、5 整除的数的特征即可方法一：禾 U用整除特征末位只能为 0 或 5 . 如果末位填入 0,那么数字和为 1

8、9 9 2 - -0 =21 - , 要求数字和是 3 的倍数,所以口可以为 0 , 3 , 6 , 9,验证 200 -199 =1, 230 -199 =31,260 -199 =61 , 290 -199 =91 , 有 91 是 7 的倍数,即 199290 是 7 的倍数,所以题中数字的 末两位为 90 如果末位填入5,同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5 整除的特征.所以，题中数的末两位只能是 90 .方法二：采用试除法用 199200 试除， 1 9 9 2 0 0 10 5 1189 7 ,余 15可以看成不足，105 -15 =90 .所以补上 90,即在末两位的 方格

9、内填入 90 即可.【例【例 3】 在六位数 11口 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少？【解【解析】采用试除法.设六位数为 11ab11,11ab11 =11 10000 - ab00，11 =110011 ab00 如果一个数能同时 被 17 和 19整除，那么一定能被 323 整除.110011-323 =340|川川 H 191 ,余 191 也可以看成不 足 323 -191 =132 .所以当 ab00=132 323n时， 即 ab00 是 100的倍数时， 六位数才是 323的 倍数所以有 323n的末位只能是 10-2

10、=8,所以 n 只能是 6 , 16, 26 ,验证有 n =16 时， 132 323 16 = 5300 ,所以原题的方框中填入5 , 3 得到的115311 满足题意.【巩固】已知四一位数 555 口 999 （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？【解【解析】我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除7、11、13 原 41 位数中从高位数起共有20 个 5,从低位数起共有 20 个 9,那么我们可以分别从低位和高位选出555555 ,和 999999 ,从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即:555555 X1000（35 个 0）+555

11、555 X1000（29 个 0）+55 99+999999 X1000（12 个 0）+999999.这个算式的和就是原来的41 位数，我们可以发现每一组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是 7 的倍数，唯独剩余55 卩 9 待定，那么只要令 55 卩 9 是 7 的倍数即可，即只要口 44 是 7 的倍数即可，应为 6【例【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4 口 32是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；一共有多少种满足条件的填法？【解【解析】一个数是 9 的倍数,那么它的数字和就应该是9 的倍数，即 43 2 是 9 的倍数,而

12、432 =9,所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数.依次填入 3、6 ,因为433 26 =18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数；经过分析容易得到两个方框内的 数的和是 9的倍数，如果和是 9,那么可以是(9,0);( 8,1 );( 7,2 );( 6,3 );( 5,4 );(4,5 );( 3,6 );( 2,7);( 1,8);( 0,9)，共 10 种情况，还有(0,0 )和(9,9 )，所以 一共有 12 种不同的填法.【例 5】(2008 “数学解题能力展示”初赛)已知九位数 2007 口 12 口 2 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那 么，这个九

13、位数是多少？【解析】设原数=2 0a 0b 7 , 1 2 92 0 =7 a+2 = 42 或者 a + b = 13 ,112 0a 0b 72 2? 0 a22 -(0 7 1b )=0或 者(0 7 1 b ) -(2 2 a 0 2)=11二.a -b =2 或者 b - a =9 根据两数和差同奇偶，得：a 川-b=4a =3ab =13a=22二2 或者 f二 k 不成立所以，2007a12b2 =200731212.a -b=2b=1b-a =9b 【例 6】一位后勤人员买了72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字帐本是这样的：72 本笔

14、记本，共口 67.9 元(为被烧掉的数字)，请把处数 字补上，并求笔记本的单价.【解析】把口 67.9 元作为整数口 679 分既然是 72 本笔记本的总线数，那就一定能被 72 整除，又因为72 =8 9 , (8 , 9) =1.所以 8| 口 679 , 9| 口 679 口 8| 口 679 ，根据能被 8 整除的数的特征，8 |79 ，通过计算个位的口 =2.又 9| 口 6792，根据能被 9 整除的数的特征，9| ( 6 7 9 2)，显然 前面的应是 3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.92 十 72 =5.11 (元).【例 7】 由 1 , 3, 4, 5, 7, 8 这

