数的运算备课解读与难点透视解读

1、数的运算”备课解读与难点透视一、“数的运算”内在思想和方法“数的运算”属于全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称 “标准”）中的“数与代数”领域，在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的 比重。正确认识计算在数学教育中的作用， 准确了解计算的内在思想和方法， 能 使我们的计算教学更加科学有效。数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识， 因此它历来是小学数学 教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目的之 一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握， 关系着学生观 察、记忆、意志、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智 力因素的培养。

2、可以说，有一定的计算能力是每个公民具备的基本素养之一。1、数的运算在日常生活、工作和学习中有广泛的应用。 数的运算是人们认 识客观世界和周围事物的重要工具之一。 从抽象的观点来看， 客观世界的表现形 式可以概括为：数量、空间和时间及其相互之间的关系。从数学的角度来看，主 要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系 要量化也离不开数与计算。 任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混 合运算来计算的。2、数的运算对培养学生的思维能力有重要作用。 学习数的运算的过程是培 养和发展学生逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都 有内在联系， 存在着严密

3、的逻辑性。 每个概念、 性质、法则、公式的引入、 建立， 都要经过抽象、 概括、判断、推理的思维过程。 学生学习、 理解和掌握这些概念、 性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、 感性到理性的过程。 学生把这些概念、 性质、法则、公式应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此， 学生学习、理解和掌握数的运算的有关内容能促进学生思维能力的发展。3、数的运算的教学有利于渗透辩证唯物主义观点的启蒙教育。 数的运算是 在人类的生产、生活中产生和发展起来的。 它们具有由低级到高级、 简单到复杂 的逐步发展过程。而数的运算中又有很多相互依存、 对立统一的概念和计算方法。 如整数与分数、约数与倍数，

4、加与减、乘与除、通分与约分等等。教学中阐明这 些相互依存的概念与概念、 计算方法与计算方法之间的相互关系， 也就渗透了辩 证唯物主义观点的启蒙教育。4、数的运算是科学技术的基础。 “国家的繁荣富强，关键在于高新科技和 高效率的经济管理。” 这是当代有识之士的共同见解， 也已为各发达国家的历史 所证实。而当代科技的一个突出特点是定量化。在许多现代化的设计和控制中， 从一个大工程的战略计划、新产品的制作、成本的结算、施工、验收，到贮存、 运输、销售和维修等等都必须十分精确地规定大小、方位、时间、速度、成本等 数字指标。而这些数字指标的获得离不开计算。如果说高新技术的基础是数学， 那么计算则是高新技

5、术的基础的基础。二、标准对“数的运算”教学内容的加强与削弱随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的逐步普及， “数的运算”中 的哪些知识是大多数人最常用的和最基础的知识也在发生着变化。 了解和研究这 种变化，重新审视相应的教学内容和教学要求是小学数学课程教材改革研究的任 务之一。 加强的内容1、注重计算与日常生活的联系。过去一提到计算，常常和“抽象” “单调” “枯燥”等词语联系在一起， 计算教学陷入了一些误区。 与传统的计算相比，标 准注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。在“总体目标” 中提出：“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程， 掌握数与代数的基 础知识和基本技

6、能，并能解决简单的问题。” “经历运用数学符号和图形描述现 实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”诚然， 计算本身具有抽象性，但其反映的内容又是非常现实的， 与人们的生 活、生产有着十分密切的联系。而“经历”是数学学习的过程性目标，是指在特 定的数学活动中，获得一些初步的经验。学生学习计算就必须经历实际的情境， 使学生在实际情境中通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、 现实背景和 本质。2、增加计算器的运用。 计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。 标 准在“基本理念”中强调：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术， 特别要充分考虑计算器、 计算机对数学学习内容和

7、方式的影响， 大力开发并向学 生提供更为丰富的学习资源， 把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强 有力工具， 致力于改变学生的学习方式， 使学生乐意并有更多的精力投入到现实 的、探索性的数学活动中去。”在“内容标准”中明确提出： “能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单 的实际问题，探索简单的数学规律。”这一目标强调了计算器的运用功能，一方 面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，从而减少计算时间， 提高计算的速度；另一方面， 借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、 更为现 实的应用问题。可以说， 随着计算器进入课堂， 能逐步把学生从繁琐的技巧性计 算中解放出来，以学习更多有

