第二章光的衍射

1、第二章光的衍射1单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的 半径。若极点到观察点的距离ro为1m单色光波长为450nm求此时第一 半波带的半径。解：当用平面光照射圆孔时，第k个波 带的半径，由：k =虫(11)平行光Rh九r R解出为：Rk = . kro1当：ro=1m 入=450nm k=1 时,第一半波带的半径：r1 二叩 145010 =0.6710'm =0.67 mm2平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：(1)小孔半径应满足什么条件，才能使 得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和

2、极小值；(2) P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：k =R；/r0九，已知：r 0=4m 入=500nm圆孔的半径为：Rk =,、.kr0，=0.141(1) 当k为奇数时，P点的光强为最大值；当k为偶数时，P点的光强为最小值；(2) 若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，将：k=1 代入：R k = 0.141. k得到小孔直径： d = 0 .282 mm3波长为500nm的单色点光源离光阑1m光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m求P点光强度I与没有光 阑时的光强度I0

3、的比值。k2解：已知：r o=1m R=1m 入=500nm半径为R=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数ki： k£”）=i& R ro半径为R=1mm勺圆孔能露出的半波带数k2：也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为:11A = a2 - a3 亠 a4a2a4 : ai22光强度为：luaf没有光阑时，P点的光强度：lo=ai2/4 得到：I : 1。= 4 : 14波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放 一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？ （ 2）要使 P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕

4、分别向前和向后移动多少？解：已知：ro=1m R=2.76m、入=632.8nm、R=（1）根据:“虫（右丄）R r0解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3因P点接受到奇数个半波带，则 P点应为亮点。（2）若使P点变成与（1）相反的情况，贝U k要取为偶数，即：k=2或4当k=4时，r0Rk2=750 mm屏幕至少要向前移动： r0 =1m-0.75m=0.25m*R 2当 k=2 时，r0- = 1505 mmk人5 波带片由五个半波带组成，第一波带为半径ri的不透明圆盘，第二波 带是r 1到2的透明圆环，第三波带是2到3的不透明圆环，第四波带是 r3到4的透明圆环，第五波带是4至无

5、穷大的不透明区域。已知：r仁2： 3：4=1： 2： 3： 4,用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波 带片1m的轴上，试求：（1）1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现 在轴上那些位置？解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算2公式为：k =丄已知：1:2： r 3： 4=1: 2 :3:,4第一波带遮住的波带数：k 1210第二波带露出的波带数：k 222二 212 ' 0丸。第三波带遮住的波带数：k 3233/0X0第四波带露出的波带数：k 4244120九0波带片遮住和露出波带数之比:k1 ： k2 ： k3 ： k4 =1： 2 : 3 : 4&0

6、若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：昭=1、k2=2、k3=3、k4=4，（1） 将o=1m 入=500nm k=1 代入：1=Jk1h0解出： 几工0.07 cm（2）从：k1 ： k2 ： k3 ： k4 =1:2: 3:4看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为：I =（a2 a4）2 =4a； =16 10（I 0为光自由传播时的强度。）（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、等位置。6波长为入的点光源经波带片成一个象点， 该波带片有100个透明奇数半 波带（1、3、5、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波 带片和换上同样焦距和口径的透镜时

7、，该象点的强度比I : I。解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、199）共100个半波带光强度为：I = (a1 a3 a5 a199)2 =10000 a：用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带,则光强度为：l0 =(a： a2 a3 - . - a200)2 = 40000a：两种情况下的光强之比为：I : l0 =1 : 47平面光的波长为480nm垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的 焦距为60cm分别计算当缝的两边P点的位相差为n /2和n /6时，P点 离焦点的距离。解：缝两边的光传播到P点的光程差:.: = d sin 二相位差：.：二生d sin