15、六个数字所组成的六位数中，能被11 整除的最大的数是多少？【解析】根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11 的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有 a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0 或 a-b=11 或 a-b=22等情况，根据奇偶性分析自然数a 与 b 的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是 a-b 不可能为 22，所以 a-b=0，解得 a=b=14，则容易排列出最大数 875413.模块二、数的整除性质应用【例 8】 各位数码是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？【解析】被合数整除

16、把 225 分解，分别考虑能被 25 和 9 整除特征。225 =9 25，所以要求分别能被25和 9 整除。要能被 25 整除，所以最后两位就是00。要能被 9 整除，所以所有数字的和是9 的倍数，为了使得位数尽可能少，只能是 4 个 2 和 1 个 1，这样得到 1222200。【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312 棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10 棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10 所以通过枚举法来解(注意人数是减去 1 后是 3 的倍数)：1

17、312 , 312-1=311 不是 3 的倍数；2 156 , 156 -1 =155 不是 3 的倍数；3 104 , 104 -1 =103 不是 3 的倍数；4 78 , 78 -1 =77 不是 3 的 倍数；6 52 , 52 -1 =51 是 3 的倍数；8 39 ,39 -1 =38 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每 个人种了 6 棵树.【巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073 数相乘，一个数为人数一个

18、数为每人种的棵数，1073 =29 37，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵。【例【例 10】在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的小。【解【解析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5 整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和(8 6 5 a b c)是 3 的倍数；第二：末两位数字组成的两位数bc 是 4 的倍数；第三：末位数字c是 0 或 5。由以上条件，4|bc，且c只能取 0 或 5 ,又丁能被 4 整除的数的个位数不可能是5, -c 只能取 0

19、,因而 b 只能取 0, 2, 4, 6, 8 中之。又 T 3| 865ab0，且(8+6+5 )除以 3 余 1 , -a b 除以 3 余 2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取 a =0, b =2。要求的六位数是 865020。方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000 进行试除分别被 3、4、5 整除，就是被 60 整除，865000-：-60 =14416 小小 40，所以 86500020 =865020 能被 60 整除要求的六位数是 865020。【巩固】在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被7、& & 9 整除.那么这三个数字的和是多少？【

20、解【解析】7、8、9 的最小公倍数是 504，所得六位数应被 504 整除 524000 亠 504 =1039 山山 344，所以所得 六位数是524000 -344 =523656，或 523656 - 504 =523152 .因此三个数字的和是17 或 8 .【巩固】要使 15abc6 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么a,b,c 分别是多少？【解【解析】分解为互质的几个数的乘积，36=4 9 分别考虑所以 c6 能被 4 整除,从而c只可能是 1 , 3, 5,7 , 9.要使商最小，a,b 应尽可能小，先取 a=0，又 15 6 a b 12 b c，所以 3 b c 是 9

21、 的倍数所以 b =1 , c =5时，取得最小值.【例【例 11】从 0、1、2、3、4、5、6、7、& 9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？【解【解析】本题采用试除法。因为 3, 5, 7, 13 的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 99645 (100000-1365=73355 , 100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续 减 1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。有 99645-1365=98280, 98280-1365

22、=96915. 96915-1365=95550. 95550-1365=94185.所以，满足题意的 5 位数最大为 94185 .【巩固】请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？【解【解析】解法一：因为 7 X11 X13 = 1001 , 999 X1001 = 999999 不是七位数，这个七位数是1001 冷冷 bed = abcd000+ abed，如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以 c= 9，因为是 5 的倍数，所以 d = 5，要使最 大，先假设 a =8 时，b 取 8 , 5 , 2 都不符合要求，当 a