8、用的数学内容。3、强化估算的作用。 估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法 或没有必要进行精确测量和计算的数量，所进行的近似的或粗略估计的一种方 法。在现代化的社会中， 复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成， 日常生活 和工作中估算的作用越来越突出。如， 人们在使用工具进行计算中， 由于操作上 的失误会使计算结果有很大的误差， 这就要求人们具有一定的估算能力， 能对计 算结果的合理性 （是否在正确结果的范围内） 进行判断，并对其合理性做出解释。 另外，估算还可以用于平时的计算， 在计算前对结果进行估算， 可以使学生合理、 灵活地用多种方法去思考问题， 在计算后对结果进行估算， 可以使

9、学生获得一种 最有价值的检验结果的方法。 所以估算能力是现代化社会生活的需要， 是衡量人 们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。标准在“内容标准”的具体目标中十分强调估算的作用，在第一学段中 强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在 解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。 削弱的内容1、删减珠算的内容 。珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要 的作用，同时，珠算教学形象性的功能， 对于学生大脑智力开发也有很大的促进 作用。但是，当今社会的各行各业， 随着计算机的不断普及， 人们基本上已经不 采用珠算计算的方

10、法。 因此， 标准中基本不介绍珠算，更没有珠算的运算要 求，取而代之的是计算器的进入课堂。2、删减繁琐的运算步骤。 在整数运算方面，标准明确提出：“进行简 单的整数四则混合运算 （以两步为主， 不超过三步） 。 ”而在这里“简单”运算 的含义具体包括：“加、减法以两三位为主” ，“乘法是三位数乘两位数” ，“除 法是三位数除以两位数”。在小数、分数运算方面， 标准提出：“会分别进行简单的小数、 分数（不 含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。”3、删减运算的数目要求。 在口算方面，标准提出：“会口算百以内一 位数乘、除两位数。”在笔算方面，提出：“能笔算三位数乘两位

11、数的乘法，三 位数除以两位数的除法。”我们知道， 同样的一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算，其错 误率有成倍的增长。因此， 降低数在运算过程中的数目要求， 也就降低了学生的 错误率，真正减轻了学生的负担。三、标准对“数的运算”第一、二学段具体目标和实施要点 具体目标详见课程标准。 实施要点1、如何建立四则运算概念？首先，应注重在具体情境中体会运算意义。 四则运算是小学数学最基础的知 识，在小学阶段，一般对加法的定义是： “把两个数合并成一个数的运算。”减 法的定义是： “已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘 法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：

12、“已知两个因数 的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 ”这些运算定义虽然在表述上已经 比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当 一个数的运算与代表情境中的物体相联系时， 才能在学生的头脑中获得真正的意 义。 情景可以赋予数以意义， 从而使抽象的数成为具体的物体。 因此 标准提 出了“结合具体情境”的要求，是符合学生的心理特点和认知规律的。案例“加法”的教学 （人教版课程标准实验教材一上第23页） 教材创设了学生熟悉的活动情境“折纸游戏”：折了1只红色的纸鸟，2只 蓝色的纸鸟。教学时，可以组织学生观察叙说：红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色 纸鸟可以用“2”表

13、示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示；要求一共有多少只 纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成 “12=3”；然后让学生联系情境说一说“1”“2”“3”和“”各表示什么 含义；最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动， 逐步形成对加法意义的认识。这样的教学过程，学生对加法含义的理解， 建立在丰富的感性积累基础之上， 在头脑中形成显明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。其次，应淡化概念形式，注重数学本质。案例“乘法”的教学 （苏教版课程标准实验教材一下第68-69页） 教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：兔有3

14、个2，鸡有4个3；再让学生用已经学过的连加进行计算：222=6，3333=12。接着通过操作学具和观察花片等活动，使学生进一步体验“几个几”：3个5可以写成555=15，5个3可以写成33333=15。然后通过计算桌子上电脑的台数：2222=8，讲述“4个2相加， 可以写成2X4=8或4X2=8”。同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式 的读法。这样的编排和教学， 改变了传统教学中强调 “相同加数” “相同加数的个数” “每份数”“份数”“被乘数”“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和 乘数不能位置的人为障碍设置， 强化了乘法的本质同数相加。 学生认识乘法 的过程，成为了快乐的学习体验

