第三章条件概率与条件期望

1、A學E R s I T丄YdA漢第三章 条件概率与条件期望为什么要研究条件概率与期望在解决现实问题时，常常需要计算在 部分信息已知时的概率和期望条件概率和条件期望本身是计算概率 和期望的有效方法本章主要内容离散随机变量的条件概率与条件期望连续随机变量的条件概率与条件期望条件概率与条件期望的作用女學第一节离散随机变量的条件概率与条件期望如果X和Y是离散随机变量，在Y=y给定的条件下，X的条件概率密度函数定艾为：Pxiy(xI y) = PX = x| Y = y=PX = %Y二 yPY=yp(%y)pY(y)在Y=y给定的条件下，X的条件分布密度函 数定义为:Fxiy(x | y) = PX

2、W x | Y 二 y二工 px,Y(a | y)a<x2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20125女學在Y=y的条件下，X的条件期望定义为：EX|Y=y = xPX = x|Y=y = xpx|Y(x|y)XX前面所有f特别地，如果X和Y独立，那么, 的定义和无条件时的一样。例3.1假定X和Y的联合概率密度函数p(x,y)为： p(l，l)=05, p(l,2)=0l, p(2,l)=0l, p(2,2)=03 计算在Y=1给定的条件下X的条件概率密度函 数。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012WUHAN UNI

3、VERSITY例3.2有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi, 在非雨天运转的概率为qi, i=l,2, ,n<明天下雨的概率为oc。计算在明天下雨时, 运转的零件数的条件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學E R s I T丄Yd第二节连续随机变量的条件概率与条件期望定义为：g)=ff驚) X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f（x，y）,那么在Y=y时X的条件概率密度函数给定Y=y时X的条件期望定义为:EX|Y=y=Lxfx|Y(x|y)dx2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,201211A漢A

4、學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd例3.3假定X和Y有联合密度f (淫 y)=6 号(2 -x- y),0 <x<l,O<y<l0,其他对于0<y<l,计算给定Y=y时X的条件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zha

5、ng ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd例3.4 X和Y的联合密度为ye_xy?0 < x<oo?0 < y <2 f(x, y) = p0,其他求 Eex/2|Y = 12012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學第三节条件概率与条件期望的应用一、通过取条件期望计算期望对于任何的随机变量X和Y,条件期望的重 要性质：EX = EEX|Y注意：EX|Y本身是一个随机变量，是随机变量Y的 函数，在Y=y处取值是EX|Y=y2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄

6、Yd历史书中的印刷错误数服从均值为5的例3.5假设我们正在读一本概率书和一本历史 书，在读的一章概率书中的印刷错误数 服从均值为2的泊松分布，在读的一章泊松分布，假定我们等可能地选取概率 书或历史书，那么遇到的印刷错误数的 期望是多少？例3.6 （几何分布的均值）连续抛掷一枚正面出现的概率为P的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012例3.7某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他

7、还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd二、通过取条件期望计算方差方差的计算公式为：Var(X) = EX2-(EX)2用取条件期望分别计算两个期望值2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學E R s I T丄Yd例3.8连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var (N)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學20

8、12/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012 E是一个事件,X二由X的定义推出:三、通过取条件期望计算概率定义示性随机变量X为:1,若E发生0,若E不发生EX=P(E)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20122012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012EX|Y=y=P(E|Y=y)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012&岳4丸祐氏：、Mp(E-YHy)p(YHy)y 诫箱M聲3P(E)JLy7+8P (E_Y"y) fY(y)dx 谢爺ffiBsyJ82012/32Copyright©Pei Zhang -2012例3.9保险公司假定参保人每年发生事故数是 均值依赖于参保人的泊松随机变量，假 定一个随机选取的参保人的泊松均值具 有密度函数为：g(2) = -2>0的伽马分布。问一个随机选取的参保人明 年恰有n次事故的概率是多少？四、其他应用例3.10 （列表模型）考虑n个元素el,., e