23、= 7 时，b 取 9, 6, 3, 0 中 3 符合要 求，所以最大的是 7402395分析题意知，这个七位数是7X11 X13 = 1001 的倍数，根据 1001 的特点， 解法二：假设这个七位数是 abedefg，满足 abed efg = n00n，很容易得出 e= 0, f = 9, b 和 e 相差 1, 如果 g = 0，那么 a = d,所以 g = 5。假设 a = 8，那么 d= 3, b 和 e 就是 2, 1 或者 7, 6，经检 验都不符合要求。假设a = 7,那么 d = 2 , b 和 e 就是 4, 3，经检验刚好可以。这个七位数是7402395.【例 12】

24、修改 31743 的某一个数字，可以得到823 的倍数。问修改后的这个数是几？【解析】本题采用试除法。823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743 弋 23=38469，于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足（823-469=）354，于是改动某位数 字使得得到的新数比原来大354 或 354+823n 也是满足题意的改动有n=1 时，354+823 :1177 , n=2 时，354+823 X2=2000，所以当千位增加2，即改为 3 时，有修改后的五位数33743 为 823 的倍数.【例 13】某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同

25、时可以写成10 个连续自然数的和，也能写成11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？【解析】本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续9 个奇数为例子：我们可以令连续 9 个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和为 9a，即为 9 的 倍数。对于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4, a+5则它们的和为 10a+5=5（2a

26、+1 ），即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数。所以本题中要求的数是 5 , 9, 11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495.【巩固】a是一个三位数它的百位数字是 4, a 9 能被 7 整除，a-7 能被 9 整除，问a是多少？【解析】a 9 能被 7 整除，说明 a-7 二 a 2 能被 7 整除；a-7 能被 9 整除，说明 a-7a 2 能被 9 整除；7 9 =63，则 63-2=61 符合上述两个条件.（因 63-2=61，则a可以写成这样的形 式：a =63 ? 61）.又a是一个百位数字是 4 的三位数，估算知，a =63 6 飞 1 =439.【巩固】有

27、些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成4 个连续自然数的和；还能表示成5 个连续自然数的和请你找出700 至 1000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由【解析】3 个连续自然数的和，一定能够被3 整除；4 个连续自然数的和，一定能够被2 整除，且除以 2所得的商是奇数，也就是说它不能被4 整除，除以 4 所得余数为 2 ； 5 个连续自然数的和，一定能够被 5 整除.3、2、5 的最小公倍数是 30 ,所以满足上述三个条件的最小的数是30 . 3、4、5 的最小公倍数是 60 ,所以 60 的整数倍加上 30 就可以满足条件.700 =60 11 40 ,所以第一 个符合题意的

28、数是750 =60 12 30，最大的一个数是990 =60 16 30，共计 16-12 T =5 个数，分别为 750、810、870、930、960 .【例 14】用数字 6, 7, 8 各两个，组成一个六位数，使它能被168 整除。这个六位数是多少？【解析】因为 168=8X3X7，所以组成的六位数可以被8、3、7 整除.能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是8 的倍数，末两位组成的数一定是4 的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或768，而又要求是 7 的倍数，由例 8 知 abcabc 形式的数一定是 7、11

29、、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，口 口 0688 的不管怎么填都得不到 7 的倍数.至于能否被 3 整除可以不验证，因为整除3 的数的规律是数字和为3 的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数.【例【例 15】将数字 4, 5, 6, 7, 8, 9 各使用一次，组成一个被667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是多少？【解【解析】本题考察对数字 667 的特殊认识，即 667X3=2001。本题要求用 4 , 5 , 6, 7, 8 , 9 组成一个 667

30、的倍数，其实发现 4, 5 , 6, 7 , 8, 9 组合出的数 一定是 3的倍数，那么只要考虑组成一个2001 的倍数即可，而 2001 的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是900 多的数字，后三位是400 多，很容易得到 956478。那么 956478 -H567=1434。【例【例 16】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160 就是一个十全数现已知一个十全数能被1, 2, 3，18 整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【解【解析】这个十全数能被 10 整除，个位数字必为0;