15、过程，成了理解数学本质的过程。2、如何重视口算教学？口算也称心算， 是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果 的计算方式。 口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解， 口算不仅仅是笔 算的基础， 而是运算中独立的一部分， 同时口算在日常生活中有着很高的应用价 值。因此，口算不仅有实践意义，而且是数感发展过程中的一个重要部分，口算 可以发展高层次的数学思维，以及解决问题的能力。在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：（1）在数形结合中理解口算原理。数的运算，其实质是对现实生活中物体 的个数进行运算， 可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。 在让学 生理解口算的

16、算理时，除了要与实际情境相结合， 还要逐步过渡为数学的语言符 号。案例“整百数加、减整百数”的教学 （北师大版课程标准实验教材二下 第50页）首先创设“买电器”的情境：洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。提出问题：“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱？” 列式：500800。接着通过具体的人民币（都是面值百元）的呈现，引发学生思考：5加8等 于13，500800=1300。然后又通过计数器演示：5个百加8个百是13个百，也就是1300。 最后让学生叙说自己的思考和计算过程。这样的编排和教学， 由具体实物（人民币） 的操作过渡到半形象半抽象的计 数器（算珠）演示

17、，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算 理。（2）科学合理训练，强化基本口算。在小学阶段的口算内容中，两个一位 数相加与其相对应的减法和表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口 算， 俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱 口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法， 还要注重口算训练的科学合理。笔者调查了当前小学生基本口算能力的现状和错误分布情况， 发现目前在低 年级阶段有些老师过分提高口算的速度要求（有的要求学生每分钟算30道甚至50道），而中高年级则忽视基本口算训练，过分依赖笔算。要强化基本口算， 首先应重视基本口

18、算方法的教学。 小学生口算的方法一般 存在三个层次：逐一重新计数T借数数加算或减算一按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。 在教学初期为了达到算法指导 下的正确计算，可不作计算速度的要求。其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。 小学正处于“具体运算阶段”， 思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内 除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。因此，教学口算方法时， 要特别 强化思路教学， 以帮助学生掌握基本方法， 同时有意识地培养学生的逆向思维能 力。再次，应注意口算训练科学化。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练 方法，考虑训练

19、周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练 习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性， 抓住 难点反复练习，不能平均用力，甚至出现易题多练、难题少练的现象；三要注意 练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。3、如何加强估算意识？估算具有重要的应用价值， 是学生应该具有的重要的计算技能。 随着计算技 术的进一步发展， 大量的计算并不要求进行精确的计算， 一个人在日常活动中进 行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。 在小学阶段计算教学中， 与估算相 关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验 算等等。要体现标准

20、中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：（1）培养数感是打好估算的基础。数感是对数和数的关系的一种良好的直 觉。估算可以发展学生对数的认识，并对数感的培养具有重要的意义，同时，良 好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在数的认识时要加强数感的培养， 在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。（2）掌握估算方法，养成估算习惯。有研究表明，小学生最常使用的估算 方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是学生在估算时先把数简 化成比较简单的形式。例如估算“495310”，把495看作500，把310看作300， 这样估算时即想比较简单的形式“500300”即可。所谓“转换”，是学

21、生在估 算时把一种问题转换成另一种问题来思考。 例如估算加法问题“602597589”， 把加法问题转换为乘法问题： “600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。” 而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运 算中的不足，使估算比较准确。例如“602597589”这一问题， 学生在转换 时可能会进一步想： “答案大约是1800， 而且会稍小于1800，因为我在将每一 个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”此外，还要培养学生的估算习惯。我们在教学中也常常发现，有些学生在计 算时会出现一些莫名其妙的错误。 对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯， 每做完一道题目，可以先估计一下数值， 然后与实际计算所得的答案比较， 及时 觉察出错误并加以更正。案例北师大版课程标准实验教材三上第56页第6题： 一个同学说“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数都相等。”另一 位同学经过估算指出“这是不可能的。”这里，后一位同学就是用估算进行了判断。他可能用乘法的思路：5乘一个 数的得数个位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余数的。可见，养成了估算的良好习惯，能合理解释结果的合理性，验证计算的精确 度。4、如何体现算法多样化？标准在