锐角三角比讲义

1、【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1）定义：在直角三角形中，a为一锐角，则a的正弦 =aasina=c的对边，即斜边a的余弦 =abcosa=c的邻边，即斜边 , a的正切 =aatana=ab的对边，即的邻边a的余切 =aa=ab的邻边，即 cota的对边注： 三角函数值是一个比值定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。若a为一锐角，则sina,cosa,tana,cota的取值范分别是：0sina1,0cosa0,cota0。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tana cota=1tana=cot a或2、 特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（

2、 30， 45， 60）的三角比的值锐角的三角比的概念 （正切、余切、正弦、余弦）已知锐角， 求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、 一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2）同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tana=cota平方关系：22sin a+cos a=1积商关系：sincostana=,cotcossinaaaaa余角和余函数的关系：如果090ab，那么sina=cosb, tana=cotb（正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。注意： 求锐角三角比的值问题（1）在直角三角形中，

3、给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边” ，掌握三角比的定义。（2）给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。（3）当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。3、 解直角三角形（1）在直角三角形中，除直角外，还有5 个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。（

4、2）解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090ab，三边关系：勾股定理：222abc边角关系：sina=,cos,tan,cotsinb=,cos,tan,cotababaaaccbabababbbccab直角三角形的面积：111sin222schababc（3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。（4）解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。（5）解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；已知两边解直角三角形注意： 解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿

5、除，取原避中” 。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法， 避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据， 避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。4、 解直角三角形的应用（1）仰角和俯角视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（2）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h 与水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用 i 标志，即 , 通常坡度要写成1 的形式，坡角的正切是坡面的坡度。（3）方向角一般以观测者的位置为中心将正北或正南

6、方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。例 1 已知中，c90， 2， 3，那么下列各式中，正确的是a、2sin3bb、2cos3bc、2tan3bd、2cot3b例 2 某山路坡面坡度1:399i, 某人沿此山路向上前进200 米, 那么他在原来基础上升高了米例 3 如图 8-1，在 中， c90 ，点 d 在上， 4，35求： （1）的长；（2）的值例 4 如图所示， 秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角 （摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？( 参考数据：53sin0.8,53cos0.

7、6) 0.5m 533m 图 8-3-1 第 1 题图课后作业一、填空题1如图，如果绕点b 按逆时针方向旋转30 后得到 apb，且 2，那么的长为(不取近似值 . 以下数据供解题使用：15 =624，15 =624) 2用计算器计算： （精确到0.01）3如图， 在甲、 乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西度4如图，机器人从a点，沿着西南方向，行了个4单位，到达b 点后观察到原点o 在它的南偏东 60的方向上，则原来a的坐标为（结果保留根号）5求值：260260= 6在直角三角形中，090， 1

8、3，12，那么tanb7根据图中所给的数据，求得避雷针的长约为（结果精确的到0.01m） （可用计算器求，也可用下列参考数据求：43 0.6802，40 0.6428，43 0.7341，40 0.7660，43 0.9325，40 0.8391）第 4 题图x o a y b 北甲北乙第 3 题图acb第 6 题图a 4052m c d 第 5 题图b 438如图，自动扶梯段的长度为20 米，倾斜角a 为，高度为米（结果用含的三角比表示） 二、选择题9在中， c900， 1，则的值是（）a2b22c1 d2110在中，是斜边上的高线，已知的正弦值是32，则abac的值是（）a52b53c25

9、d3211如图，梯子靠在墙上，梯子的底端a 到墙根 o 的距离为2 米，梯子的顶端 b 到地面的距离为7 米现将梯子的底端a 向外移动到a，使梯子的底端a到墙根 o 的距离等于3 米，同时梯子的顶端 b 下降到b，那么bb（）a等于 1 米b大于 1 米c小于 1 米d不能确定12如图，延长斜边到d 点，使，连结，若3，则（）a23b1 c31d32三、解答题13已知等腰梯形中， 18，352，与相交于点o， 1200，试求的长14如图，河对岸有一铁塔在c 处测得塔顶a 的仰角为30，向塔前进16 米到达 d，ba第 3oba第 11 题图cdba第 12 题图gfeodcba第 13 题图在

10、 d 处测得 a 的仰角为45，求铁塔的高15如图，我市某广场一灯柱被一钢缆固定，与地面成40夹角， 且 5m，则的长度是多少？现再在 c 点上方 2m 处加固另一条钢缆，那么钢缆的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：1918.140,8391.040,7660.040cos,6428.040sinctgtg】近年上海中考数学关于锐角三角比题型年份考点分值2008 年锐角三角比的概念、坡度14（8）2009 年锐角三角比的概念10（5）2010 年锐角三角比的概念、解直角三角形24（ 16）2008（4 分）18在abc中，5abac，3cos5b（如图6） 如果圆o的半径为10，

11、且经过点bc，那么线段ao的长等于2008（10 分）21 （本题满分10 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分7 分）“创意设计” 公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚 （如图 7 所示） 已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆o的半径oc所在的直线为对称轴的轴对称图形，a是od与圆o的交点a b c 图 6 （1）请你帮助小王在图8 中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆o的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i是坡面ce的坡度），求r的值2009（10 分）21 （本题满分10 分，每小题满分各5 分）如图 4，