31、能被 4 整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20 .设这个十全数为 4876abcd 20 .由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11 整除，即 8 6 b d (4 7 a c 2) =b d (a c)被 11 整除，可能是 bd1 二 a c11、b d1 二 a c、b d111 二 a c .由于a、b、c、d 四 个数分别为 1、3、5、9 中的一个，只能是 b d，1=a c 11，即 b，d=a c 10 .所以 b、 d 是 9 和 5;a、c是 3 和 1，这个十全数只能是4876391520 , 4876351920 , 48761

32、93520 ,4876153920 中的一个.由于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有 4876391520 符合条件.【例【例 17】把若干个自然数 1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【解【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2 和 5 的个数决定的，有一对2 和 5 乘积末尾就有一个零.由于相邻两个自然数中必定有一个是2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观察因数 5 的个数就可以了. 5=5 1 ,10=5 2 , 15=5 3 , 20 =5 4 ,25=5 5 , 30 =

33、5 6 ,，发现只有 25、50、75、100、这样的数中才会出现多个因数 5 ,乘到 55 时共出现 11 *2=13 个因数 5 ,所以至少应当写到 55,最多可以写到 59 .【巩固】从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【解【解析】首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0 .其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都 可以产生一个 0,而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0 , 50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生1 个 0,所以一共有 7 4 2 1 =14 个 0.【巩固】975 935 972 ，要使这个连乘积的最后4

34、 个数字都是 0,那么在方框内最小应填什么数？【解【解析】积的最后 4 个数字都是 0,说明乘数里至少有4 个因数 2 和 4 个因数 5. 975 = 5 5 39 ,935 =5 187 , 972 =2 2 243，共有 3 个 5, 2 个 2，所以方框内至少是 2 2 5=20 .【巩固】11 个连续两位数的乘积能被343 整除，且乘积的末 4 位都是 0,那么这 11 个数的平均数是多少？【解【解析】因为 343 =73，由于在 11 个连续的两位数中，至多只能有2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98 又因为乘积的末 4 位都是 0,

35、所以这连续的 11 个自 然数至少应该含有 4 个因数 5连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍数，所以其中有一个必须是25 的倍数，那么就只能是25、50 或 75 所以这 11个数中应同时有 49 和 50,且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 40, 41 , 42, 43 , 44, 45 , 46 , 47 , 48 ,49 , 50,它们的平均数即为它们的中间项45 【巩固】把若干个自然数 1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53 位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【解【解析】1 到

36、10 的乘积里会出现 2 5 和 10 两次末尾添零的情况，估算从200 开始，是 40，1 =49 个0,还要扩大至 220 时再增加 4 个 0,所以最小的数应该是 220，而最大应该是 224 【例【例 18】从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1 至 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_【解【解析】第一次报数后留下的

37、同学，他们最初编号都是11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是 112=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是111331 的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331【例【例 19】在 1、2、3、42007 这 2007 个数中有多少个自然数a 能使 2008+a 能被 2007-a 整除。【解【解析】本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得2008+a 能被 2007-a 整除，我2008 a是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们 2007 - a的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的值，所以

38、满足条件的 a 的取值共有 7个。【例【例 20】以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的 差能否被 11整除【解析】142857 =1 100000410000 2 1000 8 1005 10 7 1=1 (100001 -1) 4 (19999) 2 (1001 -1) 8(1 99) 5 (11 -1)71=(1 100001 4 99992 1001 8 99 5 11)(4 -1 8 -2 7 - 5)因为根据整除性质1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11 整除，再根据整除性质1 ,要判断 142857 能否被 11

39、整除，只需判断 4 -1-2 * 7-5 =(4 * 8 * 7)-(1 * 2 * 5)能否被 11 整除，因此结论得到说明们可以将条件等价的转化为只要让知道若 a 可以使得2008 a是一个整数，那么2007 a:2008 a 2007-a4!乞是一个整数，这样只要2007 -a2007 -a分解可知其共有 8 个因数，其中 4015 是最大的一个，a 也同样可以使得2008 a12007 -a可，将 40152007-a 是 4015但是显然没有可以让的约数即2007-a 等于 4015【巩【巩固】以多位数 142857314275 为例，说明被 7、11、13 整除的规律.【解析】14

