能量问题的常见分析方法

1、    能量问题的常见分析方法    郁建石一、临界状态分析法任何事物在变化发展过程中总是要经历由量变到质变的过程，而其转折点就是一个临界。物理问题中分析其临界状态，往往是分析问题的切入点和关键。例1 如图1所示，小球从高为h的光滑轨道由静止滑下，进入半径为r的竖直光滑圆轨道。求小球沿圆轨道运动的最大高度h。解析 如图2所示，本题中小球在圆轨道运动中涉及两个临界位置：一个位置是与圆心在同一高度上的b点，如果小球运动的最大高度位置在b点以下，则小球在最高点时速度为零；另一个位置是圆轨道的最高点c，在该点时由合外力提供向心力，如果小球能到达轨道上的该点，速度

2、必须满足上述条件。因此本题应该分情况分析：（1）若小球在圆轨道中运动的最高点在b点以下的p点，因p=0，由a到p过程机械能守恒，有：mgh=mgh，不难得到：h=h.所以当hr时，上升的最大高度为h。（2）若小球在圆轨道中运动的最高点在c点，如果小球能到达轨道上的该点，速度必须满足上述条件。因此本题应该分情况分析：例2 质量为m的小车以速度0沿光滑水平向左运动。车上有摆长为l的单摆，摆球质量为m。现让小球由最大位移角处摆下，求下列情况下小球摆到最低位置过程中，摆线张力所做的功。（设mm。）解析 在小球摆下来的过程中，线上张力大小和方向、摆球的位移都不太容易分析，因此直接计算摆线张力做功比较困难

3、。本题中，由于mm，所以可以认为在小球摆下来的过程中小车的速度保持不变。如果以小车为参考系，摆线张力始终与运动方向垂直，所以张力不做功，因此在小车参考系中，小球的机械能守恒，有：得：其中为摆球运动到最低点时相对小车的速度，所以摆球相对于地面的速度为：在地面参考系中，小球摆下来的过程中，重力和摆线的张力对摆球做功，根据动能定理，有：三、递推法当物体之间发生多次重复性的相互作用时，往往可以用递推的方法进行分析。这种方法通常是先分析某一次相互作用的情况得出结论，再根据多次作用的重复性和共同点，把结论推广，从而找到其通式，然后结合数学知识求解。例3 把n块质量均为m、厚度均为d的相同砖块，平放在水平地

4、面上，现将它们一块一块叠放起来，如图5所示。至少要做多少功？当然，本题也可以用等效法分析。四、图象法物理图象有时可以把一些抽象复杂的物理过程直观形象地呈现出来，利用图象的点（交点、拐点等特殊点）、角（斜率）、面（面积）等方面的分析解决问题。例4 如图6所示，有一块底面积为s、高为c的长方体木块，浮在平静的湖面上，已知湖深为h，木块的密度为，湖水的密度为0.现将木块用力按到湖底至少要做多少功？（不考虑木块按入湖底过程中水面高度的变化）解析 若将木块缓慢地（或匀速）压到湖底所要做的功最少。此时可将整个过程分为两个阶段（如图7所示）：第一阶段是开始木块浮在水面压到刚好全部浸入水中，这一过程施加的外力

5、是一变力；第二阶段是从木块从刚好全部浸入水中到湖底，这一过程施加的外力是一恒力。开始时木块在重力和水的浮力作用下平衡，有：得：在第一阶段中，若木块在竖直向下的外力f作用下向下缓慢移动的距离为x，则此时由受力平衡得：第二过程中外力f做的功可以直接计算出来，但是第一过程中外力f是变化的，用初等数学的方法不能直接求其做的功（当然由于外力是与下移的距离成正比的，可以求出此过程中的平均作用力来计算功，有兴趣的同学可自行分析）。这时可以作出外力f与向下移动的距离x的关系图象来分析。根据上面的分析可以作出f-x图象如图8所示。在f-x图象中，可以用图线所包围的面积来表示力f做的功，也就是图中梯形的面积。所以

6、整个过程中力f做的功为：将上面的有关结论代入整理得：本题也可以用等效法来求解。五、等效法在一些物理问题中，一个物理过程的变化发展，一个状态的确定，往往是由多种因素共同决定的，在这些过程或状态中，如果某些因素所起的作用与另一些因素所起的作用效果相同，这时就可以用等效的方法进行分析，从而达到殊途同归的效果，有时还可将问题简化。比如上面的例3中：将平放在水平地面上的砖一块一块叠放起来，如果换一个角度来看，将所有的砖块作为一个整体，相当于重心升高了，所做的功应该就是整体重力势能的增加值。这就是将砖全部叠放起来做功的最小值，与上面的解结果相同，但分析过程较为简便。如上面的例4中，如果从等效的角度看，用外

7、力将木块压到湖底的过程中，一方面木块的重力势能减少，另一方面水的重力势能增加，如果能求出系统重力势能的变化，就可以计算外力做的功。现在来分析木块压到湖底的过程中湖水重力势能的变化量。如图9所示，将木块开始位置时分成水面上方和下方两部分。在木块压到湖底的过程中，木块下面的那部分相当于与湖水底部对应的同体积的水的位置对调，而下面那部分同体积的水的重力与木块的重力大小相同，在对调过程中，这部分水重心上升的高度与木块下降的高度相同，所以它们的重力势能的变化恰好抵消。而木块在水面上方的那部分向下移到水中过程，可以等效看成木块这部分将湖底对应的同体积水的空间填充，与此同时湖底中的这部分水则移到水面上，而由于不考虑木块按入湖底过程中水面高度的变化，可以分析这部分水重力势能的增加量。这就是木块压到湖底的过程中外力所做功的最小值，得到与上面分析同样的结果。 六、微元法在物理问题中，一些物理量的变化往往是连续发生的，这类问题通常要用微积分来解决，而在中学物理竞赛中则常用微积分的思想进行微元处理。例5 如图10所示，长为l、质量为m的均质杆oa，以角速度绕其一端o匀速度转动时，其动能为多大？解析 在杆绕0点转动时，由于杆上各点的线速度大小是不同的，所以不能