12、在梯形abcd中，86012adbcabdcbbc， ，联结ac（1）求tanacb的值；（2）若mn、分别是abdc、的中点，联结mn，求线段mn的长2010（10 分）21. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” ，如图 5 所示， “海宝” 从圆心 o 出发，先沿北偏西67.4 方向行走13 米至点 a 处，再沿正南方向行走14 米至点 b 处，最后沿正东方向行走至点c 处，点 b、c 都在圆 o 上. （1）求弦的长； （2）求圆 o 的半径长 .（本题参考数据：67.4 = ， 67.4 = ， 67.4 = ）图 7 o c a d e h 图 8 a d c 图 4 b

13、67.4ac北南bons2010（14 分）25如图 9，在中，90. 半径为 1 的圆 a 与边相交于点d，与边相交于点e，连结并延长，与线段的延长线交于点p.（1）当 b30时，连结，若与相似，求的长；（2）若 2， ，求的正切值；（3）若1tan3bpd，设，的周长为y，求 y 关于 x 的函数关系式.图 9 图 10(备用 ) 图 11(备9. 课后考点巩固考点一、锐角三角比的概念：1在中，90 ，那么bcac等于 （）. (a) ；(b) ；(c) ；(d) . 2. 中， 90 ，若a,a =,则的长为 （）（a）sina；（b）cosa； （c）sina；（d）cosa3. 如图

14、，在中，234,则ctan的值是 （）（a）21； （）43；（）32；（）以上都不是考点二、特殊锐角的三角比值： 计算：022)60tan(945sin230cot)45(cos60sin)31(求值：222cos 30sin 304cot 45cos45tan 604sin 45求值：30cot)45cot21 (60cos30tan360sin考点三、锐角三角比的计算：1. 如图，在中，, 、分别为两腰上的中线，且，则abctan.2. 如图，矩形中，3 , 53sinacb，e 为边上一点，将沿翻折，使点b 恰好落在对角线上，记作b . （1）求的长；（2）连接 ，求b的值 . a d

15、ba b c d e g bec3. 如图，等腰梯形中，45 , a d翻折梯形，使点b 重合于点d，折痕分别交边、f于 f、e，若 614, 求： （1）的长；（2）c 的余切值 . b e c4. 如图，在 中，90 ，a ，p 是 内一点，且135 . （1）求证：；（2）试求的值 . p c b 考点四、仰角、俯角与坡度、坡角：1. 某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为，那么飞机到控制点的距离是 .（用m与含的三角比表示）2. 某山路的路面坡度为1:54，若沿此山路向上前进90 米，则升高了米. 3. 一个小球由地面沿着坡度1:2 的坡面向上前进了10 米，此时小球距离

16、地面的高度为米. 4. 修筑一坡度为3:4 的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为， 那么的正切值是 （） . (a) 53; (b) 54; (c) 43; (d) 34. 考点五、解直角三角形及应用：1.底角为 15 ，腰长为 6 的等腰三角形的面积是. 2.如图， a, b , c 三点在同一平面内，从山脚缆车站a 测得山顶c 的仰角为45 ，测得另一缆车站b 的仰角为30 ，间缆绳长500 米（自然弯曲忽略不计）.(3 1.73,精确到 1 米) （1）求缆车站 b 与缆车站a 间的垂直距离；（2）乘缆车达缆车站b，从缆车站b 测得山顶 c 的仰角为60 ，求山顶 c 与缆车站 a 间的垂直距

17、离 . c b a 水平线m 3.如图，在中， 58 是边上一点，且21.a (1) 试求的值；d (2)试求的面积 . b c 4.如图，沙泾河的一段两岸a、b互相平行， c、d 是河岸a上间隔 60 米的两个电线杆. 小明在河岸b上的点 a 处测得35 ，然后沿河岸b走了 120 米到达 b 处，测得70 ，求该段河流的宽度的值.（结果精确到0.1 米,计算中可能用到的数据如下表）d c aba b f 课后考点巩固练习：1、直角三角形的斜边与一直角边的比是5：1，且较大的锐角为，则等于（） a5 b55 c12 d2552、已知楼房高50m ， 如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离为50m

18、 ，?塔高为15050 33m 则（） a由楼顶望塔顶仰角为60 b 由楼顶望塔基俯角为60c由楼顶望塔顶仰角为30 d 由楼顶望塔基俯角为303、如图，在等腰直角三角形中，90， 6，d是上一点， ?若 ?15，则的长为（）a2 b2 c1 d22角度350.57 0.82 0.70 700.94 0.34 2.75 4、横断面为等腰梯形的河坝，若下底158 32，上底 7.5 ，高为 4，那么斜坡的坡度为（） a12 b23 c32 d3：15、如图，某建筑物直立于水平地面上，9 米，要建造阶梯，使每阶高不超过20 厘米，则此阶梯最少要建阶 （最后一阶不足20 厘米时，按 1 阶计算，3取