40、2857314275 =142 1000000000857 1000000314 1000275= 142 (1000000001 _1) 857 (9999991) 314 (1001 -1) 275= 142 1000000001 -142 857 999999 857 314 1001 -314 275= (142 1000000001857 999999 314 1001) (857 _142275 _ 314)因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13 整除，再根据整除性质 1，要判断 142857314275 能否被 7、11、13 整除，只需判断 85

41、7 142 *275 -314 能否被7、11、13 整除，因此结论得到说明【例【例 21】已知两个三位数 abc 与 def 的和 abc def 能被 37 整除，试说明：六位数 abcdef 也能被 37 整 除.【解【解析】abcdef = abc 1000 def = abc 999 (abc def)，因为 999 能被 37 整除，所以 abc 999 能被37 整除，而(abc def)也能被 37 整除，所以其和也能被37 整除，即 abcdef 能被 37 整除.【巩【巩固】如果 abcde 能被 6 整除，那么 2(a b c de 也能被 6 整除.【解析】-/6 =2

42、 32| abcde2|e6|3e-3| abcde3|a+b+c+d+e6|2(a+b+c+d+e)6|2(a+b+c+d+e)-3e6|2 (a+b+c+d ) -e【巩固】若 4b 2c d -32，试问 abcd 能否被 8 整除？请说明理由.【解【解析】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被8 整除即可阪丄 100b 10c d，有bcd -(4b 2c，d)=96b，8c=8(12b c)能被 8 整除，而 4b 2c d =32 也能被 8 整除，所以 abcd 能被 8 整除.【例【例 22】两个四位数 A275 和 275B 相乘，要使它们的乘积能被72 整除，求A和B.

43、【解【解析】考虑到 72 =8 9，而 A275 是奇数，所以 275B 必为 8 的倍数，因此可得B=2;四位数 2752 各 位数字之和为2 75 2 =16 不是 3 的倍数也不是 9 的倍数，因此 A275 必须是 9 的倍数，其各位数字之和 A 2 7 A 14 能被 9 整除，所以A=4.【巩固】若四位数 9a8a 能被 15 整除，则a代表的数字是多少？【解【解析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 嬴 a 既能被 3 整除，也能被 5 整除.能被 5 整除的数的个位数 字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数.当 a =0 时，9 a 8 17，不

44、是 3 的倍数；当 a =5 时，9 a 8 17，是 3 的倍数.所以，a代表的数字是 5【例【例 23】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是1、2 就是 3.在密码中 1的数目比 2 多，2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除试问密码是多少？【解【解析】密码由 7 位数字组成，如果有两个3 的话，那么至少是 2 34=：9 位数，与题意不符；只有一个 3 的话，那么至少有两个 2.如果有三个 2，那么 1 至少有四个，总共至少有 13 8 个数 字，与题意不符，所以 2 只有两个，1 有四个，如此，各数位数字和为 4 4 *3=11，不是 3 的

45、 倍数，所以密码中没有 3，只有 1、2，由 1、2 组成的四位数中只有 2112 能被 16 整除(从个 位向高数位推得)，所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是 3 的倍数，只有 111 和222 满足条件，其中 2222112 的 2 多于 1，应予排除，所以这个密码是 1112112.【巩固】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是2 就是 3在密码中 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 4 所整除试求出这个密码.【解【解析】密码中的 2 比 3 要多，所以 2 可能有 4、5、6 或 7 个.当 2 有 4 个时，密码的数字和为17 ;当 2 有