8、二从图中：sin 0 tg 0 =y/f '得至U：已知：入=480cm d=0.4mm f / =60cm当：:/2 ，由上式解得：sin 0 1=0.003P点到焦点的距离：y1=厂 sin 0 1=0.018cm当:厶二/6，由上式解得:sin 0 1=0.001P点到焦点的距离：y1=厂 sin 0 1=0.006cm8白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为 600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。解：单缝衍射图样中，次最大的位置：si nr ( k _ 1)'2 b某一波长的第三级次最大的位置：sin出(3 1 )二丄2 b 2 b6

9、00nm光波的第二级次最大位置：sin r =(2 丄)丄二§二2 b 2 b因两个次最大的位置重合，有：sin 2 = sin "3解出某光的波长： =428.6 nm9波长为546.1 nm的平行光垂直照射在1mn宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1） 第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为9工 w艺（1）第1最小值的衍射角：sin日=匚'一_、.?b_ 二、p其位置：y= f / sin 9 = f / 入 /b=0.055cm（2）第1最

10、大值的衍射角：sin _（kk=12 b其位置：y 小心七 b =0.082cm（3）第3最大值的衍射角：k=3其位置：y = f sin J - 3 f =0.164 cm b10钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所 得的第一最小值与第二最小值之间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少？若改用X射线（入=0.1 nm）做此实验，问底片上两最小值之间的距离是 多少？解：因为单缝衍射，设第一最小值到花 样中央的距离为：対；第二最小值到中央的距 离为：y2对第一最小值：sinm乂浙九b Ly b对第二最小值：si nR =2y2y2 =2L b Lb两最小值

11、间的距离：=y = y2= lb已知： y=0.885cm、L=300cm、b=0.2mm,代入上式，解得钠光的波长：入=590nm当用波长入=0.1 nm的X射线时：Ay=L-=1.5 10J3mm b11以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫 琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为 b,相邻两缝之间的距离为d,且 d=3b。解：因：N=3相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b, 所以第3、6 9、级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sin B为横坐标， 做出衍射图样。IIP0i" 2.18802" 2.29212 一束平行白光垂直照射

12、在每毫米 50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的 末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光 的波长为400nm最长红光的波长为760nm解：在光栅衍射中，因B *入/d，波长大色 光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中， 红光的衍射角大，紫光的衍射角小。已知：红光波长 入1=760nm、紫光波长入2=400nm、d=1/50mm设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为0 1， 有：dsin 0 1=j 1 入 1 解得：sin 0=j1 Wd=760/d第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为0 2，有：dsin 0 2=j 2 X 2 解得：sin 2=j2 ?2/d=800

13、/d衍射角的扎：他-3=2.2920-2.1880 =0.11°7 13用可见光（400nn 760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重 叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sin仁j1X/d=760/d二级谱线始端的衍射角：sin扫j2X/d=800/d因：sin 2=800/d > sin 1 =760/d所以，一级光谱和二级光谱不重叠。二级谱线末端的衍射角：sin扫j2?i/d=1520/d三级谱线始端的衍射角：sin 4=j3/d=1200/d因：sin 3=1520/d < sin 4 =1200/d所以，二级光

14、谱和三级光谱重叠。14用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二 十级主最大之间的衍射角为15°10/,求该光栅1cm内的缝数是多少？解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：9 =15°10/已知波长：入=589nm,由光栅方程：ds in 9 =j入 解得光栅常数： d=0.0045cm1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm15用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm的钠光谱， 试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？( 2)光以 300角入射 时，最多能观察到几级谱线？解：已知：光栅常数：d=1/400mm光波波长：

15、入=589nm当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：9 =90°(1) 光垂照射光栅时，由光栅方程：dsin 9 =j入解得：j4,即最多能观察到4级谱线。(2) 光以9 0= 300角入射时，光栅方程为：d (sin 9 ±sin 9 0) =j入将：9 0= 300、9 =900、d=1/400mm、入=589nm 代入d (sin 9 + sin 9 0) =j 入解出最大的衍射级数： j=616 白光垂直照射到一个每毫米有 200 条刻痕的平面透射光栅上，试问在 衍射角为 300处会出现那些波长的光？其颜色如何？解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：9 =