46、 5 个时，数字和为 16 ;当 2 有 6 个时，数字和为 15 ;当 2 有 7 个时，数字和为 14 .由于一个数能被 3 整除时，它的数字和也能被3 整除，所以密码中 2 应当有 6 个，这样 3 就只能有 1 个另外，一个数能被4 整除，那么它的末两位数也应当能被4 整除，所以末两位数必定是 32 .所以，密码是 2222232 .【例 24】一个 19 位数 7777044444 能被 13 整除，求0内的数字.9 个9 个【解【解析】/ 13| 77 口口 044444 ,二 13| 77 ” 770444 ,二 13|7777770000000+ 77704449 个9 个91

47、3|777777 , / 13|7777770000000 , / 13| 7770444 , / 13| 7770 -444/ 444-：-13 =43 川 2 , / 13| 7770 -2 , 设 7770 =77707770 3 =597 川 9 , /. 0 =13 -(9 -2) =6【巩固】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数66 6?55 5 可被 750 个 650 个 5整除？【解【解析】由于 111111 =111 1001 可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“ 66?55 ”

48、.从中减去 63035，并除以 100，即得“3?2 ”可被 7 整除此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322 和 392 可被 7 整除.所以？处应填 2 或9.【例 25】多位数 200920091 2009736，能被整除，n最小值为多少？n 个 2009【解【解析】奇数位数字之和为 6 72 n ,偶数位数字之和为 3,9n ,这个多位数整除 11 ,即(3 n )- ( 67 n2 ) n 7-能整除 11 , n 最小取 3.【巩固】2009200.911)200909 能被 11 整除，那么，n的最小值为多少？n 个 2009【解析】2009200.9 山 200909

49、中奇位数减偶位数的差为(9-2) n 7n 9，当 n=5 时，(7n，9)是 11n 个 2009的倍数，所以n的最小值是 5.【例 26】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5 , a 和 b，将它连续重复写2008 次成为:5ab5ab 5ab .如果此数能被 91 整除，那么这个二位数5ab 是多少?2009 个 5ab【解【解析】因为 91 =7 13，所以 5ab5ab 5ab 也是 7 和 13 的倍数，因为能被 7 和 13 整除的特点是末三2009 个 5ab位和前面数字的差是7 和 13 的倍数，由此可知 5ab5ab 50b _50b =5ab5aq 川川(弥弥 000

50、也是2008 个 5ab2007 个 5ab7 和 13 的倍数，即 5ab5ab 打打” | | |5ab 也是 7 和 13 的倍数，依次类推可知 5ab5ab(H 11 5ab 末三位和2007 个 5ab2007 个 5ab前面数字的差即为：5ab5ab|5ah -5ab =5ab5ab|H(5ah000 也是 7 和 13 的倍数，即2006 个 5ab2005 个 5ab5ab5abUl”l5b 也是 7 和 13 的倍数，由此可知 冠也是 7 和 13 的倍数，百位是 5 能被 7 和 132005 个 5ab即 91 整除的数字是：91 6 =546，所以 ab =46 .【例

51、【例 27】试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数(如：1236 为原序数，那么它对应 的反序数为6321，它们的和 7557 是 11 的倍数.)【解【解析】设原序数为 abcd，则反序数为 dcba，则abcd + dcba =(1000a 100b 10c d) (1000d100c 10b a)= 1001a 110b 110c 1001d= 11(91a 10b 10c 91d)，因为等式的右边能被11整除，所以 abcd dcba 能被 11 整除【巩固】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的 差一定能被 9整除.【

52、解【解析】设原来的两位数为 ab，则新的两位数为 ba . ba ab = (10b-a) (10a b) = 9(b-a).因为 9(b-a) 能被 9 整除，所以他们的差能被9 整除.【巩固】试说明一个 5 位数，原序数与反序数的差一定是99 的倍数(如：12367 为原序数，那么它对应的反序数为 76321，它们的差 63954 =99 646 是 99 的倍数.)【解【解析】设原序数为 abcde，则反序数为 edcba，贝 Uabcde edcba =(10000a 1000b 100c 10d e) -(10000e 1000d 100c 10b a)=9999a 990b -99

53、0d -9999e=99(101a 10b -10d -101e)因为等式的右边能被 99 整除，所以 abcde - edcba 能被 99 整除【巩固】1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时 针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是 193426857 和758624391 ).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？99 整除而 396 =99 4，所以我们只用考察它能否能被4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4 整除，显然只有当剪开

54、处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有(3 , 4)处、(8 , 5)处的两个数字奇偶 性均不【解【解析】互为反序的两个九位数的差，一定能被3相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有(9 , 3)处剪开的末两位数字之差为 43 19 =24 , (4 , 2), (2 , 6), (6 , 8), (5 , 7), (7 , 1), (1 , 9)处剪开 的末两位数字之差为 62 3 =28 86 42 =44 , 58 26 =32 , 85 17 =68 , 91 57 =34 , 71 39=32 所以从(9 , 3), (4 , 2), (

55、2 , 6) , (6 , 8) , (5 , 7), (1 , 9)处剪开， 所得的两个互为反序的九位数的差才是396 的倍数.(9 , 3) , (4 , 2), (2 , 6) , (6 , 8), (5 ,7), (1 , 9)处左右两个数的乘积为 27 , 8, 12 , 48, 35 , 9 .【例 28】一个六位数 abcdef ,如果满足 4 abcdef = fabcde ,则称 abcdef 为迎春数”(如4 102564 =410256，则 102564 就是“迎春数”)请你求出所有“迎春数”的总和 .【解析】方法一：显然，f 不小于 4，原等式变形为 4 (abcde

56、10 f 100000 f abcde化简得 abcde =2564 f，当 f =4 时，abcde =10256，于是 abcdef 为 102564 .同理.f =5 , 6,7 , 8 , 9,可以得到 abcdef 为 128205 , 153846 , 179487 , 205128 , 230769 .所有的和是 999999 .方法二：显然，f 不小于 4，若 f =4 , e 为 4 f 末尾数字，所以 e=6 ;de 为 4 ef 的末 2 位，所以 d =5 ；cde 为 4 def 的末 3 位，所以 c = 2 ；bcde 为 4 cdef 的末 4 位，所以 b =

57、0 ;abcdef 为 4 bcdef 的末 5 位，所以 a =1 ；于是 abcdef 为 102564 .同理.f =5，6，乙 8，9，可以得到 abcdef 为 128205，153846，179487，205128，230769 . 所有的和是999999 .【例 29】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数已知这两个 4 位数的和是以下 5个数的一个：9865;9866:9867:9868:9869.这两个 4 位数的和到底是多少？【解析】设这个 4 位数是 abcd，则新的 4 位数是 bcda .两个数的和为abcd bcda =1001a 1100b 1

58、10c 11d ,是 11 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9867 是 11 的倍 数，故正确的答案为9867 .【巩固】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数再将新的 4 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个：9865 :9867:9462 :9696:9869.这两个 4 位数的和到底是多少？【解析】设这个 4 位数是 abcd，则最新的 4 位数是 cdab .两个数的和为abcd 融 =1010a 101b 1010c 101d，是 101 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9696 是 1

59、01 的 倍数，故正确的答案为9696.模块三、整除与其他知识综合性题目【例 30】在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为13 的数，共有多少个.【解析】两位数字中能被 11 整除的数字是 11、22、99 这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个三位数为 abc，有 a b，c=13 和 a c -b =11，显然有 a c =12， b =1，所以就有 913，814，715，616，517，418， 319 这 7 个.四位数，设这个四位数为 abcd， 有 a b c d =13 和(ac)-(b，d)=：11中，若 a 12，b d =1 则 a=3 或 4

60、有 2 种组合，b 和 d 有 2 种.因此有 4 种；(2)有 a b cd =13 和(b，d ) - (a c)=11，a 1，b 12，则只能 a =1, c=0, b 和 d 有 7 种组合.综上所述，这样的数有 7 418 个.【巩固】用 1, 9, 8, 8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？【解【解析】现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上3 后，就能被 11 整除了所以我们得到“一个数被 11 除余 8 ”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加 3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11 整除，那么这个数是被 11 除余 8 的数；否则就不