16、300由光栅方程：ds in 9 =j入(j=0、1、2、3、)得到：入=dsin 9 /j ,代入数据,在可见光的范围内解得：j=3时，入1=666.7nm,是红色光；j=4时，入2=500nm,是黄色光；j=3时，入3=400nm,是紫色光；三种色光的谱线在300方向上重合在一起。17用波长为624nm单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b为0.012mm 不透明部分的宽度a为0.029mm缝数N为103条，求：（1）单缝衍射图 样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？ （ 3） 谱线的半角宽度为多少？解：已知：入=624nm、b=0.012mm、a=0.029mm、

17、N=103 条 计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm（1） 单缝衍射图样的中央角宽度： 9 =2入/b=5.960（2） 由：dsin 9 =j 入和 sin 9 = X /b，解得：j=d/b 3.4因衍射级数应取整数，所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱 的级数为3级，有n=2j+1=7条谱线。（3）根据： 9 =X /Ndcos 9，在9不太大时，90，解得：谱线的半角宽度： 9 =1.52 x 10-5rad 18波长为600nm的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主 最大分别出现在sin 9 1=0.2和sin 9 2=0.3处，第四级为缺级。（1）试求 光

18、栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和 缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j、j+1有：dsin 9 1=j X d sin9 2= （j+1 ） X两式相比:sin "j解出：j=2sin 巧 j 1再代入：dsin 9 1=j X 得到光栅常数：d=6x 10-6m=& 10-3mm（2）因第四级缺级，说明：d： b = 4 : 1所以光栅缝的宽度：b=d/4=1.5 x 10-3mm（3）在光屏上呈现的谱线的最大级数为j，对应的衍射角为900，由：dsin 9 =j X解出谱线的最大级数：

19、j=10因：4、8级谱线缺级，不能被观察到，另外衍射角为 900的第十级谱 线也不能观察到，所以呈现在光屏上的有：0、土 1、土 2、土 3、土 5、土 6、土 7、土 9 级谱线，共 15条。M=58.5,密度p二 0.281919 NaCI的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量 =2.17g/cm3。(1)试证相邻两分子间的平均距离为:nm其中N=6.02 X 1023/moI为阿伏加德罗常数。(2)用X射线照射晶面时， 第二级光谱的最大值在掠射角为10的方向上出现，计算该X射线的波长。解：在图中所示的晶体结构中，设计晶胞的棱边 长为d，两离子间的平均距离为d/2，每个晶胞含有 四个NaCI

20、分子，那么其密度：4 m NaCl2M2 N ?NaCl 的质量：mNaCl = M / N上两式联立解出：d V相邻两离子间的平均距离:代入数据：d 0.2819nm20波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距 为0.28nm,问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？解：根据布喇格方程：2d si - j'代入数据：d =0.28 nm= 0.00147 nm解出： v-310421如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝间距分别为d和2d， 试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：解：设单缝衍射传播到观察屏上 P的光振幅为a，三束

21、衍射光的实际 光程差如图为dsi nr和2dsi nr，相位差为厶 和2，可做出通过三缝光 矢量的矢量图，将三矢量分解：Ax = a acos = - acos3 ：Ay =0 a sin J- a sin 3 ：三缝衍射的光强度为：A； + A： = a23 + 2(cos 心©+ cos 2©+ cos 3A © )n b sin 日其中:即有:式中:sin 2 二a = a0d si n兀b sin日扎2I = 10sin cu3 2(cos2v cos4v cos6v)二 b sin J: d sin Tuv =22 一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长入 =500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方, 玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由 1mm匀匀变薄到0.5mm试问第- 级主最大的方向改变了多少？FPo解：玻璃片的劈尖角A:tgA :=0.02520A =1.43°平行光经过劈尖后的偏向角:% = (n -1)